Derniers messages sur Zeste de Savoirhttps://zestedesavoir.com/forums/2017-10-29T12:29:52+01:00Les derniers messages parus sur le forum de Zeste de Savoir.Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant », message #1652922017-10-29T12:29:52+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165292<p>On considère la suite <span>$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$</span> de terme général</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$x_n = \begin{cases} a > 0, n=0 \\
a \left ( 1-\frac{1}{n} \right ) , n>0. \end{cases}$$</mathjax></div>
<p>On cherche à savoir quels termes de la suite sont éclairés, ie <span>$x_n$</span> tel que</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\forall p \in \mathbb{N}, (p>n \implies x_p < x_n).$$</mathjax></div>
<p>Notons que cette assertion équivaut à celle-ci</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\forall k \in \mathbb{N^*}, x_{n+k} - x_n < 0.$$</mathjax></div>
<p>Afin de déterminer quels termes sont éclairés, distinguons deux cas.</p>
<h5>Premier cas : <span>$n=0$</span></h5>
<p>Pour <span>$n=0$</span>, on a <span>$x_n = a$</span> et donc <span>$x_n$</span> est éclairé si, et seulement si,</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\forall k \in \mathbb{N^*}, x_k - a < 0$$</mathjax></div>
<p>or </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\begin{align*}
x_k - a &= a \left ( 1-\frac{1}{k} \right ) - a \\
&= -\frac{1}{k}
\end{align*}$$</mathjax></div>
<p>et donc comme <span>$k \in \mathbb{N^*}$</span>, <span>$-\frac{1}{k}$</span> est négatif. </p>
<p>Le terme <span>$x_0$</span> est éclairé<sup id="fnref-majorée"><a class="footnote-ref" href="#fn-majorée">1</a></sup>.</p>
<h5>Second cas : <span>$n > 0$</span></h5>
<p>Pour <span>$n > 0$</span>, on a <span>$x_n = a(1-\frac{1}{n})$</span> et donc <span>$x_n$</span> est éclairé si, et seulement si,</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\forall k \in \mathbb{N^*}, a \left ( 1-\frac{1}{n+k} \right ) - a \left ( 1-\frac{1}{n} \right ) < 0$$</mathjax></div>
<p>or </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\begin{align*}
a \left ( 1-\frac{1}{n+k} \right ) - a \left ( 1-\frac{1}{n} \right ) &= \frac{a}{n} - \frac{a}{n+k} \\
&= a \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right )
\end{align*}$$</mathjax></div>
<p>et</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$n + k > n \iff \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} > 0.$$</mathjax></div>
<p>Ainsi, <span>$x_n$</span> est le produit de deux facteurs strictement positifs, il est donc strictement positif. Tout terme <span>$x_n$</span> avec <span>$n > 0$</span> est à l’ombre<sup id="fnref-croissante"><a class="footnote-ref" href="#fn-croissante">2</a></sup>.</p>
<div class="footnote">
<hr>
<ol>
<li id="fn-majorée">
<p>Cela montre aussi que <span>$(x_n)$</span> est majorée par <span>$a$</span>. <a class="footnote-backref" href="#fnref-majorée" title="Retourner au texte de la note 1">↩</a></p>
</li>
<li id="fn-croissante">
<p>Cela montre aussi que <span>$(x_n)$</span> est croissante à partir de <span>$x_1$</span> et donc elle converge. <a class="footnote-backref" href="#fnref-croissante" title="Retourner au texte de la note 2">↩</a></p>
</li>
</ol>
</div>Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant », message #1652482017-10-28T19:18:19+02:00Freedom/@Freedomhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165248<figure>
<blockquote>
<p>Pour qu’un terme <span>$x_n$</span> soit à l’ombre il faut qu’il existe <span>$p>n$</span> tel que <span>$x_p>x_n$</span>, par récurrence on a une sous-suite croissante or le dernier terme de cette suite est éclairé (puisqu’il n’y a pas de terme après lui). Mais du coup c’est ce que je disais, je pense que c’est un problème de transposition intuitif de la notion de dernier sur la notion d’infini.</p>
<p>@Freedom, j’y ai réfléchi mais je n’ai pas le temps de rédiger ce soir, je met ça demain <img alt=";)" src="/static/smileys/clin.png"></p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165246">LudoBike</a></figcaption>
</figure>
<p>Sauf qu’il n’y a pas de <em>dernier</em> terme de la sous-suite que tu construis. Je te proposais cette suite, car justement c’est un cas où le nombre de terme <em>éclairés</em> est fini. La démonstration utilise la notion de <em>dernier</em> uniquement dans le cas <em>fini</em>, il n’y a donc pas besoin de construire une notion de <em>dernier à l’infini</em> (je ne sais pas si une telle notion existe, mais ici, ce n’est pas nécessaire).</p>Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant », message #1652462017-10-28T19:02:52+02:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165246<figure>
<blockquote>
<p>Dans ce que tu écris, il y a une phrase que je ne comprends pas (je dirais même une phrase où il manque des morceaux) :</p>
<p>*puisque pour qu’un terme soit à l’ombre, il faut qu’il y en ait un supérieur à lui, or si c’est le cas, la preuve ne fonctionne pas. *</p>
<p>Quand tu parles de terme supérieur à un autre… tu parles d’un terme à sa droite, ou d’un terme plus haut, ou d’un terme qui soit à la fois à sa droite et plus haut ?</p>
<p>Et quand tu parles de "supérieur à lui", "LUI", ça représente le dernier terme éclairé, ou autre chose ?</p>
<p>Précise bien chaque mot, chaque pronom, ce sera plus clair pour le lecteur, et ce sera peut-être plus clair pour toi aussi.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165168">elegance</a></figcaption>
</figure>
<p>Pour qu’un terme <span>$x_n$</span> soit à l’ombre il faut qu’il existe <span>$p>n$</span> tel que <span>$x_p>x_n$</span>, par récurrence on a une sous-suite croissante or le dernier terme de cette suite est éclairé (puisqu’il n’y a pas de terme après lui). Mais du coup c’est ce que je disais, je pense que c’est un problème de transposition intuitif de la notion de dernier sur la notion d’infini.</p>
<p>@Freedom, j’y ai réfléchi mais je n’ai pas le temps de rédiger ce soir, je met ça demain <img alt=";)" src="/static/smileys/clin.png"></p>Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant », message #1651722017-10-27T23:34:56+02:00Freedom/@Freedomhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165172<p>Que penses-tu de la suite :</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$
x_n = \left\{\begin{array}{l}
a>0,~n=0 \\
a\left(1-\frac{1}{n}\right),~n>0
\end{array}\right.
$$</mathjax></div>
<p>Qui est éclairé ?</p>
<p>Note d’ailleurs, que dans la preuve, il ne montre pas qu’une telle suite existe. Il dit juste que si c’est le cas, alors il peut construire une sous-suite croissante. Il traite les deux cas : l’ensemble des termes <em>éclairés</em> est fini ou infini, sans avoir besoin de montrer que ces deux cas existent.</p>Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant », message #1651682017-10-27T23:14:32+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165168<p>Dans ce que tu écris, il y a une phrase que je ne comprends pas (je dirais même une phrase où il manque des morceaux) :</p>
<p>*puisque pour qu’un terme soit à l’ombre, il faut qu’il y en ait un supérieur à lui, or si c’est le cas, la preuve ne fonctionne pas. *</p>
<p>Quand tu parles de terme supérieur à un autre… tu parles d’un terme à sa droite, ou d’un terme plus haut, ou d’un terme qui soit à la fois à sa droite et plus haut ?</p>
<p>Et quand tu parles de "supérieur à lui", "LUI", ça représente le dernier terme éclairé, ou autre chose ?</p>
<p>Précise bien chaque mot, chaque pronom, ce sera plus clair pour le lecteur, et ce sera peut-être plus clair pour toi aussi.</p>Question sur la preuve du Théorème de Bolzano Weierstrass par le principe du « Soleil Levant », message #1651672017-10-27T22:46:04+02:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9583/question-sur-la-preuve-du-theoreme-de-bolzano-weierstrass-par-le-principe-du-soleil-levant/?page=1#p165167<p>Bonjours à tous, </p>
<p>je suis par un jeu de circonstances et de curiosité tombé sur cette vidéo très intéressante qui propose une preuve du théorème de Bolzano Weierstraß.</p>
<figure>
<iframe allowfullscreen="true" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Qa3FoyGT_oE" width="560"></iframe>
<figcaption>La vidéo en question</figcaption>
</figure>
<p>J’ai bien compris comment fonctionnait cette preuve mais mon intuition me pose un léger problème. Dans le cas où il y a un nombre fini de termes éclairés, on considère <span>$x_{n_0}$</span> le dernier de ces termes et le truc c’est que je me dis que ce terme devrait être le « dernier » terme de la suite, puisque pour qu’un terme soit à l’ombre, il faut qu’il y en ait un supérieur à lui, or si c’est le cas, la preuve ne fonctionne pas. Ça me trouble un peu et je me demande d’ailleurs si ce n’est pas une des nombreuses choses contre-intuitives qui viennent avec la notion d’infini.</p>
<p>Je pense que mon intuition est à côté de la plaque mais je n’arrive pas à m’en convaincre, j’espère que vous pourrez m’aider et je vous en remercie d’avance.</p>
<p><strong>Edit :</strong> C’est peut-être la notion de dernier qui n’a aucun sens pour l’infini.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1395142017-01-25T20:10:34+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139514<p>Ok merci pour votre aide, je crois que le sujet est clos <img alt=":D" src="/static/smileys/heureux.png"></p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1395132017-01-25T20:02:11+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139513<p>Nan mais là pas besoin de regarder de ratio, on a directement le facteur multiplicatif.</p>
<p>Bon sinon pour la fin de la preuve que je propose : (avec <span>$k>x\geq 0$</span>)</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x^{n+k}}{(k+n)!} < \frac{x^k}{k!}\frac{x^n}{k^n} < \frac{x^k}{k!} $$</mathjax></div>
<p>En fait on a même mieux, on peut montrer que la suite tend vers <span>$0$</span> puisque le facteur <span>$x/k$</span> est strictement inférieur à <span>$1$</span>.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1395092017-01-25T19:03:10+01:00adri1/@adri1https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139509<blockquote>
<figure>
<blockquote>
<p>On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139456">elegance</a></figcaption>
</figure>
<p>Ce serait effectivement plus élégant <img alt=";)" src="/static/smileys/clin.png"></p>
</blockquote>
<p>Pas nécessairement parce qu’il faut s’assurer que le terme au dénominateur est non nul, ce qui n’est pas toujours trivial à prouver tant que l’on n’a pas prouvé que la suite était d’abord croissante ou décroissante par exemple.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1395072017-01-25T18:58:57+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139507<figure>
<blockquote>
<p>Y a plus rapide encore.</p>
<p>Je te fais un début :</p>
<p>Soit <span>$k$</span> entier de sorte que <span>$k> |x|$</span>. Comme <span>$(k+n)!> k! k^n$</span> on en déduit que <span>$|x|^{k+n}/(k+n)!$</span> …</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139455">Holosmos</a></figcaption>
</figure>
<p>Je vois un peu près où tu veux que j’aille mais je vois pas d’où vient et à quoi sert <span>$(k+n)!> k! k^n$</span>.</p>
<figure>
<blockquote>
<p>On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139456">elegance</a></figcaption>
</figure>
<p>Ce serait effectivement plus élégant <img alt=";)" src="/static/smileys/clin.png"></p>
<figure>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Soit <span>$x<0$</span> un réel. Montrez que la suite <span>$\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$</span> est décroissante à partir d’un certain rang.</p>
</blockquote>
<p>Tu es sûr de ton énoncé ? Car là, si <span>$u_n = \frac{x^n}{n!}$</span>, alors <span>$u_{n+1} = \frac{x}{n+1}u_n$</span>. Comme <span>$x < 0$</span>, <span>$u_n$</span> et <span>$u_{n+1}$</span> sont de signes opposés, donc la suite <span>$(u_n)_n$</span> ne peut pas être décroissante. Sa valeur absolue (ou bien encore le cas <span>$x>0$</span>), si.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139457">Gabbro</a></figcaption>
</figure>
<p>Mea culpa, c’est <span>$x>0$</span>.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394572017-01-24T22:34:23+01:00Gabbro/@Gabbrohttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139457<blockquote>
<p>Soit <span>$x<0$</span> un réel. Montrez que la suite <span>$\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$</span> est décroissante à partir d’un certain rang.</p>
</blockquote>
<p>Tu es sûr de ton énoncé ? Car là, si <span>$u_n = \frac{x^n}{n!}$</span>, alors <span>$u_{n+1} = \frac{x}{n+1}u_n$</span>. Comme <span>$x < 0$</span>, <span>$u_n$</span> et <span>$u_{n+1}$</span> sont de signes opposés, donc la suite <span>$(u_n)_n$</span> ne peut pas être décroissante. Sa valeur absolue (ou bien encore le cas <span>$x>0$</span>), si.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394562017-01-24T22:27:17+01:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139456<p>Pour démontrer u’une suite est (dé)croissante, on peut calculer la différence entre 2 termes consécutifs et vérifier si ce nombre est toujours de même signe.</p>
<p>On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394552017-01-24T22:08:25+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139455<p>Y a plus rapide encore.</p>
<p>Je te fais un début :</p>
<p>Soit <span>$k$</span> entier de sorte que <span>$k> |x|$</span>. Comme <span>$(k+n)!> k! k^n$</span> on en déduit que <span>$|x|^{k+n}/(k+n)!$</span> …</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394492017-01-24T21:15:50+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139449<p>On cherche si <span>$\left ( u_n = \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$</span> est décroissante à partir d’un certain rang. Nous pouvons remarquer que : </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{x^n}{n!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x \cdot x^n}{(n+1) \cdot n!} - \frac{x^n}{n!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x}{n+1} \times \frac{x^n}{n!} - \frac{x^n}{n!} $$</mathjax></div>
<p>Posons <span>$a = \frac{x^n}{n!}$</span>, nous avons donc <span>$\frac{x}{n+1}a - a$</span>, en sachant que <span>$n \in \mathbb{N} \text{et} x > 0$</span> nous pouvons remarquer que <span>$a \ge 0$</span> ce qui nous permet d’affirmer que si <span>$\frac{x}{n+1} \le 1$</span> alors <span>$\frac{x}{n+1}a - a \le 0$</span> et donc, par définition de la décroissance, <span>$u_n$</span> est décroissante pour tous <span>$n \ge x - 1$</span>.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394442017-01-24T20:09:59+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139444<blockquote>
<p>Pour ta deuxieme partie, il y a deux principaux problèmes (en plus de tous tes calculs lourds dans le style pourquoi faire simple ; remarquer que <span>$(n+1)! = n! . (n+1) $</span> et <span>$x^{n+1}= x . x^n$</span> t’aurais évité bien des tracas)</p>
</blockquote>
<p>Effectivement,c’est que sur mon brouillons j’ai trouvé ça comme ça mais j’aurais dû me relire pour le simplifier.</p>
<blockquote>
<p>Pour le premier point, je vais caricaturer ton raisonnement. Supposons que N existe. Alors N vérifie ces propriétés. Donc N existe.</p>
</blockquote>
<p>Ah oui, il faudrait directement partir pour trouver <span>$\frac{x}{n+1}a - a$</span>, <span>$a$</span> qui vaut donc plus simplement <span>$\frac{x^n}{n!}$</span>, et conclure en conséquence.</p>
<figure>
<blockquote>
<p>Pour le deuxième point, pour conclure il te manque l’étude du signe de <span>$a $</span>.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139438">Goeland-croquant</a></figcaption>
</figure>
<p>Du coup <span>$n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{x^n}{n!} \ge 0$</span>.</p>
<p>Je vais réécrire la preuve avec vos critiques.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394402017-01-24T18:51:03+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139440<blockquote>
<p>hors :</p>
</blockquote>
<p>or*</p>
<p>Sinon ton raisonnement est ultra lourd pour pas grand chose. Comme le suggère Goeland-croquant, tu pourrais considérer un <span>$n$</span> assez grand de façon à pouvoir étudier facilement le quotient.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394382017-01-24T18:27:52+01:00Goeland-croquant/@Goeland-croquanthttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139438<p>Pour ta deuxieme partie, il y a deux principaux problèmes (en plus de tous tes calculs lourds dans le style pourquoi faire simple ; remarquer que <span>$(n+1)! = n! . (n+1) $</span> et <span>$x^{n+1}= x . x^n$</span> t’aurais évité bien des tracas)</p>
<p>Pour le premier point, je vais caricaturer ton raisonnement. Supposons que N existe. Alors N vérifie ces propriétés. Donc N existe.</p>
<p>Pour le deuxième point, pour conclure il te manque l’étude du signe de <span>$a $</span>.</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1394362017-01-24T18:07:03+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=2#p139436<p>Bon après il avait : </p>
<blockquote>
<p>Est-il vrai qu’une suite croissante est majorée ? Minorée ?</p>
</blockquote>
<p>Soit <span>$(u_n)_{n\ge0}$</span> une suite croissante, par définition <span>$\forall n \in \mathbb{N}, u_n \le u_{n+1}$</span> donc forcément <span>$\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \le u_n$</span> la suite est donc minorée. </p>
<p>Pour la majoration, il suffit de trouver un contre exemple, donc par exemple la suite <span>$(n^2)_{n\in \mathbb{N}}$</span> est croissante mais pas majorée.</p>
<hr>
<p>Et enfin la dernière question était : </p>
<blockquote>
<p>Soit <span>$x>0$</span> un réel. Montrez que la suite <span>$\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$</span> est décroissante à partir d’un certain rang.</p>
</blockquote>
<p>Soit <span>$N$</span> ce rang et <span>$(u_n)$</span> cette suite. Si <span>$n \ge N$</span> alors <span>$u_{n+1} - u_n \le 0$</span>, or : </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{x^n}{n!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{n! \cdot x^{n+1} - x^n(n+1)!}{n!(n+1)!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{n! \cdot x^{n+1} - x^n \cdot n!(n+1)}{n!(n+1)!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x^{n+1}-x^n(n+1)}{(n+1)!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x^n \cdot x}{(n+1)!} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x^n \cdot x \times (n+1)}{(n+1)! \times (n+1)} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$</mathjax></div>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ \frac{x}{n+1} \times \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$</mathjax></div>
<p>Pour alléger considérons <span>$a = \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!}$</span>, nous avons donc <span>$\frac{x}{n+1}a - a$</span> or si <span>$\frac{x}{n+1} \le 1$</span>, <span>$\frac{x}{n+1}a - a \le 0$</span> et donc <span>$(u_n)$</span> est décroissante pour <span>$n \ge N = x - 1$</span>. CQFD !?</p>
<p><em>Edit: Désolé, Holosmos, pour les picotements aux yeux.</em>
<em>Ré-Edit: Erreur dans l’énoncé, merci Gabro</em></p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1393772017-01-23T19:42:03+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=1#p139377<p>Ah oui c’est plutôt <span>$\forall n \in \mathbb{N}, u_n \in [-1;1]$</span>.</p>
<figure>
<blockquote>
<p>Par ailleurs, avec le sinus qui pointe le bout de son nez, c’est typiquement le cas où étudier le comportement de la valeur absolue de la suite peut alléger la démonstration (ce que tu as dailleurs fait implicitement alors que tu aurais pu le faire dès le départ).</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=1#p139376">Goeland-croquant</a></figcaption>
</figure>
<p>Ok</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1393762017-01-23T19:16:43+01:00Goeland-croquant/@Goeland-croquanthttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=1#p139376<p>Ta conclusion finale n’a pas de sens (enfin si mais pas ce qui t’intéresse), je suppose que c’est une étourderie, relis ce que tu as écris et vois ou est le problème <img alt=":)" src="/static/smileys/smile.png"> .</p>
<p>Par ailleurs, avec le sinus qui pointe le bout de son nez, c’est typiquement le cas où étudier le comportement de la valeur absolue de la suite peut alléger la démonstration (ce que tu as dailleurs fait implicitement alors que tu aurais pu le faire dès le départ).</p>Prouver qu'une suite est monotone et borné, message #1393702017-01-23T18:35:54+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/7839/prouver-quune-suite-est-monotone-et-borne/?page=1#p139370<p>C’est pas grave, elegance n’a pas cassé ma réflexion, je me suis demandé pourquoi adri1 m’a posé cette question durant mon trajet vers le lycée et du coup c’est effectivement très simple. Vu que <span>$\frac{n}{n+1}$</span> est positif et que <span>$\frac{n}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1} \le 1$</span> alors <span>$0 \le \frac{n}{n+1} \le 1$</span>.</p>
<p>Vu que j’ai trouvé ça j’ai réfléchis à une autre question : </p>
<blockquote>
<p>La suite <span>$\left ( \frac{n\sin(n!)}{1+n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}$</span> est-elle bornée ?</p>
</blockquote>
<p>On nommera cette suite <span>$u_n$</span>. On peut réécrire l’expression en <span>$\frac{n}{1+n^2} \cdot \sin(n!)$</span> ainsi comme les images de sinus appartiennent à l’intervalle <span>$[-1;1]$</span>, les termes de <span>$u_n$</span> appartiennent à l’intervalle <span>$\left[-\frac{n}{1+n^2};\frac{n}{1+n^2}\right]$</span> donc si la suite <span>$\left ( \frac{n}{1+n^2} \right )_{n \in \mathbb{n}} $</span> est borné <span>$u_n$</span> l’est aussi. Hors <span>$n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n}{1+n^2} \ge 0$</span> et <span>$n \le 1+n^2 \Leftrightarrow \frac{n}{1+n^2} \le 1$</span> donc <span>$0 \le \frac{n}{1+n^2} \le 1 \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_n \in \left[ -\frac{n}{1+n^2}; \frac{n}{1+n^2} \right]$</span>. Conclusion <span>$u_n$</span> est bornée.</p>