Interprétation de la divergence d'une fonction vectorielle

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Salut à tous,

Je cherche à résoudre l’exercice suivant en interprétant la divergence plutôt qu’en calculant à partir des définitions.

Cependant, je trouve une réponse différente (mais proche) de celle du corrigé.

Soit f∈C2(R,R)f \in C^2(\mathbb R, \mathbb R)

Posons r⃗:=(x,y,z)∈R3\vec r := (x, y, z) \in \mathbb R^3, et r:=∣∣r⃗∣∣=x2+y2+z2r := ||\vec r|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Exprimer div(f(r).r⃗)\mathrm{div} (f(r).\vec r) en fonction de f(r)f(r), f′(r)f'(r), f′′(r)f''(r), r⃗\vec r et rr.

Rappelons la formule de la divergence pour F⃗∈C2(R3,R3)\vec F \in C^2(\mathbb R^3, \mathbb R^3) :

divF⃗=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\mathrm{div} \vec F = \dfrac{\partial F_x}{\partial x} + \dfrac{\partial F_y}{\partial y} + \dfrac{\partial F_z}{\partial z}

C’est la somme des "accroissements infinitésimaux" de F dans toutes les directions de l’espace.
Or, dans l’exercice, on a F⃗=f(r).r⃗=f(r).r.1⃗r\vec F = f(r).\vec r = f(r).r.\vec 1_r

Donc, divF⃗\mathrm{div} \vec F représente dans l’exercice "l’accroissement infinitésimal" de f(r).rf(r).r dans la direction 1⃗r\vec 1_r.

Autrement dit :

div(f(r).r⃗)=div(f(r).r.1⃗r)=ddr(f(r).r)=f(r)+r.f′(r)\mathrm{div} (f(r).\vec r) = \mathrm{div} (f(r).r.\vec 1_r) = \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dr}(f(r).r) = f(r) + r.f'(r)

Mais le corrigé me donne plutôt comme réponse :

div(f(r).r⃗)=3f(r)+r.f′(r)\mathrm{div} (f(r).\vec r) = 3f(r) + r.f'(r)

Où se trouve l’erreur dans mon interprétation ?

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Ton expression de la divergence n’est valide qu’en coordonnées carthésiene. Hors ton vecteur unitaire n’est pas dans cette base.

Edit : avec l’expression de la divergence en sphérique, je suis d’accord avec ton corrigé, c’est 2 lignes de calcul.

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Essaye de refaire ton calcul avec f(r)=rf(r)=r. Tu verras que ton erreur se situe dans le fait que tu n’as dérivé que dans une seule direction et pas trois (d’où le facteur trois). Le fait que ça se factorise vient des symétries par rapport à x,yx,y et zz.

+1 -0

Ton expression de la divergence n’est valide qu’en coordonnées carthésiene. Hors ton vecteur unitaire n’est pas dans cette base.

Effectivement !

J’ai donc été chercher l’expression de la divergence d’un vecteur exprimé dans les coordonnées cylindriques :

divF⃗=1r∂(rFr)∂r+1r∂Fθ∂θ+∂Fz∂z\mathrm{div} \vec F = \dfrac{1}{r} {\dfrac {\partial (rF_{r})}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r}}{\dfrac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}

Et bon… faute de pouvoir interpréter cette formule, j’ai terminé mon exercice sans faire d’histoires.

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Dis autrement, et peut-être de manière plus intuitive, div(r⃗f(r))=f(r)divr⃗+r⃗grad⃗f(r)\mathrm{div} (\vec{r} f(r)) = f(r) \mathrm{div} \vec{r} + \vec{r} \vec{\mathrm{grad}} f(r)

Tu retrouves bien ta dérivée (via le gradient), et le 3 vient du fait que la dérivée de la fonction r -> r vaut 1 par rapport à x, à y et à z. Le fameux « tu n’as dérivé que dans une seule direction et pas trois » d’Holosmos vient de là.

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Tu doit utiliser les coordonnées sphériques. La tu donnes la formule de divergence pour le cylindrique (ce qui doit te conduire à une mauvaise réponse ^^).

Je te donne une interprétation de la formule (à la physicienne) :

La divergence donne en chaque point de l’espace une valeur qui représente la somme de ce qui "rentre" et de ce qui "sort" d’une petit élément de volume. En effet on l’applique sur un champ vectoriel. Pour se le représenter on peut par exemple imaginer une rivière et le champ vectoriel représente la vitesse de l’eau. En chaque petite élément de volume de rivière il y a de l’eau qui rentre et de l’eau qui sort. On voit que si l’eau à une vitesse plus importante à l’entrée du volume qu’à la sortie alors nécessairement la quantité d’eau dans ce volume doit augmenter. Si on calcul la divergence de la vitesse à cet endroit elle sera négative. Inversement si la vitesse est plus faible l’entre qu’a la sortie alors l’eau quitte le volume => divergence positive.

En cartésien ces petites éléments de volume sont décrit par des cubes de coté dxdx, dydy et dzdz. En cylindrique ou sphérique c’est plus vraiment des cubes, certains cotés sont des surfaces de cylindre (ou de sphère). Du coup ça complique un peu le calcul.

Par exemple en coordonnée cylindrique les éléments de volume sont comme ceci :

Image utilisateur
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Pour retrouver "avec les mains" l’opérateur divergence il faut faire la somme de ce qu’il rentre et sort de ces "cubes". On doit donc faire la somme de ce qu’il rentre par "la face 1" moins ce qu’il sort par la face opposé (disons "la face 4") plus ce qu’il rentre par la face 2 moins ce qu’il sort par la face opposé : la face 5 plus ce qu’il rentre par la face 3 moins ce qu’il sors par la face opposé : la face 6

Le premier truc à voir est que uniquement la composante orthogonal du champ de vecteur ( ie de la "vitesse") à la face du "cube" élémentaire participe à faire rentrer ou sortir du "fluide". Ainsi seul la composante FxF_x participera à remplir le cube à travers les deux faces orthogonales à x^\hat x, seul la composante FyF_y participera à remplir le cube à travers les deux faces orthogonales à y^\hat y et bien sur seul la composante FzF_z participera à remplir le cube à travers les deux faces orthogonal à z^\hat z.

Et la c’est pareil en cylindrique ( ou sphérique) : seul la composante FrF_r participera à remplir le cube à travers les deux faces orthogonal à r^\hat r, etc.

Essayons de retrouver le terme en rr de la divergence en cylindrique (tu pourras le faire en sphérique et voir que tu obtiens bien le bon résultat :p ) :

Il suffit de sommer ce qui rentre/sort par les deux faces orthogonal à r^\hat r afin d’avoir le "terme en rr".

Ce qui rentre par la face c’est le produit de la composante orthogonal à la face de ta fonction vectoriel multiplié par la surface de ta face (on peut l’exprimer sous forme de produit scalaire mais c’est pas important ici).

Il y a un truc auquel il faut faire attention : c’est le volume du cube élémentaire. En cartésien le volume du cube est constant car la dimension de ses arêtes est constante : V=dxdydzV=dxdydz mais en cylindrique (ou sphérique) ce n’est plus le cas. C’est pour cela que la formule est un peu plus compliqué.

En effet on a en cylindrique un "cube" elementaire qui a un volume dV=dr×rdθ×dzdV= dr \times r d \theta \times dz. En d’autre terme plus on regarde loin de l’axe Oz (rr grand) plus le cube à un volume important. Ainsi la divergence doit être normalisée par le volume du cube. C’est assez logique puisque ce qui nous intéresse c’est "ce qui rentre" par élément de volume identique ("par metre cube" par exemple). Sans cette normalisation la valeur obtenu n’a plus aucun sens et correspondra proche de l’axe Oz (rr petit) à "ce qui rentre" dans un tous petit cube et correspondra loin de l’axe Oz (rr grand) à "ce qui rentre" dans une cube gigantesque… ça n’aurait alors pas de sens de comparer ces deux valeurs. Normaliser par le volume du cube permet de rendre ces valeurs comparable. Ainsi on divise la somme de ce qui rentre et sort dans les petits cube par leur petit volume et on divise la somme de ce qui rentre et ce qui sort des grands cube par leur grand volume afin d’avoir des valeurs qui puissent être comparées.

Concrètement on écrit cela comme : divr^=Fr(r+dr,θ,z)(r+dr)dθdz−Fr(r,θ,z)rdθdzrdrdθdzdiv_{\hat r} = \frac{F_r (r +dr,\theta,z)(r+dr)d\theta dz-F_r (r,\theta,z) r d\theta dz}{r dr d \theta dz}

Et si on re-arrange un peut l’expression on voit : 1r(rFr(r+dr,θ,z)−Fr(r,θ,z)dr+Fr(r+dr,θ,z))\frac{1}{r}(r \frac{F_r (r +dr,\theta,z)-F_r (r,\theta,z)}{dr} + F_r (r +dr,\theta,z))

Et bien sur on evalue cette expression pour des cube infinitésimaux cad drdr tend vers zero :

1r(r∂Fr(r,θ,z)∂r+Fr(r,θ,z))=1r∂(rFr(r,θ,z))∂r\frac{1}{r}(r \frac{\partial F_r(r,\theta,z)}{\partial r} + F_r (r,\theta,z) ) = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r(r,\theta,z))}{\partial r}

Tadaaammmmm

edit : mais je sais pas si c’est très clair. En me relisant j’ai comme un doute…

Tu peux essayer le même raisonnement pour les autres faces de l’élément de volume en cylindrique : les faces orthogonales a θ^\hat \theta et z^\hat z et pour les faces de l’élément de volume en sphériques.

Tu devrais retrouver l’expression de la divergence dans ces coordonnées !

edit2 : correction des erreurs de signe et des d ronds ^^

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Tu doit utiliser les coordonnées sphériques. La tu donnes la formule de divergence pour le cylindrique (ce qui doit te conduire à une mauvaise réponse ^^).

Je ne suis pas certain, je pense que quel que soit le repère utilisé, le champ vectoriel F reste le même.

Après, j’obtiens 2f(r)+rf′(r)2f(r) + rf'(r) comme résultat avec les coordonnées cylindriques, je ne comprends pas pourquoi cela ne marche pas… :-°

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Ça marche pas parce que j’ai raison. :D

Plus sérieusement, c’est à cause des faces "d’entrées" et de "sorties" et des volumes élémentaire dont la surface/le volume n’évoluent pas de la même maniere avec rr en sphérique et en cylindrique:

En cylindrique on a : Face proche de l’axe : dS1=rdθdzdS_1 = r d\theta dz Face loin de l’axe : dS2=(r+dr)dθdzdS_2 = (r+dr) d\theta dz Volume : dV=dr×rdθ×dz=rdrdθdzdV = dr \times r d\theta \times dz = rdr d\theta dz

En sphérique on a (tu trouveras sur google image des dessins similaire a celui que j’ai montré pour les coordonnée sphérique pour t’aider à réfléchir)

Face proche de l’origine : dS1=rdθrsin(θ)dϕ=r2sin(θ)dθdϕdS_1 = r d\theta r sin(\theta) d\phi = r^2 sin(\theta) d\theta d \phi Face loin de l’origine : dS2=(r+dr)2sin(θ)dθdϕdS_2 = (r+dr)^2 sin(\theta) d\theta d\phi Volume : dV=dr×rdθ×dz=r2sin(θ)drdθdϕdV = dr \times r d\theta \times dz = r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi

Si tu refais le calcul que j’ai fais tu verras que tu n’obtiens pas le même résultat en sphérique qu’en cylindrique. Et c’est bien confirmé par la page wiki. (ouf !)

Également : quand je parle de somme sur les faces dans mon post précédant, ce sont des sommes algébrique c’est pour cela que j’ai compté le premier terme en positif et le second en négatif.

En y réfléchissant un peu c’est logique : pour une vitesse toujours orienté positivement selon l’axe r^\hat r dans une face "ca rentre" (donc ++) et sur la face opposé "ca sort" (donc −- ).

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Re, merci pour la réponse ^^

Ça marche pas parce que j’ai raison. :D

Je pense avoir trouvé l’erreur dans mes calculs : j’ai oublié de différencier le rr des coordonnées sphériques du rr des coordonnées cylindriques.

J’ai donc refait mes calculs en posant cc comme étant le rr des coordonnées cylindriques.
J’ai gardé rr comme définit dans mon premier post.

J’ai utilisé la formule suivante pour la divergence en coordonnées cylindriques (avec les 'nouvelles’ notations) :

divF⃗=1c∂(cFc)∂c+1c∂Fθ∂θ+∂Fz∂z\mathrm{div} \vec F = \dfrac{1}{c} {\dfrac {\partial (cF_{c})}{\partial c}}+{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}

Voici le détail des calculs, qui me donne bien la bonne réponse :

f

Précision : Fθ=(f(r)r⃗).1⃗θ=0F_\theta = (f(r) \vec r ) . \vec 1_\theta = 0 parce que r⃗.1⃗θ=0\vec r . \vec 1_\theta = 0

Du coup, je pense que le calcul est quand même possible en coordonnées cylindriques.

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Du coup, je pense que le calcul est quand même possible en coordonnées cylindriques.

Le calcul est possible dans n’importe quel système de coordonnées arbitraire (enfin, tant que tu peux calculer son Jacobien), c’est juste que tu vas te fatiguer pour rien à recalculer un changement de repère.

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@Ludwig : comme l’as dit adri1 le calcul est évidement possible dans n’importe quelle systeme de coordonnée et heureusement (sinon il y a un problème) !

Mais en fait, ce que tu fais en passant par le cylindrique c’est ce compliquer la tache (mais très bien pour apprendre à manier les dérivées ^^ ). Dans ton exercice on te donne directement une expression de rr comme le rr des coordonnées sphérique. Il y a juste a appliquer la formule des coordonnée sphériques.

Mais comme tu le dis :

Et bon… faute de pouvoir interpréter cette formule, j’ai terminé mon exercice sans faire d’histoires.

Ludwig

Au début on trouve forcement ces formules un peu obscure. Elle ne sont pas si évidente à interpréter. Et on a tendance a faire comme tu as fait au début et penser que ça se généralise comme ceci : divf⃗=∂fr∂r+∂fθ∂θ+∂fϕ∂ϕdiv \vec f = \frac {\partial f_r}{\partial r} + \frac {\partial f_\theta}{\partial \theta} +\frac {\partial f_\phi}{\partial \phi} ?

D’où ma réponse qui explique pourquoi ce n’est pas si simple : il faut prendre en compte la déformation lié au système de coordonnée que tu utilises.

Et egalement pour essayer de donner un peu de substance à cet opérateur qu’est la divergence.

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Merci pour les réponses ! ^^

Et dernière toute petite question :

Partant de la formule de la divergence pour un vecteur exprimé en coordonnées cartésiennes, comment peut-on facilement retrouver l’expression de la divergence en coordonnées sphériques ?

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Le plus simple, c’est plutôt de partir de ∫Sf⋅dS=∫V∇⋅fdV\int_S f\cdot \mathrm dS=\int_V\nabla\cdot f\mathrm dV et appliquer ça à un élément de volume comme ce qu’a fait Vael un peu plus haut.

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