Exprimer le terme général d'une suite exprimée en fonction d'une autre

Bonjour,

Désolé de solliciter de nouveau votre aide, mais je bloque actuellement sur l'exercice d'un QCM. L'énoncé est le suivant:

« On étudie l’évolution de deux fourmilières A et B.

Chaque mois, 20% des fourmis de A passent en B et 30% des fourmis de B passent en A.

Au bout d’un nombre de mois égal à n, on note $ u_n $ et $ v_n $ le nombre total (en milliers) de fourmis présentes respectivement dans les fourmilières A et B.

On a dénombré que, initialement, on avait $ u_0 = 320 $ et $ v_0 = 180 $. »

De ces données, j'en ai déduis ces égalités: $$ u_{n+1} = \frac {4}{5} u_n + \frac {3}{10} v_n $$

$$ v_{n+1} = \frac {1}{5} u_n + \frac{7}{10} v_n $$

La dernière proposition du QCM affirme: $ v_n = 200 - \frac {20}{2^n} $

Est ce que cela signifie qu'il est possible de déterminer le terme général de v, même si cette dernière est définie en fonction en partie de u elle-même définie en partie en fonction de v?

Si cela est vraie, cela me permettrait sans doute de vérifier l'avant dernière proposition qui affirme:

« La suite t = - 2u + 3v est géométrique de raison $ \frac {1}{2} $ et vérifie, pour tout n de N, $ t_n = \frac {−100}{2^n} $ . »

Je ne suis pas parvenu à exprimer le terme général de u ou de v. Si vous pouvez m'aider je vous en serai très reconnaissant, car mes essais ne m'ont amenés à rien…

$$ u_{n+1} = \frac {3}{5} u_n + \frac {3}{10} v_n $$

C'est $$ u_{n+1} = \frac {4}{5} u_n + \frac {3}{10} v_n $$

Donc avec : $$ v_n = 200 − \frac {20}{2^n} $$

On peut remplacer Vn par sa formule générale dans la définition de Un+1 : $$ u_{n+1} = \frac {4}{5} u_n + \frac {3}{10} (200 − \frac {20}{2^n}) $$

Idem dans la définition de Vn+1 : $$ v_{n+1} = \frac {1}{5} u_n + \frac {7}{10} (200 − \frac {20}{2^n}) $$

Pour vérifier la dernière proposition : $$ t_n = -2 u_n + 3 v_n $$

$$ t_n = -2 (\frac {4}{5} u_{n-1} + \frac {3}{10} (200 − \frac {20}{2^{n-1}})) + 3 (\frac {1}{5} u_{n-1} + \frac {7}{10} (200 − \frac {20}{2^{n-1}})) $$

$$ t_n = -u_{n-1} + \frac {3}{2} (200 - \frac {20}{2^{n-1}}) $$

Et j'ai l'impression d'être coincé par ici. Remplacer Vn était peut être pas la bonne chose à faire. J'attends aussi les réponses car je suis assez mauvais avec les suites…

Je sais que ça peut se faire en étudiant une suite de matrice, c'est un problème typique en spé maths Terminale, et on peut arriver à obtenir l'expression en fonction de $n$ de $u_n$ et $v_n$. On pose :

$$\forall n \in \mathbb N, U_n = \begin{pmatrix}u_n&v_n\end{pmatrix}$$ $$U_0 = \begin{pmatrix}320&180\end{pmatrix}$$ $$A = \begin{pmatrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{7}{10}\end{pmatrix}$$

On prouve facilement grâce au produit matriciel et à une récurrence que : $$\forall n \in \mathbb N, U_{n} = U_0A^n$$

Là le problème, c'est que la matrice $A$ n'est pas une matrice diagonale, donc avec mon niveau terminale, je peux pas aller plus loin sans autre indication. Mais le but c'est de se débrouiller pour diagonaliser $A$ et pouvoir exprimer facilement $U_{n}$ en fonction de $n$, et donc $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ également.

EDIT : Ok, grâce à WolframAlpha, j'ai pu continuer :

On a : $A = S.J.S^{-1}$, avec : $$S = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3}&1\\1&1\end{pmatrix}$$ $$J = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&1\end{pmatrix}$$ $$S^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{pmatrix}$$

Par récurrence, on montre facilement que $\forall n \in \mathbb N, A^n=S.J^n.S^{-1}$.

On peut donc finalement avoir en fonction de $n$ l'expression des suites $u_n$ et $v_n$ au prix d'un dernier calcul matriciel car $J$ est une matrice diagonale (i.e tous ses coefficients sont nuls, exceptés ceux de la diagonale principale) et on peut donc l'élever facilement à la puissance. Je passe le calcul de $A^n$. On arrive finalement à : $$\forall n \in \mathbb N, U_n = \begin{pmatrix}...&-\frac{20}{2^n}+200\end{pmatrix}$$ J'ai pas eu la foi de la calculer $u_n$ comme ça nous intéressait pas ici.

Donc finalement on a : $\forall n \in \mathbb N, v_n = 200-\frac{20}{2^n}$.

La dernière proposition du QCM est donc vraie.

EDIT 2 : Je vois maintenant ta réponse, si tu connais pas les matrices, je vois pas comment exprimer en fonction de $n$ les deux suites. Il doit sûrement y avoir une autre méthode qui m'échappe.

Je suis en Terminale S Spé Math, mais pour l'instant, matrices et diagonales je n'en ai jamais entendu parler. Du coup j'espère qu'il y a une autre méthode à employer…

edit : oh j’ai mal lu désolé.

Pour vérifier le terme générale de $v_n$, il faut faire une démonstration par récurrence sur $u_n$ et $v_n$ en même temps.

L'idée, c'est qu'on te donne le terme générale de $v_n$, or tu peux calculer facilement $u_n+v_n$ (le nombre de fourmis reste constant) et donc en déduire le terme générale de $u_n$.

Une fois cela fait, tu fais l'initialisation, qui ne posera aucun soucis. Pour la récurrence, tu calcules $v_{n+1}$ en remplaçant $v_n$ et $u_n$ par leurs termes généraux et tu as juste à continuer le calcul qui ne devrait pas poser non plus de soucis. Il faut aussi calculer $u_{n+1}$, mais il suffit de repasser par $u_n+v_n$ que tu connais pour ne pas avoir besoin de s'embêter.

Avec ça, tu ne devrais pas avoir de soucis pour répondre à la question sur la suite $t$.

EDIT : et si on ne t'avais pas donné la formule de récurrence, il aurait été possible (avec un peu d'intuition et d’expérience) de la trouver.

Ici, en calculant les premiers termes des deux suites, on se rend compte qu'elles ont tendance à tendre toutes les deux vers une valeur. En résolvant le système $u=\frac{1}{5}\times u+\frac{3}{10}\times v$ et $u+v=500$, tu obtiens les valeurs limites (300 et 200).

Ensuite, soit tu as déjà bossé sur ce genre de phénomènes et tu te sait que la différence entre un terme et sa limite est une exponentielle décroissante dont tu peux calculer les paramètres, soit tu regardes encore une fois les premiers termes de la suite. Pour $u_n$ : 320, 310, 305, 302.5, … On vois que $u_n-300$ est divisé par deux à chaque fois (suite géométrique), d'où la formule que tu peux supposer (puis démontrer).

Autrement, la solution de Why not ? est aussi faisable, mais elle nécessite plus de connaissances et beaucoup plus de calculs.

Le problème c'est que le terme général de V est une proposition et l'on doit déterminer si elle est vraie ou fausse. Je ne peux pas partir de cette égalité pour en déduire u_n si je sais pas si elle est vraie…

Également, pour l'histoire de $t_n=-2u_n+3v_n$ Il suffit d'écrire : $t_{n+1} = -2u_{n+1}+3v_{n+1}$, on remplace avec les expression de $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ données et avec un bref calcul, on arrive à $t_{n+1}=\frac{1}{2}t_n$, c'est réglé pour $(t_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$. Par définition, $\forall n \in \mathbb N, t_n = t_0\times(\frac{1}{2})^n$, immédiatement $t_0 = -100$, donc en simplifiant on a bien :

$$\forall n \in \mathbb N, t_n = \frac{-100}{2^n}$$

Ce n'est pas un problème. Quand tu fais un résonnement par récurrence, tu cherches à démontrer la véracité d'une proposition. C'est exactement ce que tu cherches à faire ici : démontrer que la formule que l'on te propose est vrai. Il faut juste que ça apparaisse clairement dans ta rédaction. Tu pourra dire par exemple :

On cherche à démontrer la véracité de la proposition $v_n=...$ et $u_n=...$ à l'aide d'un résonnement par récurrence.

Et tu démarres la rédaction habituelle avec l'initialisation et la récurrence.

Bonsoir,

Le problème est présenté de façon à t'emmener sur une fausse piste. On te fait croire qu'il y a 2 suites qui dépendent l'une de l'autre. Mais en fait, tu peux réduire cela à une seule suite. En effet, à chaque étape, on sait que v_n = 500 - u_n

Donc si on cherche à étudier uniquement la suite u, elle est définie par :

u₀ = 320

u_n+1 = 0.8 * u_n + 0.3 * ( 500-u_n) ou encore u_n+1 = 0.5 * u_n + 150

Si on écrit cette formule de façon un peu différente :

u_n+1 - 300= 0.5 * (u_n - 300)

On peut définir une nouvelle suite w, par : w_n = u_n - 300

On voit que cette suite w_n est une suite géométrique de premier terme 20, et de raison 0.5.

Cette suite tend vers 0

Merci de votre aide! En vérité je n'ai pas compris la démarche de Berdes, je n'ai donc pu comprendre que lors de la correction. Pour l'avant dernière proposition, comme quoi t=-2u + 3v est une suite géométrique de terme général t_n = -100/2ⁿ. Comme t_n+1 = -v_n + 3/2 un, il suffisait de dire que t_n+1 = 1/2 t_n. Ensuite, pour la dernière comme quoi v=200 - 20/2ⁿ, il suffisait simplement de faire la somme de 2s + t soit 5v = 500 -100/2ⁿ Voilà, je ne sais pas si c'était ce que vois vouliez dire, mais comme je vois Math Processing Error à la place de chaque formule je vais pas comprendre tout de suite!