Des exercices pour s'améliorer

Bonjour,

Je suis actuellement en Terminale S, spé maths qui plus est. Je rencontre actuellement des problèmes en mathématiques. Quand je lis mon cours, quand je fais des exercices, je comprend un peu, mais je ressens bien que je me trompe quelque part, que le fond ne m'est pas clair. Qu'il y a quelque notions de basique que je ne comprend pas. Je pense que dans mon idée des mathématiques quelque chose est faux, et que si je corrigeais cela j'aurais un meilleur niveau. Des gens sont naturellement doués pour les maths, c'est donc que l'esprit mathématique existe. Auriez vous un site d'exercices, ou autre chose, permettant d’acquérir les bases du raisonnement, de la méthode en mathématiques? C'est peut être flou ce que je demande, ou idyllique, mais pour l'instant les mathématiques ce n'est ni plus ni moins pour moi que l'association pré-apprise d'un type d'énoncé avec un type de réponse. Je dirais que c'est embêtant.

Merci d'avoir lu!

Il y a beaucoup d'intuition derrière les Maths : je m'en suis rendu compte en prépa, quand j'ai commencé à en faire d'un peu sérieuses. Et pour développer son intuition, il faut pratiquer. Une méthode qui me plait bien, c'est d'expliquer, en reformulant. Et cela passe notamment par un résumé : lister les grandes étapes d'un raisonnement permet de prendre du recul et de mieux en comprendre la logique. On s'en rend d'ailleurs compte avec la récurrence : si on ne fait pas la distinction entre initialisation et hérédité, si on lit les lignes en ne gardant en tête que la précédente, on se perd complètement.

Pour les exercices, vous n'avez pas de bouquin ?

Ce n'est pas flou du tout, simplement je pense que tu n'as las le bon mot pour le dire. Vayel a raison : ce que tu cherches à acquérir, c'est de l'intuition. Et pour cela, ma foi il n'y a pas 36 solutions. Soit tu as de l'instinct et tu vois tout de suite ce qui se passe. Si c'est le cas, tu as de la chance et du talent.

Si ce n'est pas le cas — et apparemment, tu es dans cette situation —, ce n'est pas grave. Il suffit de faire un max d'exercice, et avec l'habitude et l'expérience, tu pourras mieux sentir les choses. A priori, utiliser ton livre de cours pour faire des exercices c'est déjà pas mal. Dans les bons livres de maths, il y a sans doute quelques exercices « pour aller plus loin » ou « défis ». Avec ça, tu as de quoi t'amuser un peu et faire des exos un peu originaux qui permettent souvent d'avoir un œil différent sur les choses.

J'ajoute qu'évidemment, lire ton cours pour être à l'aise avec les démonstrations, c'est toujours un plus. Je sais qu'au lycée, les démonstrations n'ont pas un rôle fondamental, sauf éventuellement en spé. Essaye, si tu as le temps, de potasser les définitions et de démontrer les résultats dont la preuve n'est pas faite en cours. Attention toutefois, il y a un certain nombre de choses que tu ne pourras pas démontrer par manque d'outils théoriques (notamment les théorèmes des valeurs intermédiaires, mais aussi quelques autres sur les limites de suites, si ma mémoire est bonne).

Quelque chose qui m'a pas mal aidé c'était d'assister à des conférences et parler avec des matheux. Ça permet de mieux comprendre les différents points de vue et ce que font les autres pour avancer en maths.

Une rencontre qui m'a beaucoup marqué c'était avec Artur Avila. Il m'a expliqué le plus simplement du monde qu'il ne lisait rien du tout maintenant. Que pour faire des maths il discutait avec ses collègues et se baladait sur la plage. Bon, certes, c'est Artur donc il a les capacités intellectuelles pour ne plus rien lire et retenir ce qui se dit à l'oral. Mais j'ai trouvé ça étonnamment vrai que le fait de discuter avec des chercheurs permet d'en apprendre beaucoup plus sur l'intution que n'importe quel livre.

En bref : discute. La plupart du temps tu comprendras mieux en discutant du cours, des exercices avec les autres. Echange tes idées et essaye d'aller plus loin si ça t'intéresse.

Tu peux aussi essayer de lire des choses moins axé sur ton cours ou la connaissance mais plus sur la façon de raisonner. J'ai acheté un livre qui s'appelle tout simplement "le raisonnement" (de souvenir, la première page est bleue) pour mon frère, et malgré les lacunes sur certains passages un peu plus poussé, ca semble l'avoir aidé. Tu as également un exercice très formateur, c'est de trouver des contre exemple (par exemple, si tu enlèves l'hypothèse du continu pour le théorème des valeurs intermédiaires, cité au dessus) parce qu'il te permet de bien cerner pourquoi c'est comme ça et que ca marche, et puis ca en devient amusant !

Au lycée, ce qu'il est vraiment important de connaître, c'est la méthode, tu peux réussir ton bac sans soucis en associant le mot colinéarité à seulement determinant nul (donc sans savoir ce que cela signifie), mais si tu veux te préparer pour le supérieur aussi, il faut que tu connaisses les définitions. Une définition, c'est une carte d'identité de ton objet mathématiques, ca te dit ce qu'il est et ce qu'il n'est pas. C'est en ce sens que "l'esprit mathématique" n'existe pas en soit. Avoir l'esprit mathématique, c'est juste avoir les définitions en tête, et savoir leur donner suffisamment de sens pour visualiser ce qu'elles representent, en ajoutant évidemment, comme dit plus haut, l'expérience que tu as avec.

Si bien sûr, on a un bouquin. En en faisant, j'apprend à résoudre les exercices du même type. Mais en même temps quand je me retrouve en examen devant un exercice qui diffère un peu, je suis quasiment perdu, je n'arrives presque pas à me servir de ce que j'ai fait précédemment. Mais je pense que ça m'aiderait en faisant des exercices originaux effectivement

Merci pour vos conseils! Je pense effectivement que ce que vous m'avez proposés me serait utile. Je vais tenter de discuter avec des mathématiciens et de m'"amuser" un peu avec mon cours.

Je suis pas du tout d'accord. Autant connaître ses définitions permet d'avoir un bon niveau en maths jusqu'à bac +2 (et encore, quand on sort des sentiers habituels ça marche moins bien), autant après on peut plus dire la même chose.

Il y a un moment où il faut utiliser sa créativité, et ça, aucun livre n'explique comment faire. Certaines personnes ont plus ou moins de créativité, et c'est difficile à travailler.

Le matheux qui sera vraiment excellent c'est celui qui aura de vraies nouvelles idées et saura aborder les choses différemment. C'est pas celui qui connaît telle ou telle définition.

Oui, enfin c'est totalement insuffisant. Il est indispensable de connaître les définitions des objets centraux, les théorèmes les plus importants et leurs démonstrations. Et c'est évidemment indispensable de les comprendre.

Typiquement, c'est inenvisageable de vouloir faire des systèmes dynamiques sans une bonne compréhension des théorèmes de point fixe. Et pour cela, il faut connaître la définition d'un point fixe, connaître les différents types d'attracteurs, etc. Dire que la créativité suffit pour pouvoir se passer, même en partie, des définitions et des théorèmes les plus importants, ça me paraît fortement inexact et déconnecté de la réalité « du terrain ».

Ajout — Pour être encore plus précis, je devrais ajouter que la créativité vient également en ayant une bonne connaissance des objets mathématiques connus. C'est en comprenant un maximum de concepts que l'on peut dégager de nouvelles idées et ainsi avoir une intuition suffisamment bonne pour établir les connexions qui permettent de comprendre les choses précisément. Mais il faut jongler avec les concepts, s'y frotter et les tordre dans tous les sens possibles. Bref, il faut se construire une besace de repères pour avancer et générer de la compréhension et améliorer son intuition.

Sans vouloir te vexer, je pense qu'il a de la marge et beaucoup de temps pour se faire les dents avant de penser à ce qu'il pourrait faire en bac+2 ! Disons que cela ne sert pas à grand chose (à part s'amuser, ou perdre son temps) de chercher à retrouver par soi même des résultats vieux de plusieurs centaines de siècle. Poser cette barrière en disant que pour faire des maths il faut tout recréer, en oubliant tous les concepts élaborés avec beaucoup de difficultés par les chercheurs précédents, sous prétexte que ce ne doit être que de la créativité, c'est se tirer une balle dans le pieds.

Pour faire des maths, il n'y a pas que la créativité, il y a aussi le background derrière, parce que sinon, les tours du genre "je resout cette inégalité en utilisant un argument de groupe" tombent à l'eau. Et même lorsque tu serais assez téméraire pour t'attaquer à un domaine encore inconnu, un raisonnement nouveau sans définition de ce que tu manipules, c'est pas un raisonnement échelonné, donc c'est très dense et difficile à comprendre, donc loin d'être beau.

@ c_pages : on s'est mal compris. Il est tout à fait nécessaire de connaître ses définitions et éléments de cours. Mais c'est loin d'être suffisant à partir d'un moment.

C'est utile pour comprendre comment ça marche en profondeur. On ne comprend jamais bien une démonstration sans avoir essayé d'en faire une par soi-même, même si on n'y arrive pas.