Une urne avec plein de boules de plein de couleurs différentes

Bonjour,

Je suis en train de sécher sur un problème de probabilité qui me semble pourtant simple.

L'idée est que j'ai une urne qui contient n boules de m couleurs équitablement réparties.

Je tire simultanément k boules et je dois savoir quel est la probabilité d'obtenir une certaine répartition de couleur dans ce tirage.

Par exemple avec 6 boules de 3 couleurs différentes, je souhaite savoir quel est la probabilité d'en obtenir 2 d'une couleur et 1 une d'autre couleur en en tirant 3.

Intuitivement, je dirais : on se fiche de la couleur de la première boule tiré, la deuxième doit être de la même couleur que la première (1 chance sur 5) et la dernière doit être d'une couleur différente ce qui est forcément le cas. J'obtiens comme ça une probabilité de 1/5 là où je devrais avoir 3/4.

L'ordre (arbitraire) que je prends ne devrait pas poser de problème, donc j'ai du mal à voir où mon raisonnement est faux.

Merci d'avance

Au niveau des choix, ce serait plus : * A, A, B * A, B, A ou B

Et du coup, si on monte (par exemple) à 7 couleurs, 10 boules par couleur et 20 tirages on s'en sort vraiment plus.

Spoil (avéré) du problème en lien :

Je laisse le topic non résolu le temps d'essayer l'autre solution.

Edit : c'est bon, j'ai résolu le problème. Par contre, j'aurais jamais dû regarder les solutions des autres… le deuxième post, c'est quelqu'un qui montre une solution totalement triviale qui doit se coder en moins d'une minute. Là, on a juste envie de se pendre.

Intuitivement, je dirais : on se fiche de la couleur de la première boule tiré, la deuxième doit être de la même couleur que la première (1 chance sur 5) et la dernière doit être d'une couleur différente ce qui est forcément le cas. J'obtiens comme ça une probabilité de 1/5 là où je devrais avoir 3/4.

L'ordre (arbitraire) que je prends ne devrait pas poser de problème, donc j'ai du mal à voir où mon raisonnement est faux.

(R,B,R) est-un tirage valable pour 2 boules d'une couleur et 1 boule d'une autre couleur. C'est pourtant different de (R,R,B).

EDIT: J'avais pas vu simultanement.

@Goeland-croquand :

Après calcul, ça semble un peu plus complexe : quand il y a plusieurs couleurs avec le même nombre de boule, il faut les faire en même temps. Pour les 3 fois 1 couleur, ça donne : 3 parmi 3 pour le choix des couleurs puis 1 parmi 2 puissance 3 pour piocher 1 boule parmi les 2 dispo pour chaque couleur. On divise ensuite le tout par les 3 parmi 6 tirages possibles.

Ça donne 2/5, ce qui complète parfaitement le 3/5 que l'on obtient en faisant 2/1/0.

En tout cas, merci beaucoup. Finalement ma solution constructive tourne en 0.09s, donc je n'avais pas vraiment besoin d'optimisations, mais je pense que cette solution est plus performante couplé à de la prog dynamique pour générer toutes les possibilités de combinaison de tirage comme ce que je voulais faire au départ.