Matrice ≠ tableau bidimensionnel

Bonjour,

Suite à ce message, je crée un nouveau sujet. Ma question est de savoir pourquoi on appelle matrice tout tableau bidimensionnel alors que ça n'a pas de sens de poser dessus la structure des matrices (addition, multiplication, etc.).

La réponse de Holosmos ne m'aide pas trop puisque ma question est justement de savoir pourquoi on ne fait pas la distinction entre les deux. C'est à mon sens comme considérer qu'une suite finie de chiffres est un nombre entier.

Qu'est-ce que ça peut bien faire ?

Salut,

une matrice n'est comme la dit Holosmos qu'une représentation d'un objet quelconque (souvent un tenseur) sous la forme d'un tableau de nombre.

ça n'a pas de sens de poser dessus la structure des matrices (addition, multiplication, etc.).

Ce dont tu parles là, ce n'est pas "la structure des matrices", mais les opérations définies pour la représentation matricielle d'un autre objet (encore une fois, souvent un tenseur).

Une matrice en soit, ça n'a rien de spécial, tu peux très bien définir un autre objet mathématique représentable par des matrices avec des opérations définies autrement.

@Zéphyr : je ne suis pas sûr que ça réponde à la question.

Pour l'addition je ne suis pas d'accord, elle reste parfaitement définie si les deux tableaux sont de mêmes dimensions. De même pour le produit, il reste le produit de Hadamard.
Si en plus on a le bon goût d'avoir des coefficients dans un corps, toutes les propriétés connues des corps s'appliqueront à nos matrices (qui ne seront rien d'autre qu'une manière de manipuler plusieurs nombres).

C'est à mon sens comme considérer qu'une suite finie de chiffres est un nombre entier.

Un "nombre" c'est un concept mal défini, que les mathématiciens ont finalement renoncé à définir, et qui a déjà fait l'objet d'un débat sur le forum.

De plus l'ensemble des suites finies de nombres entiers est dénombrable : on peut trouver une bijection de $\mathbb{N}^n$ dans $\mathbb{N}$ donc ça ne me choque pas trop. Les théoriciens de l’information manipulent des morceaux de la mémoire de l'ordinateur de plusieurs milliers de bits comme un unique nombre (ce qui est une façon de l'interpréter) là où le programmeur en verra plusieurs milliers différents : c'est juste une histoire de sémantique associée à l'information, qui conditionne l'interprétation et les traitements (qu'ils soient informatiques ou mathématiques).

pourquoi on appelle matrice tout tableau bidimensionnel alors que ça n'a pas de sens de poser dessus la structure des matrices (addition, multiplication, etc.).

Parce que tu poses la question dans le mauvais sens. Pour toi, les matrices, on peut les additionner et les multiplier, alors que non. Une matrice, c'est un tableau, point.

C'est ce qu'explique Holosmos :
On a ensuite vu que les applications linéaires pouvaient se représenter sous forme de tableaux, qu'on a donc appelé matrices (vu que c'est un tableau). Et on a vu que ces matrices-là avaient une structure algébrique particulière. Ce sont donc des matrices représentatives d'une application linéaire. Et comme c'est celles qu'on rencontre le plus souvent, on les a appelés tout simplement "matrices", mais l'abus de langage est là (et pas dans le fait d'appeler n'importe quel tableau matrice : ça c'est pas un abus de langage, c'est la définition première)

C'est à mon sens comme considérer qu'une suite finie de chiffres est un nombre entier.

Je vois pas le problème d'une telle considération.

Qu'est-ce que ça peut bien faire ?

C'est rarement une mauvaise chose de se poser des questions sur ce qu'on fait.

Je voulais passer en résolu juste après le message d'adri1, mais il y a eu d'autres messages, je pose quand même :

Ok, merci. Sinon, sans le vouloir, Zéphyr répond tout à fait à la question, en fait. Je retourne dans mon coin, bye.

C'était très voulu : que tu appelles ça matrice, tableau, rectangle ou image, dans le fond on s'en fiche pas mal. Ce qui compte c'est comment tu t'en sers.

Oui, enfin il ne faut pas généraliser : un terme désigne généralement un objet précis.

Pas quand tu commences à communiquer. Si j'appelle "table" une bouteille d'eau toute ma vie, on s'en fout fondamentalement mais ça risque de poser problème le jour où je demande une table dans une cafèt.

Pourtant, selon l'article de wikipédia, l'invention et l'utilisation du terme "matrice" a l'air plus liée à l'algèbre linéaire plutôt qu'au sens "l'objet dont je dispose est un tableau donc on l'appelle matrice car un tableau est une matrice".

D'ailleurs étymologiquement, comment s'expliquerait la création du mot matrice pour désigner un tableau ? Je vais faire quelques recherches…

En fait ça vient de la biologie.
En biologie, une matrice, c'est "la matière (c'est-à-dire le tissu) dans laquelle sont incorporées des structures plus spécialisées — par exemple, des mitochondries dans le cytoplasme d'une cellule.".

Au départ, c'est pas vraiment matrice = tableau. C'est dans l'étude des systèmes linéaires, on utilisait le déterminant. A l'époque, c'est la notion de déterminant qui est centrale en algèbre. La matrice ne représente alors qu'un moyen artificiel, un arrangement de termes duquel on peut extraire un déterminant (comme les tissus biologiques dont on extrait une structure plus spécialisée).

"For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding of pth order."

Première apparition du mot matrice en maths chez Sylvester

Justement, je ne vois pas le sens de séparer a priori les objets de leur mode d'emploi (ce qu'on a, éventuellement, c'est des fonctions (éventuellement réversibles après application) qui oublient des parties du mode d'emploi). Ce que je voulais dire quand je disais que ça répondait à ma question, c'est qu'au fond, j'ai qu'à ne pas communiquer et le problème est réglé.

Il faut dire que c'est tout de même une question intéressante que la dénomination des objets en mathématiques. C'est un problème éthique par nature mais qui est fondamentalement important puisque notre compréhension des mathématiques relève directement de la manière dont on les communique. Ce n'est donc pas idiot ou sans importance que de discuter de ce fait. Contrairement à ce que je peux lire, ça a bien une importance.

Pour revenir à la question, j'aimerai ajouter le fait que les matrices (au sens des éléments de ${\rm GL}(n,\mathbf{K})$) sont utilisées en théorie des groupes.

Notamment dans ce qu'on appelle une représentation d'un groupe. Concrètement, il s'agit d'étudier la possibilité d'un morphisme de groupes entre un groupe $G$ et un groupe de matrices. Par exemple, les automorphismes de la sphère $\mathbf{S}^2$ se représente fidèlement (i.e. morphisme injectif) par le groupe ${\rm GL}(2,\mathbf{C})$. Il y a même un isomorphisme avec le sous-groupe ${\rm PGL}(2,\mathbf{C})$.

Le fait de distinguer matrices et algèbre linéaire est intéressant sur ce point. On a pas à se préoccuper des applications linéaires que pourraient représenter les matrices (surtout que ça dépend de deux bases) mais seulement des relations et des opérations qu'on peut effectuer (et il y a déjà plein de choses à regarder).

C'était très voulu : que tu appelles ça matrice, tableau, rectangle ou image, dans le fond on s'en fiche pas mal. Ce qui compte c'est comment tu t'en sers.

Pas quand tu commences à communiquer. Si j'appelle "table" une bouteille d'eau toute ma vie, on s'en fout fondamentalement mais ça risque de poser problème le jour où je demande une table dans une cafèt.

Mais tu te rends bien compte qu'appeler "table" une bouteille d'eau n'a rien à voir avec appeler "matrice" un tableau avec des nombres dedans, non ?

Mais tu te rends bien compte qu'appeler "table" une bouteille d'eau n'a rien à voir avec appeler "matrice" un tableau avec des nombres dedans, non ?

Evidemment, puisque qu'une matrice est un tableau de nombre (alors qu'une table n'est pas une bouteille d'eau). Mais si tu appelles matrice un tenseur, tu vas avoir des problèmes quand on te parlera de matrice.

Mais comme ce n'est pas du tout ce dont on parle, tout va bien.

C'est au contraire exactement ce dont on parle :

Ma question est de savoir pourquoi on appelle matrice tout tableau bidimensionnel alors que ça n'a pas de sens de poser dessus la structure des matrices (addition, multiplication, etc.).

Sa question revient à dire "je prends les matrices pour des tenseurs, du coup je comprends pas pourquoi on peut appeler une matrice une matrice".

@Algue-Rythme

Un "nombre" c'est un concept mal défini, que les mathématiciens ont finalement renoncé à définir, et qui a déjà fait l'objet d'un débat sur le forum.

Ce dont je parlais est bien défini, c'était des nombres entiers. (et personnellement, ça ne me gêne pas de ne pas avoir de définition mathématique de « nombre »)

De plus l'ensemble des suites finies de nombres entiers est dénombrable : on peut trouver une bijection de $\mathbb{N}^n$ dans $\mathbb{N}$ donc ça ne me choque pas trop.

Je parlais de suites finies de chiffres (binaires par exemple), pas de nombre, mais ça marche aussi avec des suites finies d'entiers naturels. Le problème est que, si on identifie $\mathbb{N}^n$ à $\mathbb{N}$ via une bijection, on devrait perdre la structure de $\mathbb{N}$ (addition d'entiers, etc.).

Les théoriciens de l’information manipulent des morceaux de la mémoire de l'ordinateur de plusieurs milliers de bits comme un unique nombre (ce qui est une façon de l'interpréter) là où le programmeur en verra plusieurs milliers différents : c'est juste une histoire de sémantique associée à l'information, qui conditionne l'interprétation et les traitements (qu'ils soient informatiques ou mathématiques).

Je ne sais pas trop à quoi correspond ton nombre gigantesque. J'aurais mieux compris si tu parlais de la suite finie des bits. Déjà j'imagine qu'il y a au moins une équivalence entre une suite finie de bits et la même renversée. Mais sinon, dans ce cas les deux personnes ne considèrent pas la même structure.

Ce que je veux dire est que la « sémantique » associée à l'information ne devrait pas être détachée de l'information sous peine de faire quelque chose qui n'a pas de sens (enfin, on peut perdre intentionnellement une partie de la sémantique, mais ces morphismes doivent faire partie de notre langage « non arbitraire »). On peut utiliser le vocabulaire associé à la structure que l'on manipule, mais si on définit une multiplication de deux images carrées via la bijection tableau bidimentionnel ↔ matrice, on fait quelque chose de totalement arbitraire (à moins d'introduire une nouvelle structure qui viendra rendre cette opération non arbitraire). C'est le même problème que de se dire que l'on va interpréter l'espace mémoire d'un float en le lisant comme un int en C.

@Holosmos

Je te suis pour les groupes, mais dire que la table d'associations qui représente une permutation est une matrice me gêne un peu (déjà, on n'a même pas a priori la structure de ℕ sur les identifiants des éléments permutés, on aurai très bien pu les appeler A, B, C, … (sauf cas particulier)).

Sinon, je suis d'accord avec ce que tu dis, une matrice ne dépend pas d'un espace vectoriel (on s'en abstrait mais il y a dessus une structure quand même plus riche que celle des tableaux 2d (au passage, je ne confonds pas matrices et transformations linéaires, peut-être que mon tout premier message dans l'autre topic pouvait porter à confusion mais ce n'est pas le cas)). Pour le moment, c'est toujours lié à de l'algèbre linéaire chez moi, mais même s'il y a une manière de voir la structure des matrices hors du cadre de l'algèbre linéaire, cela ne ferait que déplacer ma question. En gros deux possibilités : soit on enlève le sens de la multiplication etc. et dans ce cas le dénominateur commun est « tableau 2d » (pas intéressant comme abstraction), soit on ne l'enlève pas et dans ce cas ce n'est toujours pas un tableau 2d et il faut toujours un nom (qui existe peut-être, mais il ne me semble pas que ce soit « tenseur », voir plus loin). J'avais dit « on appelle un tableau de nombres une matrice même quand ça ne représente pas une transformation linéaire », mais c'est juste parce que je ne connais pas d'exemples où cela n'a pas de sens (même s'il y a d'autres manières de voir les matrices (par exemple avec un graphe biparti), cela peut toujours au moins se voir comme une transformation linéaire dans une base canonique).

@Looping, @adrien

Dans ce cas comment appelle-ton cette "structure des matrices" (puisqu'il faut mettre des guillemets) ? D'après ce que je comprends, les matrices servent à manipuler des applications linéaires, mais ne sont pas pour autant juste des tableaux 2d puisqu'il y a une structure en plus dessus (pour faire une comparaison, ça revient pour moi à dire que ℕ et ℚ sont la même chose puisqu'il y a une bijection entre les deux (sauf qu'il n'y a pas forcément de bijection « canonique » contrairement aux matrices ↔ tableaux 2d)).

@adrien

Je ne connais pas les tenseurs (et n'ai pas envie pour le moment), mais je peux voir sur math.stackexchange ou sur encore math.stackexchange que l'on peut représenter certains tenseurs par certaines matrices de la même manière que l'on peut représenter les formes linéaires par des matrices. Et d'ailleurs, si ce dont tu parles est représenter une forme bilinéaire V×V→K par une matrice, ça revient à « curryfier » la forme en considérant que son type est V→(V→K) ou V→V* (on peut toujours voir ça comme une transformation linéaire).

D'après ce que je comprends, les matrices servent à manipuler des applications linéaires

C'est ça qui est faux (EDIT: ou plutôt, c'est un "oui, on peut mais c'est pas nécessairement le cas"). Les matrices sont justes des tableaux de nombres, point barre. Il n'y a strictement rien à comprendre. Aucun rapport avec les applications linéaires.

On peut (et on le fait très souvent) se servir de matrices accompagnées d'opérations qui vont bien pour représenter et manipuler des applications linéaires, mais c'est complètement décorrélé de ce qu'est fondamentalement une matrice (un tableau de nombre). Sauf qu'on le fait tellement souvent qu'on appelle abusivement matrice tout court une matrice représentative d'une application linéaire (c'est la troisième fois que c'est dit sur le topic, mais peut être que le dire un peu différemment finira par faire passer le message ).

C'est exactement mon point avec l'histoire des tenseurs (remplace tenseur par application linéaire si ça te dérange, ça ne change pas du tout mon propos). Tu considères qu'une matrice est nécessairement représentative d'un tenseur, alors que ce n'est pas le cas (même si l'abus de langage est courant) d'où ta confusion lorsque l'on se met à parler de matrice au sens strict, c'est à dire en tant que tableau de nombre avec rien autour (ou potentiellement des opérations définies différemment des opérations classiques lorsque l'on utilise une matrice pour représenter une application linéaire).

Je reste convaincu que ce n'est pas pertinent d'égaler matrice et tableau 2d.

Je considère que l'on a toujours la multiplication sur les matrices, etc. (je parle du produit matriciel, pas terme à terme ou autre). Cela fait que je n'ai jamais rencontré de matrice non interprétable comme une transformation linéaire, mais de toute manière ce n'est pas exactement le sujet (comme je l'ai déjà dit dans mon message précédent, ça ne fait que déplacer la question : « En gros deux possibilités : soit on enlève le sens de la multiplication etc. et dans ce cas le dénominateur commun est « tableau 2d » (pas intéressant comme abstraction), soit on ne l'enlève pas et dans ce cas ce n'est toujours pas un tableau 2d et cela devrait avoir un nom (qui existe peut-être, mais il ne me semble pas que ce soit « tenseur », voir plus loin). » (plus loin dans mon message précédent)).

Oui, j'ai bien compris ce que vous me dites (c'est d'ailleurs pour cela que j'avais passé mon sujet en résolu). Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi on a égalé les deux structures.

Cependant, je ne vois pas trop quoi me répondre d'autre que « parce que c'est comme ça », je ne sais pas s'il y a grand chose à ajouter (en fait depuis le début du sujet). De toute manière, comme l'a dit Holosmos, c'est un problème « moral ».