Dessinez des groupes !

Bonjour !

Cela fait plusieurs mois que j'y pense. Il y a certaines notions et résultats de groupes finis non triviaux dont j'ai du mal à me faire un dessin (parce qu'il deviendrait vite complexe). Pourtant je reste convaincu qu'on y gagnerait en compréhension et en pédagogie avec de bons dessins. Tout comme un bon diagramme éclaircit une démo.

D'où la petite activité. Je vous propose de poster ici vos meilleures illustrations 2D pour :

• les sous-groupes distingués (notamment le fait qu'un sous-groupe distingué d'un sous-groupe distingué n'est pas toujours distingué dans le groupe considéré ; $H$ distingué dans $K$ distingué dans $G$ n'implique pas $H$ distingué dans $G$) ;

Les théorèmes de Sylow :

• les $p$-Sylow ;
• les centres non triviaux ;
• la classe de conjugaison des $p$-Sylow.

De mon côté je vais aussi commencer les dessins que j'ai en tête. Mais peut-être que vous aurez de l'inspiration pour l'un des 4 thèmes donnés !

En maths les schémas c'est le bien (notamment en topologie). Dommage que j'aie pas encore le niveau pour connaître ce dont tu parles.

Rien ne t'empêche de faire un autre dessin sur le thème des groupes ! Ce ne sera pas perdu, et il est fort probable qu'un prochain tuto sur le sujet en ait besoin :-).

J'avoue que j'aime dessiner, mais là j'pige rien

Par exemple, un dessin sur la notion de groupe ou de sous-groupe, tout "simplement".

J'ai beau réfléchir, je ne vois pas comment représenter de telles notions (et ne connais pas celles que tu proposes).

Pour un sous-groupe, on peut réfléchir en termes d'orbites.

Par exemple avec le groupe symétrique : $\mathfrak{S}_3 = \{ (1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3),e\}$ j'ai dessiné les différentes orbites :

Et chaque orbite (y-compris l'orbite réduite à un point) définit naturellement un sous-groupe puisque stable par loi de composition interne (définition équivalente à celle d'un groupe fini).

C'est difficile de représenter un groupe par un schéma. En général, on dessine plutôt les actions de groupes. C'est d'ailleurs ce que tu as fait pour le groupe symétrique.

Et la plupart du temps, c'est bien plus éclairant.

Je n'ai pas l'impression d'avoir limité le genre de dessins possibles. En tout cas, je n'ai pas voulu (si tel a été le cas).

Autant pour le premier thème donné je suis assez proche de quelque chose de potable, autant pour les autres notions j'ai beaucoup de mal à mettre à plat les notions. Quelle que soit les moyens employés.

Finalement, la seule limitation que je donne c'est la 2D, parce que c'est plus facile à utiliser (une vidéo de 3D, beaucoup moins). Mais même un dessin seul ne peut pas vraiment suffire, il faudra dans tous les cas une explication en plus. Mais une courte explication et un dessin peuvent, à mon avis, être plus éclairant que du texte unique.

edit : je réalise que c'est peut-être le titre qui t'as mis sur cette voie-là. J'hésite à le changer, mais je ne suis pas certain qu'il y ait vraiment ambiguïté.

Ah mais non, je n'ai pas dit qu'il ne fallait pas dessiner de groupes. Simplement, que c'est difficile de le faire. Il est souvent plus simple de représenter graphiquement un action d'un groupe sur un ensemble, que de dessiner un groupe directement.

En général on pourrait étendre le sujet à divers objets mathématiques. Les représentations géométriques en plus d'être parfois sublimes, permettent de mieux comprendre. C'est le but même de l'analyse fonctionnelle que de ramener de l'analyse aux habitudes de géométrie en "géométrisant".

Ce n'est pas une illustration personnelle mais je trouve toujours les trajectoires autour des bassins d'attraction assez incroyables. Evidemment on pourrait représenter les bassins d'attractions plutôt que son portrait de phase, ce qui ferait retomber sur une illustration de groupe probablement.

Désolé de déterrer un sujet de presque $3$ ans mais je trouve que l’idée est vraiment sympa, parce-que les groupes c’est abstrait et en visualisant des propriétés peuvent paraître plus simple.

Bref, j’aimerai bien relancer le sujet. Demain ou ce soir, je poste une illustration du théorème de Lagrange sur un groupe particulier qui permet de mieux comprendre l’idée de la preuve avec les classes d’équivalences (par contre ça sera fait à la main càd pas du tout aussi beau que celui d’Holosmos et avec un papier et un crayon )

Si tu veux déterrer un sujet et garder ta conscience tranquille, il suffit de dire que c’est un atelier estival.

En fonction du schéma que tu présentes, il sera peut-être relativement facile de le vectoriser pour qu’il soit tout beau tout propre.