Dénombrement

Bonjour à tous,

J'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre : "Combien de nombre à 5 chiffres peut-on avoir contenant 2 zéros ?".

J'ai essayer de l'aborder sous plusieurs angles mais je n'y arrive pas. On sait que le premiers chiffre ne peut avoir que 9 possibilités (sans le zéro).

J'imagine qu'il te reste à compter le nombre de manière de placer les 2 zéros et de choisir les 2 autres chiffres.

Le nombre de manière de placer 2 zéros parmi les 4 chiffres est, je crois :

Le nombre de possibilité pour choisir les 2 autres chiffres (1 à 9) :

Donc on aura :

Est-ce exact ?

Les 0 sont indiscernables donc non. Si tu as 5 chiffres, pour placer tes 0, tu as 5 emplacements pour le premier, puis 4 pour le second.

Par contre, et ce n'est pas explicite dans ton expose mais acceptes-tu comme nombre ce genre de chose : 00123 ?

Si non, il faudra raffiner encore un peu, mais tu peux commencer par traiter le cas ou c'est autorise.

EDIT: En fait, c'est parce que dans ton enonce original tu parles de 5 chiffres et maintenant tu parles de 4…

En fait un tel nombre (00123) n'est pas autorisé, c'est pourquoi il n'y a que 9 possibilités pour le premier chiffre.

Par la suite je me suis donc focalisé sur les 4 autres chiffres. Si j'ai 4 chiffres pour placer mes 0, j'ai 4 emplacements pour le premier ($ A_4^1 = 4 $) et 3 emplacements pour les deuxième ($ A_3^1 = 3$) ce qui nous fait $3 \times 4$ et on retombe sur $12$. Cela revient à écrire $A_4^2$.

Les deux zéros sont identiques, donc tu as deux fois moins de possibilités.

Si tu as par exemple le choix entre la position 1, 2, 3 et 4 pour le premier, que tu choisis la position 1, il te reste la position 2, 3, et 4 pour le deuxième zéro, tu peux donc choisir la position 2. C'est exactement pareil que choisir d'abord la position 2 (parmi 1, 2, 3 et 4), et ensuite la position 1 (parmi 1, 3 et 4).

Sinon c'est même comptable à la main : 00xx, x00x, xx00, 0x0x, x0x0, 0xx0. Il y a bien toutes les combinaisons.

Dans ce cas, il y a 6 manières de placer ses zéros, donc :

EDIT : Sous forme de schéma