Fonction continue nulle-part?

Bonsoir à tous, zestes & autres citrons

Etant actuellement plongé dans un DM de maths, je suis confronté à la question suivante:

• Trouver une fonction continue en zéro mais non-continue partout ailleurs

(Cette fonction devant entre autres vérifier une certaine équation fonctionnelle: $f(2x) = f(x)^2$

En fait, je ne comprend tout simplement pas comment une fonction peut-être continue en un seul point. Je sais qu'il existe des fonctions nulle-part continues (indicatrice de Q par exemple). Mais comment faire pour assurer la continuité en un point?

En reprenant la définition de la continuité en 0 ($\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x)$) je comprend encore moins: quand on fait un calcul de limite, on le fait au voisinage d'un point, la fonction devant être continue au voisinage de ce point. Mais dans notre cas, la fonction n'est justement pas continue…

Bref, vous l'aurez compris, j'aurai besoin de votre aide pour résoudre cet étrange paradoxe. Merci d'avance et bonne soirée

Si je me souviens bien d'une de mes colles de prépa, j'avais rencontré une telle fonction. Ton idée de l'indicatrice de Q est un bon point de départ. Par exemple, si tu prends une fonction qui est égale à $x^2$ sur $\mathbb{Q}$ et à $x^3$ sur $\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$, tu te retrouves (si je ne me trompe pas) avec une fonction continue en 0 et 1 et discontinue partout ailleurs. Si j'ai raison, tu peux facilement t'en inspirer pour avoir ce que tu veux.

Merci c'est une bonne idée. Mais mon problème est moins de trouver une solution que de comprendre pourquoi ça marche. Dans ton exemple, pourquoi la fonction est-elle "continue" en 0 et en 1? Ce sont les points d'intersection de $x^2$ et $x^3$ mais je ne vois pas vraiment le rapport.

Personnellement je serais parti sur l'indicatrice de Q × x : $f(x) = x \times 1_{\mathbb Q}(x) $, comme ça on a directement la discontinuité partout sauf en 0 a priori.

Pour ta question "pourquoi la fonction est-elle "continue" en 0 et en 1? ", pas la peine de mettre des guillemets. Partir sur les points d'intersection est une bonne idée. Maintenant, que se passe-t-il si x n'est ni 0 ni 1 pour cette fonction-ci ?

EDIT :

En reprenant la définition de la continuité en 0 (limx→0−f(x)=limx→0+f(x)) je comprend encore moins: quand on fait un calcul de limite, on le fait au voisinage d'un point, la fonction devant être continue au voisinage de ce point. Mais dans notre cas, la fonction n'est justement pas continue…

Pourquoi devrait-on avoir continuité de la fonction pour un calcul de limite ? Quid des limites à droite et à gauche de $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 & \text{si x > 0} \\\ 0 & \text {si x } \le 0 \end{matrix}\right. $ en 0 ? Que comprends-tu de la notion de limites à gauche et à droite ?

En fait je crois que l'OP prend comme définition de continue un truc à base de limites. J'ai pas le temps d'expliquer.

Sinon, ton exo est un peu ce que Tim Gowers appelle « just do it proofs » (voir ici et là).

Les définitions sont équivalentes, je comprends pas pourquoi vous faites des distinctions.

je comprend encore moins: quand on fait un calcul de limite, on le fait au voisinage d'un point, la fonction devant être continue au voisinage de ce point.

Le calcul se fait au voisinage d'un point mais les voisinages sont aussi petits que désirés. C'est pour ça qu'on ne peut conclure que pour la continuité en $0$.

Merci à tous pour vos réponses.

En ce qui concerne la définition de la continuité, notre prof utilise les 2 en cours, selon les situations:

• $f(x)$ est continue en un point ssi la limite à gauche = la limite à droite
• la définition "avec les epsilons"

Reprenez moi si je me trompe, mais pour cette fonction, $lim_{x→0^−}f(x)=0$ et $lim_{x→0^+}f(x) = 1$. Ça tombe bien vu que cette fonction n'est pas continue.

Grâce à vos exemples je crois que je commence à mieux comprendre. Je vais continuer à réfléchir au problème

Je viens de résoudre mon problème. Merci à vous, vous m'avez bien aidé à préciser la notion de continuité

Sujet résolu:

Fonction définie sur $R+$ continue nulle-part sauf en 0 et vérifiant l'équation fonctionnelle $f(2x)=f(x)^2$:

$f(x) = e^{x * 1_Q(x)}$