Fonction intégrable

La réciproque est fausse. Tu peux faire une fonction avec une discontinuité qui reste intégrable : par exemple, une fonction égale à 1 sur l'intervalle $[0,1]$ et 0 ailleurs est intégrable (et son intégrale sur n'importe quel intervalle contenant $[0,1]$ vaut 1), mais pas continue.

Tu as raison quand tu dis que le "alors" dans les théorèmes doit s'interpréter comme une implication simple. En fait, le seul cas qui pourrait porter à confusion est le "si" qui a valeur d’équivalence dans les définitions (et uniquement dans ce cas là).

Pour l'intégrabilité, je pense que ça dépend de ta définition de l'intégrale.

Dans la construction classique (je me rappelle plus le nom ..) de l'intégrale, la fonction doit être continue ou continue par morceau. Du coup ce serait un non sens de parler d'une fonction intégrable non continue.

Dans ton énoncé, la fonction est intégrable car [a, b] est un segment (donc pas de problèmes aux bornes si la fonction est continue.

Pour ta deuxième question, effectivement le "alors" est juste une implication. Pour une équivalence (double implication) on utilise "si et seulement si".

Pour l'intégrabilité, je pense que ça dépend de ta définition de l'intégrale.

Dans la construction classique (je me rappelle plus le nom ..) de l'intégrale, la fonction doit être continue ou continue par morceau. Du coup ce serait un non sens de parler d'une fonction intégrable non continue.

J'imagine que tu parles de l'intégrale de Riemann. Auquel cas, effectivement, une fonction intégrable doit être au moins continue par morceaux.

Mais je ne peux m'empêcher de céder à la tentation de parler d'une autre façon de construire l'intégrale, qui est la construction de Lebesgue. C'est une construction mathématique totalement différente, qui donne une définition de l'intégrale a priori plus sophistiquée est plus compliquée. Mais au final, avec cette théorie, il y a beaucoup plus de fonctions intégrables, et il est bien plus facile de calculer des intégrales. Cette construction nécessite un bagage mathématique relativement avancé, c'est pourquoi elle n'est pas (à ma connaissance) traitée avant la troisième année de maths post-bac (en France). Si tu es en prépa ou au lycée, ce dernier paragraphe est donc purement culturel.