Trouver la loi d'un couple aléatoire !

Vive les révisions de partiels pendant les fêtes

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Bonjour ! Je commence mes révisions de L2 Maths pour la rentrée, et déjà les joies commencent :D

C'est un exercice de probabilité qui fait un intervenir les couples aléatoire et la loi géométrique. Je vous fait un résumé de la question rapide.

Soit $X_1$ une variable aléatoire qui suit une loi géométrique $G(p)$ (petit rappel $ \forall k \in \mathbb N^*,\ \mathbb P(X_1 = k) = p(1-p)^{k-1} $) La question est : Calculer pour tout couple $(k, l) \in \mathbb N^*^2$ la probabilité de l'événement $\{X_1 = k, X_2 = k + l\}$. En déduire la loi de probabilité de $X_2$

Après une grosse demie heure de recherche, j'ai un peu avancé. Mais n'ayant pas de corrections à ces questions, je ne suis vraiment pas sûr de ce que j'ai fait, d'où mon post.

A la lecture de l'énoncé (plus détaillé que celui ci, mais faîtes moi confiance), il est clair que $X_2$ suit une loi Géometrique de même paramètre pour un k fixé. Le problème c'est que dans notre cas, k n'est pas du tout fixé (puisqu'il dépend de $X_1$). J'ai donc eu l'idée de jouer avec les ensembles pour arriver sur le calcul d'une somme (infinie). Voici mon raisonnement :

$$(X_1 = k) \cap(X_2 = k + l) = \bigcup _{k=0}^{+\infty} (X_2 = k + l)$$

J'ai sauté les étapes de calculs, si vous les voulez dîtes moi, mais ça reste assez simple, j'ai simplement fait une intersection avec $\Omega$. Sauf que calculer la probabilité de cet événement s'avère plus compliqué que ce que je sais faire (je n'ai pas fait la première année, j'ai de grosses lacunes en calculs). Du coup je suis incapable de dire si mon raisonnement est bon puisque je ne peux pas calculer la probabilité du couple, et par conséquent en déduire la loi de $X_2$.

$$ \begin{aligned} \mathbb P(X_1 = k \cap X_2 = k + l) &= \sum_{k = 0}^{+\infty} \mathbb P(X_2 = k + l) \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} p(1-p)^{k+l-1} \end{aligned} $$

Sauf que je ne sais pas aller plus loin que cette somme, si elle est bonne !

Merci d'avance de votre aide !

Edit : Un peu plus de précision sur l'énoncé

L'expérience : des boules blanches rouges et noire dans une urne. Les tirages sont aléatoire avec remises et indépendants. la probabilité de tirer une boule blanche/noire /rouge est respectivement p/q/r. 1) $X_1$ la variable aléatoire donnant le numéro de tirage de la première boule blanche. Donner sa loi Réponse : Géométrique (et tout le blabla qui va avec) 2) $X_2$ la variable donnant le numéro de tirage de la deuxième boule blanche. Trouver pour tout couple (k, l) la probabilité de l'événement $\{X_1 = k, X_2 = k + l\}$. En déduire la loi de probabilité de $X_2$.

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Salut,

il est clair que $X_2$ suit une loi Géometrique de même paramètre pour un k fixé. Le problème c'est que dans notre cas, k n'est pas du tout fixé (puisqu'il dépend de $X_1$).

Ça me paraît étrangement formulé. Fondamentalement $X_1$ est une application (à valeurs dans un certain espace $E$, disons) ; $k$ désigne typiquement un élément de $E$. Ainsi regarder $(X_1=k)$ (à $k$ « fixé ») a bien un sens (c'est $X^{-1}(\{k\})$). Cependant, dire que $k$ dépend de $X_1$, c'est étrange. De même, quel sens donner à suivre une loi « à $k$ fixé » ? Conditionnellement à $(X_1 = k)$ (si c'est pas négligeable) ?

Beaucoup d'objets de différentes natures cohabitent ici, je pense qu'il est important d'être précis dans le vocabulaire, ne serait-ce que pour être sûr de ce que l'on fait.

ÉDIT (après lecture de l'énoncé) : effectivement, il semble qu'il y ait une confusion quand tu découpes $(X_1 = k) \cap (X_2 = k + l)$. D'ailleurs, la valeur de $\mathbb{P}((X_1 = k) \cap (X_2 = k + l))$ que tu obtiens ne dépend pas de $k$, ce qui est un peu dérangeant au vu de l'expérience que tu modélises. Comment en es-tu arrivé à :

$$(X_1 = k) \cap (X_2 = k + l) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}}{(X_2 = k + l)}$$

?

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Aah, c'est fort possible que je confondent certaines choses, c'est d'ailleurs pour ça que je suis ici, sinon j'aurais probablement réussit ma question.

En disant "pour un $k$ fixé", je voulais essayer d'exprimer que si on cherchait "juste" le deuxième tirage d'une boule blanche, c'était très simple et se calculait immédiatement. D'ailleurs, par intuition je dirais que la loi de $X_2$ est tout bêtement : $\mathbb P(X_2 = k+l) = p^2(1-p)^{k+l-2}$. Mais bon, j'ai rapidement appris que l'intuition et les maths ça faisait souvent deux

En fait pour faire mes calculs, j'ai fait :

$$\begin{aligned} (X_1 = k) \cap (X_2 = k + l) &= (X_1 = k) \cap (X_2 = X_1 + l) \\ &= (X_1 = k) \cap (X_2 = X_1 + l) \cap \Omega \\ &= \bigcup_{k \in N^*}(X_1 = k) \cap (X_2 = X_1 + l) \\ &= \bigcup_{k \in N^*}(X_2 = k + l) \\ \end{aligned}$$

Voilà comment j'ai fait mon calcul.

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Mais bon, j'ai rapidement appris que l'intuition et les maths ça faisait souvent deux

Pas nécessairement. En l'occurrence, tu as mal compris les notions et donc ton intuition ne correspond pas à ce dont on parle ici.

Ton calcul est faux, $k$ est une valeur fixée (tu as fait un « pour tout $(k,l)$ » ce qui fixe $k$).

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Quand tu as écrit $(X_1=k)\cap (X_2=X_1+l)\cap \Omega = \bigcup_{k\in \mathbb{N}} (X_1=k)\cap (X_2=X_1+l)$ c'est faux. Dans le premier membre, c'est pour « une » valeur de $k$ alors que dans ton second membre tu as fait une réunion sur toutes ses valeurs possibles.

Au passage, intersecter avec $\Omega$ ne change rien puisque tes événements sont toujours des parties de $\Omega$.

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En préliminaire, je me demande vraiment pourquoi tu ne voulais pas donner l'énoncé précis. Cet énoncé était simple, clair … et tu as préféré poser une question compliquée.

K suit une loi géométrique.

L suit aussi une loi géométrique, strictement la même loi que K.

et K+L ?

Je calculerais bien P(K+L)=2 , puis P(K+L)=3 , puis P(K+L)=4 … pour me faire une idée. Et qui sait ? Une démonstration par récurrence ?

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@Holosmos En fait je me suis inspiré de ce qu'on faisait en cours. Souvent on faisait un système complet d'événement pour trouver la loi de probabilité, d'où mon idée.

@Elegance J'ai essayé de faire ce que tu m'as dit et ça m'a donné une idée :

Du coup j'ai avancé un peu avec tout ce que vous m'avez dit, mais j'ai un doute à levé, sinon je pense avoir réussit la première partie de la question.

J'ai essayé de calculer $\mathbb P(X_1 = 1, X_2 = 1+1)$ et j'en suit arriver à la conclusion que ça faisait tout bêtement $p^2$. En effet, il faut que la première fois un tire une boule blanche, puis que le coup d'après on le fasse aussi, donc $p^2$. J'ai donc décidé de poser une variable aléatoire $Y = X_2 - X_1$. $Y$ compte le nombre de tirage avant d'obtenir une deuxième boule blanche, sans tenir compte du rang du premier tirage. Clairement, $Y$ suit une loi géométrique de paramètre p (comme $X_1$)

Ainsi $(X_1 = k) \cap (X_2 = k + l) = (X_1 = k) \cap (Y = l)$ Donc si X_1 et Y sont indépendantes :

$$\begin{aligned} \mathbb P(X_1 = k, X_2 = k + l) &= \mathbb P(X_1 = k, Y = l) \\ &= \mathbb P(X_1 = k) \mathbb P(Y = l) \\ &= p(1-p)^{k-1}p(1-p)^{l-1} \\ &= p^2(1-p)^{k+l-2} \\ \end{aligned} $$

Donc c'est tout beau, sauf que je ne sais pas si je peux dire tout de suite que $X_1$ et $Y$ sont indépendantes. Ca me praît évident mais bon, la rédaction c'est pas forcément mon fort.

Du coup j'ai continué la question et je trouve (en spoiler les calculs, c'est un peu long) :

$$\mathbb P(X_2 = n) = 1-(1-p^{n-1}$$
)

Le calcul complet :

Soit $n \in \mathbb N, n \ge 2$

$$\begin{aligned} \mathbb P(X_2 = n) &= \sum_{k+l = n} \mathbb P(X_1 = k, X_2 = k+l) \\ &= \sum_{k = 1}^{n-1}\sum_{l = 1}^{k} \mathbb P(X_1 = k, X_2 = k+l) \\ &= \sum_{k = 1}^{n-1}\sum_{l = 1}^{k} p^{2}(1-p)^{k+l-2} \\ &= \dfrac{p^${2}}{(1-p)^{2}}\sum_{k = 1}^{n-1} (1-p)^{k} \sum_{l = 1}^{k}(1-p)^{l} \\ &= \dfrac{p^${2}}{(1-p)^{2}}\sum_{k = 1}^{n-1} (1-p)^{k} (1-p)\dfrac{(1-p)^{k}}p \\ &= \dfrac{p}{(1-p)}\sum_{k = 1}^{n-1}(1-p)^{2k} \\ &= \dfrac{p}{(1-p)} \dfrac{1-(1-p)^{n-2}}p \\ &= \dfrac{1-(1-p)^n}{1-p} \\ &= 1-(1-p)^n \end{aligned} $$

Le résultat semble cohérent, cependant je n'ai pas réussit à calculer que la somme faisait 1.

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Donc c'est tout beau, sauf que je ne sais pas si je peux dire tout de suite que X1 et Y sont indépendantes. Ca me praît évident mais bon, la rédaction c'est pas forcément mon fort.

Tu peux à condition de te servir d'une information de l'énoncé, qu'il faut bien mettre en avant. C'est plus de la compréhension de français (comme souvent en probabilité discrète, c'est moins le cas en probabilité continue où là il faut plutôt bienn maîtriser l'analyse que la lecture d'énoncé).

Pour le reste, la déterminationn de la loi de X2 :

  • je te conseillerai de détailler précisément l'ensemble $X_2(\Omega)$ qui est simple certes mais pas immédiat.
  • enfin, juste histoire de détailler, $P(X_2 = n) = \sum_{k+l = n} \mathbb P(X_1 = k, X_2 = k+l)$, oui pourquoi ? Je n'ai pas regardé plus que ça les calculs, mais l'idée est là.
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Faisons une application numérique ( p = 0.3333 par exemple), et calculons P(X2=100), ou P(X2=101) …

On aimerait que ces nombres soient très petits. Et on constate qu'ils sont quasiment égaux à 1.

Donc non, le résultat ne semble pas cohérent.

Suis le conseil que je t'ai donné.

Pour n = 2 , P(X=2) = p² , ok Calcule aussi P(X=3) et P(X=4), et tu vas voir quelque chose se dessiner.

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