Algèbre Linéaire - Noyau

Bonjour,

Je dois montrer ceci et je veux savoir si ça tient la route car la correction le fait d'une manière complètement différente que je ne comprends pas bien.

Soit A une matrice de taille $m,n$ . Monter que $Nul({A^T}A) = Nul(A)$ (où $Nul(A) = Ker(A)$ )

Je pensais partir sur les deux inclusions des deux ensembles pour montrer l'égalité. ${A^T}A$ est une matrice de taille $n,n$

${A^T}A\overrightarrow x = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow A\overrightarrow x \subset Nul({A^T}) \Leftrightarrow \overrightarrow x \subset Nul({A^T}A)$

$A\overrightarrow x = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow x \in Nul(A) \Leftrightarrow \overrightarrow x \subset Nul(A)$

Ainsi, on a montré que $Nul({A^T}A) = Nul(A)$ .

Cependant, le corrigé passe par les compléments orthogonaux, et je ne vois pas pourquoi ce que j'ai fais au dessus ne suffit pas et/ou n'est pas correct.

Merci!

${A^T}A\overrightarrow x = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow A\overrightarrow x \subset Nul({A^T})$

Comment obtiens-tu la proposition de droite ?

$\overrightarrow x \in Nul(A) \Leftrightarrow \overrightarrow x \subset Nul(A)$

Comment obtiens-tu cette équivalence ?

A plus !

${A^T}A\overrightarrow x = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow A\overrightarrow x \subset Nul({A^T})$

Comment obtiens-tu la proposition de droite ?

${A^T}A\overrightarrow x = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {A^T}(A\overrightarrow x ) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow A\overrightarrow x \in Nul({A^T})$

La deuxième je suis pas sûr mais ça doit être correct, non?

${A^T}A\overrightarrow x = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {A^T}(A\overrightarrow x ) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow A\overrightarrow x \in Nul({A^T})$

Ce n'est pas ce que tu as écrit.

La deuxième je suis pas sûr mais ça doit être correct, non?

Nop. Comment passes-tu de l'appartenance à l'inclusion ?

Salut,

le problème est plus profond que les détails que relève Vayel, il est au niveau du raisonnement que tu conduis. Tu ne prouves absolument pas que les deux noyaux sont égaux, tu te contentes de réecrire leur définition. À aucun moment tu ne fait de lien logique du genre "si $\vec x$ est dans le noyau de l'un, alors il est aussi dans le noyau de l'autre, et réciproquement".

Si tu écris $Bx=0\iff x\in Ker(B)$ ; et $Ax=0\iff x\in Ker(A)$ (ce qui est exactement ce que tu as écrit et ne revient qu'à la définition de ce qu'est un noyau, sauf que tu as noté $B=A^TA$), tu ne prouves rien du tout sur la relation entre $Ker(A)$ et $Ker(B)$. Il te faut encore montrer que $x\in Ker(A)\iff x\in Ker(B)$. Et autant c'est trivial dans le sens $x\in Ker(A)\Rightarrow x\in Ker(A^TA)$, autant dans l'autre sens tu as besoin de réfléchir un peu plus.

Tu devrais poser plus proprement tes variables.

J'ai l'impression qu'il y a plein d'erreurs de typage. Par exemple :

De même pour $\overrightarrow x \in Nul(A) \Leftrightarrow \overrightarrow x \subset Nul(A)$.

Juste pour être sûr d'être sur la même longueur d'onde, $A^T$ c'est la transposée de $A$ ?

Ok. Merci! Je pensais l'inclusion c'était pareil que l'appartenance! Sinon, j'ai bien regardé la preuve du corrigé et je vois pourquoi ça joue pas chez moi!

@QuanticPotato : Oui, c'est bien la transposée.

Merci!