Exercice d’équations différentielles partielles

Hello,

Je bloque sur un de mes DMs.

Utiliser la méthode de séparation des variables pour résoudre l’équation suivante

$$ \dfrac{\delta w}{\delta t} - \dfrac{\delta^2 w}{\delta x^2} = 0, \qquad -\pi \leq x \leq \pi $$

sujette aux conditions

$$ w(x, 0) = 0, \qquad w(\pi, t) - w(-\pi, t) = 2\pi, \qquad w_x(\pi, t) - w_x(-\pi, t) = 0 $$

Je ne vois pas du tout comment commencer. J'ai bien essaye

Soit $w(x, t) = X(x)T(t)$, en utilisant les conditions, on obtient :

• $w(x, 0) = X(x)T(0) = 0$

Donc $X(x) = 0$ ou $T(0) = 0$. Comme $X(x) = 0$ est la solution triviale de l’équation, nous allons prendre $T(0) = 0$.

• $w(\pi, t) - w(-\pi, t) = X(\pi)T(t) - X(-\pi)T(t) = T(t)[X(\pi) - X(-\pi)] = 2\pi$

Donc $T(t)$ doit être constante et ainsi $T(t) = 0$.

Dans tout les cas, la solution est $w(x, t) = 0$.

Ma conclusion est que $w$ n'est pas de la forme $X(x)T(t)$.

Quelqu’un pourrait m'indiquer la ou je me trompe ?

Merci d'avance.

Merci pour ton aide. Et désolé pour la réponse tardive.

Par ailleurs, tu as certainement une erreur dans ton énoncé. Je parie qu'il s'agit d'un $=$ et pas d'un $-$ pour tes conditions.

Haha, non, c'est bien ça. Comme le prouve cette photo d'une qualité effrayante .

Ha bah c'est d'autant plus simple. En fait j'avais mal lu et je pensais qu'il y avait deux variables spatiales et une variable temporelle.

Du coup, $\omega = XT$, donc $\omega_t = XT'$ et $\frac{\delta^2 \omega}{\delta x^2} = X''T$. Cela permet de ré-écrire le problème:

Autrement dit, $\frac X {X''} = \frac T {T'} = 0$ et donc $\frac X {X''} = \alpha$ et $\frac T {T'} = \beta$ avec $\alpha + \beta = 0$.

Tu résouds ces deux équations, ce qui doit donner brièvement:

1. $T(t) = ce^{-\beta t}$ avec la constante à obtenir sur les conditions intiales.
2. $X(x)=A\cos(\alpha \sqrt x)+B\sin(\alpha \sqrt x)$, ou $X(x)=Ax+Bx$ ou $X(x)=Ae^{−(\sqrt{−\alpha})x}+Be^{(\sqrt{−\alpha})x}$, en fonction du signe de $\alpha$ et avec les constantes à déterminer avec les conditions de l'énoncé.

Combine les deux et ça fait des chocapics.