Exercice : limite d'une fonction

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, pendant les vacances, je m'entraîne avec des exercices et des problèmes de mathématique divers, provenant de livres ou de livres numériques. Justement, un me pose problème :

"Montrer en appliquant la définition, que l'on a :

$\lim_{x\to 1} (x²+x) = 2$

Voici le début de mon raisonnement :

$\exists \epsilon > 0$ avec $|f(x) - l| < \epsilon$

$\Leftrightarrow |(x²+x) - 2| < \epsilon$

$\Leftrightarrow 2 - \epsilon < x²+x < 2 + \epsilon$

A partir de là, il faut que j'encadre seulement la variable x et que je fasse disparaître x², de manière à soustraire 1 à x. De ce fait, on prouve l'existence de $\eta > |x-x0| \Leftrightarrow |x-x0| = |x-1|$. Or, je n'arrive pas à faire disparaître le x², est-ce vraiment nécessaire? Un autre moyen de montrer cette limite? J'ai aussi tracer le graphe de $f(x) = (x²+x)$, elle possède un minimum en $x = \dfrac{-1}{2}$…

Merci d'avance.

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Quelle définition ?

Nicox11

Même question

En pratique, je te déconseille de travailler en baladant une équivalence ou un encadrement dans un raisonnement, c'est le risque de louper une hypothèse qui fait qu'un sens de l'équivalence est vrai mais pas l'autre sens.

Sinon, partir de la limite de $f$ vers la valeur d'un bon $\eta$ peut marcher ici mais ça ne fonctionne pas à tous les coups. Je te conseille de commencer par poser un $\eta$ et de trouver un encadrement de $f(x)$ avec cet $\eta$.

De cet encadrement, tu pourras extraire une relation (une inégalité) entre le $\epsilon$ de la définition et $\eta$. À ce moment, il suffit de bien choisir $\eta$ en fonction d'epsilon.

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Voici la définition du livre :

$|x-x0| < \eta \leftrightarrow x0 - \eta < x < x0 + \eta$, entraîne :

$|f(x)-l| < \epsilon \leftrightarrow l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon$

EDIT : Avec epsilon un nombre positif aussi petit que l'on veut, de même pour êta.

Il doit donc bien y avoir un moyen de switcher de l'un à l'autre. Après, ce n'est pas la seule méthode. Il y en a une de bien plus intuitive qui consiste à tracer le graphe de la fonction à partir du tableau de signe de la dérivée (ou par composition) et voir "comment ça tend". Mais ça ne semble pas s'y appliquer ici, elle admet un minimum en x = 1/2 mais c'est tout.

J'essaye la méthode de Nheir.

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Tu devrais pas avoir de $x$ dans ton encadrement puisque ton but c'est justement de le remplacer par $\eta$.

Je trouve pas cette approche très efficace. Je préfère choisir $\epsilon$ et dérouler : on étudie le signe de $x^2+x-2$ pour faire sauter les valeurs absolues et on en déduit une condition sur $x$.

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Voici la définition du livre :

$|x-x0| < \eta \leftrightarrow x0 - \eta < x < x0 + \eta$, entraîne :

$|f(x)-l| < \epsilon \leftrightarrow l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon$

EDIT : Avec epsilon un nombre positif aussi petit que l'on veut, de même pour êta.

Attention le $\eta$ dépend du $x_0$ ! (Il n'est donc pas aussi petit que l'on veut).

Sinon intuitivement pour trouver le limite avec le graphe, tu regarde quel valeur prend la fonction quand $x$ est proche de 1. (Je ne sais pas si c'est ce que tu as fait). En l'occurence, comme la fonction est continue ce sera $f(1)$.

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Tu devrais pas avoir de $x$ dans ton encadrement puisque ton but c'est justement de le remplacer par $\eta$.

Je trouve pas cette approche très efficace. Je préfère choisir $\epsilon$ et dérouler : on étudie le signe de $x^2+x-2$ pour faire sauter les valeurs absolues et on en déduit une condition sur $x$.

Holosmos

En fait, je ne comprend pas trop le raisonnement à adopter. Sauf erreur de calcul (fort probable), je conclu que $X²+X-2$ est positif à l’extérieur des racines $X0 = 1$ et $X1 = -2$. A partir d'ici, j'ai du mal à voir… On prend séparément les deux résultats de la valeur absolue?

EDIT : j'ai écrit énormément pour cette exercice, j'ai pleins de fiches avec des raisonnements différent. Devrais-je les garder ou bien ne garder que l'essentiel? On dit que c'est important d'avoir toute sa trame mais il ne faut pas se perdre non plus.

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On prend séparément les deux résultats de la valeur absolue?

Oui. Et n'oublie pas que ce qui t'intéresse, ce sont les valeurs proches de $1$. Donc en fait tu n'as qu'une distinction de cas à faire (un peu plus grand ou un peu plus petit que $1$).

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Je tourne en rond et mes feuilles de brouillons se multiplient, je ne voit pas la solution.

Je ne perd pas espoir mais il me reste beaucoup d'exercices, je ne peut pas rester éternellement sur celui-ci (c'est pour cela que je demande votre aide). J'aurais bien aimé vous envoyé mes fiches mais mon scanner ne fonctionne plus.

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Pour t'aider j'ai essayé de rédiger un bout de solution. C'est excessivement très détaillé.

J'ai utilisé un $\delta$ à la place de la lettre $\eta$, mais c'est la même chose.

Soit $f(x) = x^2 + x$.

On veut montrer que $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$. C'est à dire d'après la définition de la limite :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathbb{R}, \quad |x - 1| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - 2| \leq \varepsilon$$

Au passage tu peux remarquer que la partie $\forall x \in \mathbb{R}, |x - 1| \leq \delta \Rightarrow$ est équivalente à $\forall x \in [1 - \delta, 1 + \delta]$. (C'est plus clair je trouve).

On commence donc par poser un $\varepsilon > 0$ quelconque.

Il faut désormais construire (C'est à dire en donner une valeur explicite) un $\delta > 0$ qui "marche", c'est à dire tel que

$$\forall x \in [1 - \delta, 1 + \delta], \quad |f(x) - 2| \leq \varepsilon$$

Comme à priori on ne voit pas quel $\delta$ prendre, on va raisonner par Analyse-Synthèse. C'est un peu ce que tu as fait, mais ça à l'air assez flou ^^ . Ce raisonnement consiste à supposer que le $\delta$ existe, et à dérouler les calculs.

Ainsi, pour tout $x$ dans l'intervalle $[1 - \delta, 1 + \delta]$, on a $|f(x) - 2| \leq \varepsilon$, c'est à dire :

$$|x^2 + x - 2| \leq \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad - \varepsilon \leq x^2 + x - 2 \leq \upvarepsilon$$
À partir de là il y a plein de démarches possibles. Par exemple tu peux raisonner sur les deux inégalités séparémment :

  • $x^2 + x - 2 \leq \varepsilon$. C'est une simple inégalité du second degré, que tu sais résoudre à priori (donc je détaille pas). On trouve comme solution :
    $$ \frac{-1 - \sqrt{1 + 4 (2 + \varepsilon)}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 (2 + \varepsilon)}}{2}$$
    (ce sont les deux racines du polynôme)
  • $x^2 + x - 2\geq - \varepsilon$. On trouve de la même manière :
    $$ \frac{-1 - \sqrt{1 + 4 (2 - \varepsilon)}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 (2 - \varepsilon)}}{2}$$

Pour que ces deux inégalités soient vérifiées, il suffit que la première soit vérifiée (tu peux le vérifier facilement). On a donc un encadrement de $x$. Il s'agit maintenant d'extirper un $\delta$ ($> 0$ !) pour transformer cet encadrement sous la forme :

$$ |x - 1| \leq \delta \quad \Longleftrightarrow \quad 1 - \delta \leq x \leq 1 + \delta$$
Attention, ce $\delta$ doit être strictement positif !!

Une fois que tu as l'expression de ce $\delta$, tu vérifie qu'il convient bien (c'est la réciproque, pour être bien rigoureux).

Il est possible que j'ai fais une ou plusieurs erreurs, je vois pas grand chose quand j'écris du latex … Et j'ai pas beaucoup de temps pour relire.

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Une autre façon de faire est la suivante. Je dis que je cherche $\delta$ de la forme $\epsilon/n$ avec $n$ à déterminer. Je développe

$$ |(1+\epsilon/n)^2 + (1+\epsilon/n) -2| =| 3\epsilon/n + \epsilon^2/n^2| $$

et là on voit pour $\epsilon <1$ et $n\geq 1$ (qui est le seul cas intéressant)

$$ | 3\epsilon/n + \epsilon^2/n^2| \leq |4\epsilon/n| $$

et donc si je veux

$$ 4\epsilon/n < \epsilon $$

je peux prendre $n=5$ et donc $\delta = \epsilon/5$ qui va convenir (pour $\epsilon<1$, dans le cas contraire $\delta = 1/10$ marche).

PS : je trouve ça plus élégant. On utilise pleinement le fait que $\delta$ n'est pas nécessairement optimal et on s'allège pas mal le boulot.

PS^2 : vous remarquerez que j'ai fais le cas $x=1+\delta \geq 1$ et il faut encore étudier à gauche. Mais c'est tout à fait similaire.

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Merci énormément pour vos retours. Je ne comprend pas trop la démonstration d'Holosmos mais celle de QuanticPotato est efficace. Donc pour finir la démonstration, comme il est probable qu'il y ai des erreurs de calcul, je donne juste le raisonnement :

Une fois que l'on a encadrer notre x après avoir résolu l'équation du second degré (dans les deux cas), on part d'une des inégalités et on y retranche 1 :

$\frac{-1 - \sqrt{1 + 4 (2 + \varepsilon)}}{2} - 1 \leq x - 1 \leq \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 (2 + \varepsilon)}}{2} - 1 $

Ensuite, on pose dioptrie (êta, dans mon cas) comme étant le plus petit nombre positif des deux inégalités. Or, $\frac{-1 - \sqrt{1 + 4 (2 + \varepsilon)}}{2}$ est probablement négatif, donc on prend $1 - \frac{-1 - \sqrt{1 + 4 (2 + \varepsilon)}}{2}$. Ensuite, on encadre $x - 1$ avec dioptrie.

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