Preuve vérification multiplication

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Bonjour, je suis élève en prépa PCSI, et ma petite soeur, en CE2 m'assure savoir si elle se trompe dans une multiplication, un exemple pour expliquer :

$97861*550=53823550$

en faisant la somme des chiffres des facteurs:

$9+7+8+6+1=31$ => $3+1=4$

$5+5+0=10$ => $1+0=1$

en multipliant les deux chiffres obtenue on obtient celle du résultat : (4*1=4)

$5+3+8+2+3+5+5+0=31$ => $3+1=4$

Elle m'assure que sinon , on s'est trompé.

  1. Quelqu'un a t-il une preuve a proposée ?
  2. Est-ce bien une condition nécessaire et suffisante ?
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suffisante

Non. La somme des chiffres de 400 est bien 4, mais 97861∗550≠400.

nécessaire

C'est pas impossible, mais je n'arrive pas à le démontrer spontanément.

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C'est une condition nécessaire, mais pas suffisante. Ca s'appelle la preuve par 9.

La preuve que cette condition n'est pas suffisante, elle est évidente. Par exemple, si je dis que 1*1 = 10 … et que je vérifie avec cette règle, cette règle me dit que oui, mon calcul peut être juste, alors qu'il est visiblement faux..

Pour prouver que c'est une condition nécessaire, il faut connaître les notions de modulo, et faire les calculs modulo 9.

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Ce qui peut être intéressant pour une preuve, c'est de remarquer que la somme des chiffres d'un nombre telle que définie ici est équivalente à prendre ce nombre modulo 9 (ça se démontre facilement en prenant l'écriture d'un nombre sous la forme d'une somme de puissance de 10).

Du coup, ce qu'il reste à démontrer, c'est que (xy)%9=((x%9)(y%9))%9, qui devrait paraître plus facile que la question initiale.

Edit : Elegance dit la même chose, je poste quand même.

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Salut,

Vu les deux posts ci-dessus, je poste quand même – en secret.

C'est une condition nécessaire et c'est de la division euclidienne par 9 : $n \equiv s(n)[9]$ où $s(n)$ est la somme des chiffres de $n$ en base 10 (en effet si $n=\Sigma_{i=0}^{r}b_i 10^i$ avec $b_i \in \{0, \ldots, 9\}$, alors $n \equiv \Sigma_{i=0}^{r}b_i [9]$). On peut itérer et recommencer avec $\Sigma_{i=0}^{r}b_i$. On prend $r(n)$ un nombre quelconque obtenu après itération de $s$ en $n$ (ici, on va prendre $r(n)$ de telle manière que $r(n) \in \{0, \ldots, 9\}$). Alors : $r(n) \equiv n [9]$. Retenons qu'en itérant l'opération « faire la somme des chiffres », on reste congru au nombre de départ modulo 9.

Donc si $n$ et $m$ sont deux entiers $\ge 1$, alors $r(nm) \equiv nm \equiv r(n)r(m) \equiv s(r(n)r(m)) [9]$. Ici, $r(nm)$ correspond à l'itération de la somme des chiffres de $53823550$ (ie. $4$), $r(n)$ est l'itération de la somme des chiffres de $97861$ (ie. 4), $r(m)$ est l'itération de la somme des chiffres de $550$ (ie. 1) et $s(r(n)r(m))$ est la somme des chiffres de leur produit (ie. $4 \times 1 = 4$, on reprend $s$ pour éviter les cas où on dépasserait $10$).

Comme on s'est débrouillé pour ne travailler in fine qu'avec des entiers, $r(nm)$ et $s(r(n)r(m))$, qui sont dans $\{1, \ldots, 9\}$ : être congru modulo 9 signifie qu'on est égal.

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Pour faire le tour complet de la question, la page wikipedia sur la preuve par 9 est très bien faite. Elle aborde en particulier la preuve par 11, qui s'appuie sur les mêmes notions.

Ce que tu peux aussi faire, c'est en parler avec tes grands-parents. A priori, ils te diront qu'à leur époque, un élève de CM2 qui ne connaissait pas cette preuve par 9 était un élève 'condamné'.

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