Équation différentielle des Bernoulli

Bonjour,

J'essaye de résoudre l'équation différentielle suivante $({x^2} + 9)y' + xy - x{y^2} = 0$

Ca serait sympa de me dire où je me trompe car je l'ai faite 3 fois et je ne vois pas mon erreur (MatLab me donne une pas une fonction équivalente). Soit le changement de variable $z(x) = \frac{1}{{y(x)}}$ [n = 2 , 1-n = -1] Ainsi, $z' = \frac{x}{{{x^2} + 9}}z - \frac{x}{{{x^2} + 9}}$ Eq. homogène associée: $z' = \frac{x}{{{x^2} + 9}}z$ ${z_{\hom }}(x) = \lambda \exp (\int {\frac{x}{{{x^2} + 9}}dx) = } \lambda \sqrt {{x^2} + 9} ,\lambda \in R$ Méthode de la variation de la constante:

$\gamma (x) = \int { - \frac{x}{{{x^2} + 9}}\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 9} }}$

=> $z(x) = \lambda \sqrt {{x^2} + 9} - \frac{1}{2},\lambda \in R$

=> $y(x) = \frac{1}{{\lambda \sqrt {{x^2} + 9} - \frac{1}{2}}},\lambda \in R$

Ce qui est faux d'après MatLab (bon d'ailleurs c'est sûr car ma réponse ne figure pas parmi celles proposées) !

Merci d'avance

Tu as tenté une vérification manuelle de ta solution ?

Bien sûr.

D'abord, merci.

Si je l'écris comme toi j'ai :

$({x^2} + 9)\frac{{dy}}{{dx}} + xy = x{y^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{dy}}{{dx}} + \frac{x}{{{x^2} + 9}}y = \frac{x}{{{x^2} + 9}}{y^2}$

Puis je fais ce changement de variable comme tu le dis et je peux écrire

$z' = (1 - s)zg(x) + (1 - s)f(x)$ où s représente le même paramètre que toi

où g(x) est la fonction devant y(x) et f(x) celle qui multiplie [y(x)]^2. Or, ici f(x) = g(x) ? Puis je résous cela comme une simplement équation d'ordre 1 inhomogène avec la méthode dans mon premier message.

Je vois même pas mon erreur, c'est grave.. Ca doit être une faute d'algèbre

Effectivement, sais-tu d'où vient mon erreur avec le 1 ? MatLab me donne la même forme.

Cf mon 3ème EDIT.

Oui, effectivement, j'ai fait une erreur de calcul. Le changement de variable obtenu est correct.

Effectivement! Merci!