Bonjour à tous !
En plein dans mes révision, je me suis heurté à un raisonnement dont je ne n'arrive pas à me convaincre de sa véracité, parce qu'il à l'air un peu -trop ?- simple.
On introduit la fonction :
$$\varphi:x\mapsto\int_0^1\!\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t$$
On a, à ce moment là de l'énoncé montré que :
$$\varphi(x)=\frac{1}{2}+x\int_0^1\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t$$
On doit déterminer la pente de la demi-tangente au point d'abscisse 0 de
$\displaystyle\mathscr{C}_{\varphi}$.
Pour cela, j'ai voulu calculer :
$$\lim_{x\to0^+}\left(\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\right)$$
Ce qui après calcul se ramène à calculer :
$$\lim_{x\to0^+}\left(\int_0^1\!\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t\right)$$
Et ici intervient mon "raisonnement". On voit que ce qui est à l'intérieur de l'intégrale tend vers
$\dfrac{1}{4}$. On peut donc conjecturer que cette intégrale va tendre vers
$\displaystyle\int_0^1\!\frac{1}{4}\,\mathrm{d}t$ également (là n'est pas encore ce qui m'embête, c'est juste une conjecture après tout).
On cherche donc à utiliser le Théorème Des Limites Finies Par Encadrement pour calculer cette limite. Tout d'abord, on a :
$$\underbrace{\int_0^1\!\frac{t^x}{4}\,\mathrm{d}t}_{\xrightarrow[x\to0^+]{}\frac{1}{4}}\leqslant\int_0^1\!\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t$$
Vient alors le deuxième encadrement. On a :
$$\int_0^1\!\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t\leqslant\int_0^1\!\frac{1}{\left(1+t^x\right)^2}$$
Or on a par développement limité :
$$\frac{1}{\left(1+t^x\right)^2}=\frac{1}{4}+\underset{x\to1}{o}(1)$$
Ainsi, en notant
$$\Phi:x\mapsto\int_0^x\!\varphi(t)\,\mathrm{d}t$$
On a par primitivation du DL :
$$\Phi(x)=\frac{x}{4}+\underset{x\to1}{o}(x-1)$$
Ainsi, on a
$\displaystyle\Phi(1)=\frac{1}{4}+\underbrace{\underset{x\to1}{o}(x-1)}_{\xrightarrow[x\to0^+]{}0}$
Et on peut alors conclure. Cette dernière primitivation du DL est-elle vraiment rigoureuse ?
Merci d'avance, et désolé d'avoir fait un post aussi long pour une seule question.
Merci beaucoup !