Dérivée k-ième

Bonjour, je suis confronté à une difficulté sur un exercice de math :

Soit la fonction $g : t \rightarrow t^n e^{-t}, n \in \mathbb N \Leftrightarrow g'(t) = e^{-t}(n-t)t^{n-1}$.

Il faut démontrer que pour tout naturel k, la fonction $t \rightarrow e^t g^{(k)}$ (avec $g^{(k)}$ la fonction dérivée k-ième de g) est un polynôme de degré n.

Je n'arrive pas à procéder en fait, vous-avez un indice? Je cherche depuis un moment en fait…

As-tu tenté par récurrence ? Pour k=0, c'est immédiat, et la récurrence se fait bien (à condition d'éviter les calculs ).

Non, je n'y ai pas pensé. Je vais y réfléchir d'ici une heure : j'écris en cours d'anglais! En revanche, qu'est-ce que tu veux dire par "éviter les calculs"?

Ne cherche pas une formule explicite pour g^(k). Savoir que e^tg^(k) est un polynôme pour un certain k=k₀ est suffisant pour savoir ce qui ce passe aux k supérieurs. Utilise les propriétés des polynômes pour faire le moins de calcul possible (ça peut vite devenir très lourd). La récurrence tient en 4 lignes seulement.

De quoi tu parles par propriétés des polynômes? Si tu parles de divisibilité, théorème de Bézout, je ne suis qu'en TS. Mais je dois t'avouer que ce sujet m'intéresse fortement, bien que je n'ai pas eu le temps de l'aborder en autodidaxie (ce qui m'arrive parfois pour certains domaines).

Le truc que je n'arrive pas, c'est à formuler mathématiquement : "$e^t g^{(k)}$ est un polynôme". Tu dois bien écrire cela pour formuler ton hypothèse de récurrence et vérifier l'hérédité de cette assertion?

La somme de deux polynômes et un polynôme, le produit de deux polynômes est un polynôme, la dérivé d'un polynôme est un polynôme. Ce sont des propriétés que tu dois connaitre. En pratique, tu veux aussi prouver ta fonction est un polynôme de degré n, donc il faut la version détaillée des propriétés ci-dessus (la somme d'un polynôme de degré n et d'un autre de degré m est…).

Le truc que je n'arrive pas, c'est à formuler mathématiquement : "e^tg^(k) est un polynôme". Tu dois bien écrire cela pour formuler ton hypothèse de récurrence et vérifier l'hérédité de cette assertion?

Je propose,

Supposons que e^tg^(k) soit un polynôme de degré n lorsque k vaut k₀. Notons alors P^k₀(t) le polynôme de degré n valent e^tg^(k₀).

Tu peux maintenant travailler pour prouver que e^tg^(k₀+1) est aussi un polynôme, que tu pourra exprimer en fonction de P^k₀(t).

D'accord, j'avais juste peur qu'il y aurait eu des confusions. Merci, je comprend mieux. Je réfléchi.