Espaces vectoriels

L'intérêt d'avoir une structure d'espace vectoriels, c'est de pouvoir faire des preuves sur des ensembles, comme si c'était des analogues à $\mathbf{R}^n$.

• Par « suite » on entend généralement une application $u : \mathbf{N}\to E$ ou $u:\mathbf{Z}\to E$, mais c'est essentiellement la même chose.
• Si tu regardes l'espaces des fonctions, pour l'addition usuelle (c'est-à-dire $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$), alors oui, la fonction nulle est celle nulle partout, c'est-à-dire $f(x)=0$.

Pour mieux comprendre les espaces vectoriels, oublie un peu que ça parle de vecteurs pendant quelques instants et pense plutôt en terme de structures.

Quelle est la structure commune sous-jacente à tous tes exemples (polynômes, fonctions, etc.) ? Quelles sont les opérations autorisées avec ces éléments et quelles propriétés elles possèdent ?

Par exemple, on a les propriétés suivantes pour les polynômes :

• Quand on additionne deux polynômes, on obtient un polynôme.
• Cette addition est commutative.
• Le polynôme nul ne change rien à un polynôme quand on l'ajoute.
• On peut prendre l'opposé d'un polynôme.
• On peut multiplier un polynôme par un réel et on obtient encore un polynôme.
• Multiplier une somme de polynôme par un réel, c'est comme additionner chaque terme multiplié par un réel.

On généralise en disant que cette structure (les opérations autorisées et leur propriétés) défini un certain type d'« espace ». On parle d'espace vectoriel parce que les vecteurs usuels (en dimension deux ou plus comme le note Holosmos) sont, je crois, les objets les plus simples ayant cette structure.

Comme l'espace est qualifié de vectoriel, ses éléments sont nommés des vecteurs… Mais ce n'est pas pour autant que ce sont des vecteurs au sens classique (vecteur du plan ou de l'espace, ou à plus de dimensions). D'ailleurs certains espaces vectoriels n'ont pas une, deux ou n dimensions, mais un nombre infini de dimensions.

Les espaces vectoriels sont une forme de généralisation. On peut démontrer des théorème vrais pour tous les ensembles qui peuvent être assimilés à des espaces vectoriels.

Salut,

Pour ce qui est de la définition d'espace vectoriel, je trouve celle-ci très claire.

Pour reprendre les exemples, on parle de l'ensemble des polynômes, $\mathbb P_n$, de l'ensemble des fonctions $\mathbb F(\mathbb R, \mathbb R)$ (déjà j'ai pas très bien compris ce que ça signifie) et de suites, $\mathbb S$. (définies avec $n \in \mathbb Z$, une suite n'est pas censée être définie sur $\mathbb N$ ?)

L'ensemble $\mathbb F(\mathbb R, \mathbb R)$ est l'espace vectoriel des applications de paramètre réel et à valeurs réelles. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Et oui, l'espace vectoriel des suites est classiquement défini à indices dans $\mathbb N$, mais rien ne t'interdit d'en définir à indices dans $\mathbb Z$.

Si je me place dans l'espace vectoriel des fonctions , un vecteur nul serait la fonction $f(x) = 0$ ?

Oui, exactement, mais c'est pas un vecteur nul, c'est le vecteur nul, il est unique. Pour t'en convaincre, tu pourrais appeler $e_1, e_2$ deux vecteurs nuls, dire que nécessairement, pour tout vecteur $u$, $u + e_1 = u + e_2 = u$, et ajouter le vecteur $-u$ partout. C'est normal, vu que dans ma définition, l'espace muni de l'addition vectorielle forme un groupe abélien.

Pourquoi mélange t-on toutes ces notions en disant que ce sont sont des espaces vectorielles, et donc une fonction devient un vecteur, un polynôme aussi et une suite aussi ?

Parce que c'est une abstraction qui simplifie le raisonnement. Tu comprendras mieux par la suite quand tu auras vu les applications linéaires, mais l'idée de base est d'avoir des théorèmes d'algèbre linéaire qui sont vrais pour tout espace vectoriel, et il suffit alors de remarquer que l'ensemble avec lequel tu travailles en ce moment en est un pour pouvoir les utiliser. Ça te permet d'éviter de tout redémontrer et ça te donne des outils puissants.

L'exemple qui m'embrouille le plus est le suivant: (image trop grande)

Pourquoi est-ce que une addition de fonction est reprensentée comme des vecteurs ?

Parce que dans un espace vectoriel de fonctions, les vecteurs sont des fonctions et donc une somme de vecteurs est une fonction. Source:Unknown

P.S: doublé par Holosmos et Aabu