Précision en maths

Salut,

Dans mon livre personnel de mathématiques, lors du chapitre sur les logarithmes, il est noté à un moment :

"$log (64 620) = 4.810 37$ à $\dfrac{1}{200 000}$ près" (soit $\dfrac{1}{2.10^5}$ donc). Je comprend que l'on retrouve cinq chiffres dans la partie décimale de notre exposant, d'où le fois $10^5$, et que cela dépend de la précision de la table de logarithme avec laquelle on travail, ou bien le nombre de chiffre significatifs que l'on garde du résultat affiché sur notre calculatrice. De la même manière, devrais-je écrire $log (11) = 1.041 392$ à $\dfrac{1}{2.10^6}$ près?

Je comprends le principe, mais pourquoi cet inverse? Y a t-il une preuve/explication mathématique?

Ok, rien d'exceptionnel donc. Après, mon bouquin nous demande de pousser plus loin dans la "théorie des erreurs", il y a un article sur le site, non ?

EDIT : Il y a une précision dans mon livre, qui dit que pour $(p,q) \in \mathbb R^2$, on dit que $p = q$ à $\epsilon$ près (avec $\epsilon$ un réel positif) équivaut à $q - \epsilon < p < q + \epsilon$. De plus, la table de logarithme utilisée dans ce chapitre-ci (pour les exemples, car il n'y en a pas en annexe, aussi étrange que cela puisse paraître…) permet des calculs à $\dfrac{1}{2 000}$ près.

Autant pour moi, donc.

Du coup, j'ai une autre question quant aux logarithmes décimaux :

Si je cherche le logarithme d'un réel M compris entre 0 et 1 (exclus), alors ce dernier est négatif. Dans mon bouquin, il est dit que la partie entière correspond au rang du premier chiffre significatif à droite de la virgule, ce qui est compréhensible puisque si $10^{-p} < M < 10^{-p+1}$ alors $ -p < log (M) < - (p-1)$, mais alors p est négatif, on note donc une barre au dessus. D'où provient cette notation?

Pas compris. C'est quoi « rand » ? C'est quoi cette barre et où ça ?

Pardon, erreur d’orthographe, il s'agit du rang et pas du "rand".

Pour la barre, si notre réel M est compris entre 0 et 1 (exclus). Logiquement, log(M) est négatif alors on note la partie entière avec une barre au dessus de celle-ci. J'arrive pas à trouver la notation avec MathJax.

En gros, tu a par exemple : log (0.043) = 2 (avec une barre au dessus), mantisse. L'idée c'est que l'on prend l'opposé du rang du premier chiffre significatif à droite de la virgule donc 2 est normalement négatif…

Ok j'avais jamais vu cette notation, mais pourquoi pas.

Quelle est ta question du coup ?

J'ai retrouvé le symbole :

Ma question était juste pourquoi l'utilisation de ce symbole. D'ailleurs, je possède exactement cette table de logarithme (celle de Bouvart et Ratinet).

En effet. C'est quand même vachement intéressant de voir comment certains calculs peuvent être effectués à la main comme ça!

Le problème, c'est que lorsque j'essaye, je tombe souvent sur des étapes difficilement calculables de tête. Par exemple, si on a le log d'un nombre, on peut déterminer ce nombre avec la simple propriété des puissances :

$log (M) = q + \theta \Leftrightarrow M = 10^q \times 10^{\theta}$, avec q la partie entière et $\theta$ la partie décimale. Mais comment calculer $10^{\theta}$ sans calculatrice (par exemple $10^{0.067}$)?

Ah oui, du coup c'est un peu prise de tête mais relativement efficace. C'est pour ça que les log décimaux sont abordés d'une manière très rapide au bahut vu qu'on a tous des calculatrices!

Dernière question après j'arrête de vous embêter :

Avez-vous une preuve de $log_a (b) = \dfrac{ln (b)}{ln (a)}$?

Si tu veux une preuve, il faut que tu nous donnes les hypothèses. C'est quoi ta définition de logarithme en base $e$ et du logarithme en base $a$ ?

Voici mes deux définitions :

$\forall (a, M) \in \quad ]0, + \infty[ \quad \times \quad ]0, + \infty[, \quad log_a (M) = m \Leftrightarrow M = a^m, m \in \mathbb R$.

$\forall M \in \; ]0, + \infty[, \quad ln(M) = m \Leftrightarrow M = e^m$. Bien sûr, on peut obtenir ln(M) en remplaçant $a$ par $e$ dans la définition précédente ($log_e (M)$).

Je n'exclus absolument pas les erreurs dans mes définitions.

Hum, il semble que MathJax fasse des siennes! EDIT: Rapide, dis-donc!

Ah oui, génial! Merci beaucoup.

Excuse moi, qu'est-ce que tu appelles $F$? La fonction qui à un réel positif non-nul associe son logarithme en base $a$, étant un réel positif non-nul aussi?

Non, juste une fonction à deux variables. L'idée c'était de te faire voir que $F(x,a) = \ln(x)/ln(a)$ est la façon la plus simple de répondre au problème d'exprimer $\ln_a(x)$ en fonction de $a$ et $x$.

Ok, je comprends. Merci.

Je ré-ouvre le sujet. Je me rends compte qu'il y a des calculs que je n'arrive pas à faire à la main. Par exemple, comment passer de la ligne $-0.930 95$ à $-1+0.069 05$?