Précision échantillonnage d'un signal (Term S Phys)

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Bonjour, Je suis en terminale et le dernier chapitre qu’on traite cette année est celui sur la numérisation.

Il y a donc toute une partie consacrée à l’échantillonnage d’un signal analogique en numérique mais il y a quelque chose qui me gêne énormément dans notre livre et ce que nous apprend notre professeur, il est répété tout le long de la partie que pour que l’échantillonnage d’un signal soit le plus précis possible il faut augmenter la fréquence d’échantillonnage le plus possible.

Du coup, on a de nombreuses figures nous montrant un signal analogique et sa numérisation avec un effet d’escalier très prononcé et moins cet effet est prononcé plus le signal numérique est proche du signal analogique. Ce qui est restitué par un DAC serait donc une suite d’échantillons maintenus toute la durée d’une période d’échantillonnage.

Pourtant tout ce que j’ai pu apprendre avant et même dans mes livres de révisions nous mentionnent le théorème de Nyquist-Shannon et donc qu’à partir du moment où la fréquence d’échantillonnage est double de la différence entre la plus haute et basse fréquence à restituer, le signal pourra être parfaitement restitué par un DAC qui aura à charge de transformer cet échantillonnage en signal continu.

Ce serait cool si pourriez me donner votre avis, est-ce que j’ai mal compris quelque chose ou il y a une erreur dans notre cours ?

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Salut, je suis sur téléphone mais je vais tenter de répondre.

Il faut que en effet la fréquence d’échantillonnage soit supérieure a deux fois le double de la plus haute fréquence pour garantir une reconstruction parfaite du signal. Mais en terminale je ne sais pas si c’est demandé la preuve. (je peux te la donner ce soir si ça t’intéresse)

Cependant n’oublie pas que pour un signal connu de 2hz c’est facile. Mais maintenant dans le cas d’un bruit: on ne connaît pas la fréquence max. Et on ne va pas s’amuser à faire un echantillonage a 2Ghz: tu imagines le nombre de valeurs avec lesquelles il faut travailler pour un signal de 10secondes!

Je pense que ce qu’on veut te dire est que dans le cas d’un signal de fréquence max inconnu, plus on augmente la fréquence d’échantillonnage plus on va s’approcher du vrai signal ☺️

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Cependant n’oublie pas que pour un signal connu de 2hz c’est facile. Mais maintenant dans le cas d’un bruit : on ne connaît pas la fréquence max. Et on ne va pas s’amuser à faire un échantillonnage a 2Ghz: tu imagines le nombre de valeurs avec lesquelles il faut travailler pour un signal de 10secondes!

Je pense que ce qu’on veut te dire est que dans le cas d’un signal de fréquence max inconnu, plus on augmente la fréquence d’échantillonnage plus on va s’approcher du vrai signal ☺️

Unknown

Merci de ta réponse !

Et oui je pense que c’est ce qu’ils veulent dire mais dans l’activité préparatoire et dans les exos du livre on travaille toujours avec des signaux purs et constants (ou admis comme tels ; style diapason).

Par exemple là j’ai un exo où on a une sinusoïde de 440 Hz et on nous dit qu’il faut que la fréquence d’échantillonnage soit au moins 25x supérieure à la fréquence max pour avoir une numérisation de qualité suffisante. Et à la fin on trouve quelque chose comme 31 kHz pour la fréquence d’échantillonnage (c’est énorme) et nous demande si c’est suffisant. Et après avoir vérifié sur la correction, c’est bien les bonnes valeurs. Donc je sais pas c’est bizarre quand même.

Ah et y a aussi un passage du cours qui dit que la fréquence d’échantillonnage doit être la plus grande possible pour garantir un bon échantillonnage :/

Enfin bref, oui ça m’intéressait vachement d’avoir la preuve de ça ^^

Je te donne la demo ce soir. Je pense que ici ce qu’on veut dire c’est que en sachant que le signal est de 440Hz, pour tracer la courbe a la main, il faudrait relever a 25*440Hz pour que si tu mettes tes points sur un graphique ça ait l’allure de ta sinusoïde initiale.

Mais c’est absolument faux en generalisant: ce n’est pas parce que tu as 10 000 000 000 points a chaque seconde que tu vas être capable de reproduire tout les signaux.

Par exemple quand tu téléphone, tu sais que ta voix va de 20Hz a 20 KHz. Tu peux echantilloner a 40KHz ( en pratique c’est un petit peu plus pour quelques raisons) Sur le téléphone de réception tu vas pouvoir reconstruire parfaitement ce que l’homme disait dans son téléphone a partir des points d’échantillonnage.

Imagine tu fais un système de mesure de pression et que tu relèves les données toutes les heures. Tu ne sais pas ce qui se passe entre deux heures ! Quelqu’un pourrait faire baisser la pression et la reaugmenter sans que tu le saches. Si tu fais une mesure par minute, tu auras une meilleur idée de la variation de la pression dans ton système. Mais tu si tu fais une mesure toutes les secondes, encore mieux ! Tu as moins dextrapolation à faire.

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Tu travailles à des signaux purs parce qu’en complexifiant tu aurais besoin de la transformée de Fourier, qui n’est pas vraiment au programme de Terminale. ;)

Pour la preuve, c’est plus ou moins celle que tu trouves ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9chantillonnage Elle consiste surtout à observer qu’avec une fréquence d’échantillonnage à F_e, tu ne pourras pas aller plus vite que la suite 0, 1, 0, 1, 0, 1 … qui a une fréquence F_e / 2, puis de voir ce qui se passe quand tu échantillonnes un signal qui dépasse cette fréquence.

Une bonne question après, c’est de se demander comment reconstruire le signal à partir de tes échantillons, et comment ça peut impacter le signal, comment mesurer cet impact. Tu peux aussi trouver comment reconstruire idéalement, mais ça demande des notions sur la convolution, le sinus cardinal et la sommation (série/intégration), mais la formule finale est assez simple à comprendre : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9chantillonnage#Reconstitution_du_signal_:_formule_de_Shannon

En gros, tu vas créer ton signal comme somme de sinus cardinaux autour de chaque points.

Par exemple quand tu téléphone, tu sais que ta voix va de 20Hz a 20 KHz. Tu peux echantilloner a 40KHz ( en pratique c’est un petit peu plus pour quelques raisons) Sur le téléphone de réception tu vas pouvoir reconstruire parfaitement ce que l’homme disait dans son téléphone a partir des points d’échantillonnage.

Ce que tu racontes est vrai pour la musique, pour la téléphonie (du moins avec la norme GSM), la bande passante du signal est bien plus faible car nous n’avons pas besoin de tout le spectre auditif pour avoir une conversation convenable (et cela explique pourquoi parfois on entend mal certaines personnes ou qu’on ait du mal à reconnaître une voix).

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