Réconcilier mathématicien et physiciens

1. Le polynôme $P$ porte sur $\delta'$ mais ne fait intervenir que $\delta$ dans son expression, pourquoi pourquoi !?

Il s'agit de polynômes évalués sur l'algèbre évoqué dans le paragraphe, donc le terme d'ordre zéro du polynôme est évalué au neutre pour la convolution, c'est à dire $\delta$, le terme d'ordre un est évalué à $\delta^\prime$ puisque le polynôme est évalué en $\delta^\prime$, et les autres termes viennent de la remarque de Hod sur le lien entre dérivé et produit de convolution pour $\delta^\prime$.

1. Dans les règles de correspondance de calcul symbolique : qui est $p$ ?

C'est un symbole, comme le $X$ quand tu parles de polynômes.

1. Et qui est $H$ ? (Heaviside je pense, mais je ne comprends plus très bien les notations ensuite .. )

Oui c'est Heaviside.

Tilt !

Après avoir relu ta phrase n fois, j'ai compris. Je n'avais pas fait gaffe que les $\delta^{(n)}$ désignaient des dérivées et pas des puissances. Bref, mélange de notations. Du coup Höd, ce serait juste bien d'expliciter le terme d'ordre 1.

Entendu pour le $p$, mais du coup, je ne comprends pas l'égalité $P(\delta')^{\star-1} = \frac{1}{P(p)}$. D'un coté on a une distribution, et de l'autre un … scalaire ?

C'est plutôt un $\leftrightarrow$ qu'un $=$ en effet.

Entendu.

Et quand Höd écrit $Hf(t)$ (par exemple $He^{\lambda t}$) : est ce que c'est une composition de distribution ? Ou $H$ appliqué à $t \rightarrow e^{\lambda t}$ (ie $< H, t \rightarrow e^{\lambda t}>$) ?

Non, il s'agit de la distribution d'Heaviside multiplié par la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}$, on peut aussi le voir comme la distribution associé à la fonction $t\mapsto H(t)e^{\lambda t}$. Pour t'en convaincre je te propose de faire la démonstration du résultat que donné Hod. Il s'agit donc de calculer la distribution $\left(t\mapsto e^{\lambda t}\right)H\ast\left(\delta^\prime-\lambda\delta\right)$ si tu montres qu'elle vaut $\delta$ alors tu auras le résultat que donne Hod, puisque $\delta$ est le neutre pour la convolution.

Quelques indications pour t'aider :
- Il faut déjà que tu calculs $H^\prime$, tu vas en avoir besoin.
- Il te faut aussi calculer $\left(fT\right)^\prime$ avec $T$ une distribution et $f$ une fonction.

Done. Et du coup, la suite devient un beaucoup plus clair. Merci Freedom !

Vous reprendez bien un peu de dirac ?

Quel est l'intérêt d'effectuer l'encadrement ? Il est réellement nécessaire à la démonstration ?
Quand tu passes à la limite, tu n'aurais pas mis un $=$ à la place d'un $\longrightarrow$ ? (Après et donc à la limite)

Corrigé pour la limite.

Je n'aime pas la notation que tu proposes qui me semble-t-il alourdi très largement. Du coup j'ai précisé la notation sur la variable muette qui lie la distribution et la fonction teste sur laquelle elle s'applique.

On retrouve donc une définition de la dirac cohérente avec son utilisation, à savoir que pour une fonction continue, la dirac de cette fonction est la fonction évaluée en 0 : $\delta(\phi) = \phi(0)$

… quelque chose comme

On retrouve donc une définition de la dirac cohérente avec son utilisation. L'effet qu'a la dirac sur une fonction est de retourner la valeur de la fonction en 0 : $\delta(\phi) = \phi(0)$.

Très bonne idée, c'est corrigé.

Aussi, ce serait bien d'expliciter la notation $(T)^{\star2}$ (où $T$ est une distribution). J'ai fini par comprendre que c'était la notation des puissances pour le produit de convolution, mais comme elle arrive d'un coup, cachée dans une remarque sur $\delta''$, je me suis presque demandé si je n'avais pas manqué quelque chose !

C'est explicité.

[Et puis, puisqu'on parle d’abus de notations de physiciens, est ce que par magie $(T)^{\star n} = \exp(\star n\ln T)$ ?!]

Bien sur que non (il suffit de l'écrire pour s'en apercevoir). Par contre, tu peux essayer de trouver un opérateur analogue à l'exponentielle (ou au logarithme mais il suffit de construire l'un par rapport à l'autre) pour le produit de convolution. Je te souhaite bonne chance.

À coup de séries peut-être … Mais c'était juste une boutade hein, rien de sérieux