Le sacre des complexes

Pour ce chapitre, je vais vous demander de vous remémorer vos cours de trigonométrie. Vous savez, le cours avec les sinus et les cosinus ?
Ah, je sais, c’est loin. Si vous avez quelques trous de mémoire, je vous conseille ce cours très bien fait.

Mais pour ce cours, j’aurai juste besoin de cette image, qui vous montre la représentation géométrique du sinus et du cosinus d’un nombre :

Cela devrait vous faire penser à la représentation des nombres complexes. Il semblerait que la partie réelle ait un rapport avec le cosinus de l’argument, et que la partie imaginaire soit en lien avec le sinus.
Mais attention, l’image ci-dessus est valable uniquement pour l’hypoténuse égale à $1$ (souvenez-vous, cette représentation est valable dans le cercle unité, c’est-à-dire le cercle de rayon $1$).
Dans le cas de nos nombres complexes, il faut tenir compte du module.
Ainsi, si on a notre nombre $z = a + ib$, avec $arg(z) = \theta$, on aura : $a = |z| \cos \theta$ $b = |z| \sin \theta$

Notre nombre peut donc s’écrire sous la forme : $\boxed{ z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)}$

C’est ce qu’on appelle la forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Rassurez-vous, moi c’était pareil. Mais regardez comment les nombres complexes vont considérablement simplifier la trigonométrie, en rendant ses calculs beaucoup plus élégants.

Calculons le produit de deux nombres complexes de module $1$ et d’arguments respectifs $\alpha$ et $\beta$.
Le résultat doit être un nombre de module $1$ et d’argument $\alpha + \beta$ (rappelez-vous, lorsqu’on multiplie deux nombres complexes, leurs arguments s’ajoutent).

on a donc :
$(\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta) = \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta)$
En développant, cela nous donne :
$(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) = \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta)$

En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, on obtient :

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ $\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Voilà le genre de formules qui vous a donné mal à la tête, et qui, grâce aux complexes, se retrouve facilement, juste en appliquant la distributivité !

Réjouissez-vous, au prochain chapitre, on va même apprendre à se passer des cosinus et sinus…

Note : dans ce qui va suivre, nous allons considérer un nombre $z$ dont le module est égal à $1$, pour la simplicité du raisonnement.

Nous avons donc $z$ qui peut s’écrire en fonction de $\theta$, par la fonction $f$ définie ainsi :
$f(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$
Or, lorsqu’on multiplie deux nombres, leurs arguments s’ajoutent. Notre fonction $f$ doit donc avoir la propriété suivante : $f(\theta).f(\theta') = f(\theta + \theta')$

Quelles fonctions possèdent cette propriété de transformer les multiplications en additions ?
Cela ne vous rappelle rien ? Souvenez-vous, la fonction « puissance » a cette propriété. En effet, il existe la formule suivante : $a^b.a^c = a^{b + c}$

La fonction $a^x$ possède donc les propriétés que doit avoir notre fonction $f$.

Vous connaissez aussi la fonction exponentielle, qui nous permet d’écrire toutes les puissances sous la forme $a^x = e^{\alpha x}$, avec $\alpha = \ln (a)$. Notre nombre complexe peut donc s’écrire sous la forme : $z = e^{\alpha \theta}$
En résumé, on a les égalités suivantes :
$z = \cos \theta + i \sin \theta$ et $z = e^{\alpha \theta}$
Et si on prend maintenant en compte le module, cela nous donne :
$z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) = |z|.e^{\alpha \theta}$

Vérifions que cette écriture est bien compatible avec la multiplication :
$\displaystyle{zz' = |z||z'| e^{\alpha \theta} e^{\alpha \theta'} = |z||z'| e^{\alpha (\theta + \theta')}}$
On a bien la multiplication des modules et l’addition des arguments.

Il nous reste à trouver la valeur de $\alpha$. Malheureusement, nous allons être obligés pour cela d’utiliser une notion que nous n’avons pas encore abordée : la dérivée d’une fonction. Si vous ne la connaissez pas, vous allez être obligés de me faire confiance… Pour les autres, le calcul est le suivant :

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Soit la fonction $f(\theta) = cos \theta + i \sin \theta = e^{\alpha \theta}$
Pour trouver la valeur de alpha, nous allons dériver cette fonction, sous ses deux formes.

• Sous sa forme trigonométrique, cela nous donne :
  $f'(\theta) = -sin \theta + i \cos \theta$
• et sous sa forme exponentielle :
  $f'(\theta) = \alpha e^{\alpha \theta}$

Or, remarquez que dans la forme trigonométrique, $f'(\theta) = i f(\theta)$, et dans la forme exponentielle, $f'(\theta) = \alpha f(\theta)$.
Ce qui nous donne : $\alpha = i$ !

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Voilà donc le résultat que nous obtenons, que l’on appelle la formule d’Euler :

$\boxed{cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}}$

Amusons-nous par exemple à triturer cette formule. Calculons $e^{i \theta}$ et $e^{-i \theta}$
$e^{i \theta} = cos \theta + i \sin \theta$
$e^{-i \theta} = cos (-\theta) + i \sin (-\theta) = cos \theta - i \sin \theta$

En additionnant et en soustrayant les deux formules ci-dessus, on obtient :

$\boxed{cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \quad sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}}$

C’est ce que je vous avais promis : on peut remplacer les cosinus et sinus par des exponentielles, beaucoup plus faciles à manipuler.

Pour preuve, je vous propose la démonstration d’une autre formule, qui vous a aussi sûrement donné mal à la tête  : celle de $\sin \alpha \cos \beta$.

Terminons ce chapitre par quelques curiosités mathématiques :

La plus belle des formules

Prenons le nombre $-1$. Son argument vaut $\pi$, comme nous l’avions déjà dit. Il s’écrit donc $-1 = e^{i \pi}$.
Ce qui donne, écrit autrement :

$\boxed{e^{i\pi} + 1 = 0}$

Rendez-vous compte :

• $1$ est le premier nombre que nous avons rencontré, il nous permettait de compter sur nos doigts.
• $0$ a été inventé pour représenter… rien, une quantité inexistante.
• $\pi$ a été inventé dans le cadre de la géométrie, pour calculer le périmètre d’un cercle.
• $e$ a été inventé pour des raisons bassement matérielles, pour calculer le rendement d’un compte avec intérêts.
• $i$ a été inventé pour trouver une solution à des équations.

Voilà donc des nombres qui viennent de domaines complètement différents, et qui se retrouvent réunis en une seule formule. Magique, non ?

Cette formule mérite bien son surnom de « plus belle formule des mathématiques », vous ne trouvez pas ?
C’est Richard Feynman qui a surnommé cette formule ainsi, dans un cahier de notes qu’il écrivait alors qu’il avait… 14 ans !

La formule la plus mystérieuse

Prenons maintenant le nombre $i$ lui-même. Il s’écrit $\displaystyle{i = e^{i \frac{\pi}{2}}}$. Prenons alors le logarithme de cette expression :
$\displaystyle{ln(i) = i \frac{\pi}{2}}$, d’où
$\displaystyle{\pi = \frac{2}{i} ln(i)}$ !!
La valeur de $\pi$ écrite avec des nombres complexes ! Le mathématicien Pierce (1809–1880) qualifiera ce résultat de très mystérieux. Ce résultat servira pourtant à trouver une formule pour calculer $\pi$ :

Karl Heinrich Schellbach (1809–1890) réécrira la formule sous la forme :
$\displaystyle{\frac{\pi i}{2} = ln(i) = ln \frac{1 + i}{1 - i} = ln(1 + i) - ln (1 - i)}$
Puis en utilisant ce qu’on appelle le développement en séries d’une fonction, il montrera que :
$\displaystyle{ln(1 + z) = z - \frac 12z^2 + \frac 13z^3 - \frac 14z^4 + ...}$
ce qui donne :
$\displaystyle{ln(1 + i) = i + \frac 12 - \frac 13i - \frac 14 + \frac 15i + ...}$
et $\displaystyle{ln(1 - i) = -i + \frac 12 + \frac 13i - \frac 14 - \frac 15i + ...}$
d’où :
$\displaystyle{\frac{\pi i}{2} = 2i - \frac 23i + \frac 25i - ...}$ donc

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac 13 + \frac 15 - \frac 17 + ...$

Mais cette formule était déjà connue de Leibniz, et de plus elle n’est pas très efficace (convergence très lente).
Mais Schellbach s’aperçut que modifier l’expression sous le logarithme lui permettait d’obtenir des séries qui convergeaient plus rapidement, par exemple en notant :

$\frac{\pi i}{2} = ln(i) = ln \frac{(2 + i)(3 + i)}{(2 - i)(3 - i)}$

ou encore $\frac{\pi i}{2} = ln(i) = ln \frac{(5 + i)^4(-239 + i)}{(5 - i)^4(-239 - i)}$

Cette dernière expression lui permettra d’obtenir la formule qui sera utilisée par l’ENIAC (un des premiers ordinateurs) pour calculer les 2000 premières décimales de $\pi$.

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De plus, en élevant $i$ à la puissance $i$, Pierce trouvera :
$\displaystyle{i^i = (e^{i \frac{\pi}{2}})^i = e^{\frac{-\pi}{2}} = 0.2078...}$
Encore un résultat mystérieux : $i^i$ donne un nombre réel¹ ! Pierce écrira : « C’est absolument paradoxal. Nous n’avons aucune idée de ce que cela signifie. Mais nous l’avons prouvé, nous savons donc que c’est juste… »