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Introduction aux suites et séries

Si je vous donne la suite de nombre 1, 2, 4, 8, 16, 32, est-ce que vous pouvez trouver le prochain nombre de la suite ?

Ce genre de problèmes est courant dans les tests de QI : certaines épreuves donnent une suite de nombres qu’il faut compléter. Généralement, la méthode pour passer d’un terme au suivant est relativement simple dans les tests de QI ou dans les épreuves de mathématiques ludiques. Mais il ne faudrait pas croire que l’étude de telles suites de nombres est sans importance : leur étude par les mathématiciens a donné de fort belles choses, que ce cours vous propose de découvrir.

Pré-requis : N’importe qui peut suivre ce cours, tant qu’il a une maitrise minimale des concepts fondamentaux des mathématiques, qui correspond au niveau du collège en France. Quelques remarques ou définitions utiliseront le concept de fonction, mais sans que cela pose vraiment problème pour une lecture superficielle. Au pire, il existe un cours du célèbre Micmaths sur le sujet sur ce site, disponible via ce lien : Introduction aux fonctions.

Objectifs et approche : Le but du cours est de vous donner les connaissances de base sur les suites et série. Ce cours se centre sur les concepts-clés et tente de rester simple, avec une utilisation très légère et dosée du formalisme : les démonstrations utilisées sont simples et parfois peu formelles, de même que les définitions. Il n’est pas porté sur la pratique et l’entrainement nécessaire à la manipulation des suites et séries : il ne contient pas d’exercices et s’il donne des méthodes de calculs, il ne fournit par le matériel nécessaire pour développer les capacités calculatoires associées.

Suites numériques

  1. Suites : définition et construction
  2. Suites numériques les plus courantes
  3. Sens de variation et bornes d'une suite numérique
  4. Limites de suites

Sommes partielles

  1. Suite des sommes partielles
  2. Suites de nombres polygonaux
  3. Suites arithmétiques
  4. Suites géométriques

Séries numériques

  1. Convergence et divergence d'une série
  2. Un exemple : les séries géométriques
  3. Un autre exemple : les séries de Riemann
  4. Amusons-nous avec les séries divergentes

Et voilà, cette introduction aux suites et séries est terminée. Et vu qu’il s’agit d’une introduction, il vous reste encore beaucoup à apprendre sur le sujet. Afin de parfaire votre apprentissage, nous vous proposons de consulter les liens suivant,s qui parlent des suites et des séries. La plupart pointe vers des articles de vulgarisation.

L’auteur Mewtow tient à remercier Micmaths pour les conseils qu’il lui a prodigués, et tous les auteurs s’associent pour remercier les validateurs et relecteurs pour leur travail.

Le Logo du tutoriel a été dessiné par Johannes Rössel, et mis à disposition sous domaine public sur wikicommons.

11 commentaires

Je viens de le lire en entier, c'est très intéressant, bravo :)

Par contre, je ne suis absolument pas d'accord quand vous dites que ce tuto est accessible au niveau collège. Je ne pense rien vous apprendre en précisant que les suites sont abordées pour la première fois en 1ère, sans même parler du reste du tuto, qui va facilement chatouiller les maths sup vers la fin. Imo, le lecteur néophyte ne dépassera pas la 1ère partie.

+1 -0

J'ai un bug sur le passage avec les nombres pentagonaux, hexagonaux … . J'ai essayé de réduire la formule du $U_{(n+1)}$ donné à celle du $U_n$, mais je tombe sur un résultat différent du vôtre. Auriez vous un lien vers une explication ou pouvez-vous en faire une, car j'ai beau essayer je bloque.

Merci d'avance à vous ! :)

(Edit: typo)

+0 -0

En parlant de formules, petite coquille dans la démonstration du terme général des nombres pentagonaux: il manque des + entre les parenthèses au début de la démo, ce qui fait que l'on confond les sommes avec les produits

+0 -0

Je viens de le lire en entier, c'est très intéressant, bravo :)

Par contre, je ne suis absolument pas d'accord quand vous dites que ce tuto est accessible au niveau collège. Je ne pense rien vous apprendre en précisant que les suites sont abordées pour la première fois en 1ère, sans même parler du reste du tuto, qui va facilement chatouiller les maths sup vers la fin. Imo, le lecteur néophyte ne dépassera pas la 1ère partie.

Deathekirl

Je pense que ça dépend des personnes, des collégiens voire secondaires hyper intéressés qui vont souvent sur le site peuvent comprendre sans problème. Jusqu'à dire que c'est indispensable, peut être pas. En revanche, c'est possible.

+0 -0

Je doit être très claire et je vais m'excuser parce qu’apparemment, il faut s'excuser avant d'émettre un avis…

C'est loin d'être un tutoriel pour débutant. A la limite, la première partie ressemble au début d'une leçon Kartable pour secondaire, le reste, une leçon de math plutôt bien construite. En revanche, j'ai du mal à retrouver l'esprit du site du zéro ou plus généralement d'un site dédié aux vrais débutants, qui cherchent surement quelques vannes et smileys, par-ci, par-là (sans forcément être le plus lourd au possible, bien entendu. ;-) ).

Je trouve que vous ne posez pas assez le contexte en général, c'est plein de tableaux et de démonstrations mais peu d’anecdotes. Par exemple, il aurait pu être sympa de mettre des schéma de lapin pour la suite de Fibonacci…

Maintenant, je n'ai pas encore fini de le lire, ce n'est qu'une critique constructive qui ne mérite pas d'être répugné car il est facilement possible de revenir sur les différents points cités.

Aussi, ça ne rompt pas avec ce qui est dit plus haut : le cours est bien construit et les quelques schémas sympas (même s'il en faudrait plus, grosso-modo, plus de vivacité dans le tuto). Donc bravo pour le travail réalisé derrière. :-)

PS : Le bouton EDIT ne fonctionnait plus, j'avais peur que ce commentaire soit mal pris par rapport à celui plus haut, il est ainsi masqué. Rien de suspicieux, j’espère… :-°

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En revanche, j'ai du mal à retrouver l'esprit du site du zéro ou plus généralement d'un site dédié aux vrais débutants, qui cherchent surement quelques vannes et smileys, par-ci, par-là (sans forcément être le plus lourd au possible, bien entendu. ;-) ).

Alors heureusement qu'on est pas sur SdZ ?

Plus sérieusement, le style bien qu'assez académique ne nuit pas à la lecture et est clair. J'avais horreur des textes de SdZ qui te prennent pour un gamin écervelé de 12 ans.

+3 -0

En revanche, j'ai du mal à retrouver l'esprit du site du zéro ou plus généralement d'un site dédié aux vrais débutants, qui cherchent surement quelques vannes et smileys, par-ci, par-là (sans forcément être le plus lourd au possible, bien entendu. ;-) ). […] Je trouve que vous ne posez pas assez le contexte en général, c'est plein de tableaux et de démonstrations mais peu d’anecdotes. […] Par exemple, il aurait pu être sympa de mettre des schéma de lapin pour la suite de Fibonacci…

Ozmox

Sauf qu'il y a une bonne raison pour laquelle je refuse d'utiliser ce genre d'artifices. Ces anecdotes, vannes, smileys, images et schémas un peu tangents rendent un cours sympa mais sont nuisibles pour l’apprentissage. C'est ce qu'on appelle le seductive detail effect chez les chercheurs anglosaxons : Classroom Teaching Methods: Are Your Lectures Sidetracking Student Learning.

Après, il faut avouer que quelques informations bien placées ne peuvent pas faire de mal. Reste qu'il faut les trouver, et faire en sorte qu'elle s’insèrent bien dans le cours qui les entoure. Mais dans ce cours-ci, je n'ai rien trouvé de tel. Je me rends bien compte que le cours obtenu est assez sec, mais l'essentiel est là : le cours est clair et instructif. Tant pis pour le fameux esprit SdZ, le coté motivant du cours : vu qu'il est très difficile de faire un cours du genre proprement, autant faire en sorte que ce que le lecteur apprend soit la priorité.

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En revanche, j'ai du mal à retrouver l'esprit du site du zéro ou plus généralement d'un site dédié aux vrais débutants, qui cherchent surement quelques vannes et smileys, par-ci, par-là (sans forcément être le plus lourd au possible, bien entendu. ;-) ).

Alors heureusement qu'on est pas sur SdZ ?

Plus sérieusement, le style bien qu'assez académique ne nuit pas à la lecture et est clair. J'avais horreur des textes de SdZ qui te prennent pour un gamin écervelé de 12 ans.

Holosmos

D'accord, je n'aurais pas du prendre cette exemple. Pour posséder les deux bouquins de Monsieur Nebra, je comprend ce que tu insinue. En fait, je trouve dommage qu'il n'y est que peu d'exemples schématiques et que le cours suive, de ce que j'ai vu, une trame un peu trop répétitive dans le cadre d'un tuto pour débutant hors scolaire. Mais il reste néanmoins bien construit et de ce que j'ai vu des quelques exemples par schémas sympas, je pense qu'il soit possible d'étayer un peu tout ça. Mais si c'était un cours donné par mon prof de mathématique, alors là, oui, je serait heureux. :-)

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Bonjour, il y a une erreur de calcul de la somme arithmétique : quand tu regroupe les u0u_0, il y en a m+1m+1 (puisqu’on va de 0 à m) Ce qui fait

S=u0(m+1)+k×m(m+1)2=m+12(2u0+k×m)=m+12(u0+u0×k×m)=(m+1)u0+um2\begin{aligned} S &= u_0(m+1) + k \times \frac{m(m+1)}{2} \\ &= \frac{m+1}{2}(2u_0 + k \times m)\\ &=\frac{m+1}{2}(u_0 + u_0 \times k \times m)\\ &=(m+1)\frac{u_0 + u_m}{2} \end{aligned}

(ce qu’on peut retenir ainsi : nombre de terme * moyenne entre le premier et le dernier terme)

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