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Bac de maths, correction de l'exercice 3

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J’ai trouvé le sujet du bac amusant. Je me suis dit que je pourrais proposer une correction de l’exercice 3 et en discuter avec vous.

On peut trouver le sujet ici.

Partie A

Première question

Le point $P$ se trouve entre 40 et 60 kilomètres du centre et avec un angle compris entre $\pi/4$ et $\pi/2$.

Donc la bonne réponse est la proposition C.

Deuxième question

Pour déterminer le secteur du premier point :

$$ z = 70 \exp(-i\pi/3)$$

on regarde son module et son argument. Puisque cette écriture est sa forme exponentielle, le module de $z$ est $70$ et son argument est $-\pi/3$. Comme $60\leq 70\leq 80$ et $-\pi/2 \leq -\pi/3 \leq -\pi/4$, il vient que le secteur de $z$ est G4.

Pour le second point :

$$ z = -45\sqrt 3 + 45i$$

on commence par le mettre sous la forme :

$$ z = 2\times 45 \left( -\frac{\sqrt 3}2 + i\frac 12\right)$$

et on en déduit sa forme exponentielle :

$$ z = 90\exp(5i\pi/6).$$

Le module de $z$ est donc $90$ et son argument $2\pi /3$. Cela correspond donc au secteur 5D.

Partie B

Pour cette partie j’ai utilisé cette table pour évaluer les probabilités.

Première question

Je commence par faire correspondre à $M$ une loi centrée et réduite que je désigne par $N_M$. Pour cela, je pose

$$ N_M = \frac {M-\mu}{\sigma} = \frac{M-50}{5}.$$

Ainsi, $M<0$ est équivalent à

$$ N_M < -\frac {50}5 = -10.$$

Donc, à $10^{—3}$ près,

$$ P(M<0) =0.000 $$

(Par calcul approché, ou alors en remarquant que $P(M<0) = P(N<-10) = P(N>10) = 1-P(N<10)$ est plus petit que $1-P(N<4\sigma) = 1-P(N<4)$ qui est déjà inférieur à $10^{-4}$.)

Ce résultat dit qu’à $10^{—3}$ près, il est presque sûr que la variable $M$ sera positive. Cela correspond au fait que le module d’un nombre complexe n’est jamais négatif.

Deuxième question

Je réutilise la variable $N_M$ introduite. On a l’équivalence :

$$ M\in ]40;60[\iff N_M \in \left] \frac{40-50}{5} ; \frac{60-50} 5\right[ \iff N_M\in ]-2;2[.$$

Aussi :

$$ P(-2< N_M < 2) = P(N_M<2) - P(N_M<-2) = P(N_M<2) - P(N_M>2) = P(N_M<2) - (1-P(N_M<2)) = 2P(N_M<2) - 1$$

donc la probabilité d’un tel évènement à $10^{-3}$ près est :

$$ 2* 0.977 - 1 = 0.954.$$

Troisième question

Les variables $M$ et $T$ étant indépendantes, cette probabilité est donnée par le produit :

$$P(M\in ]40,60[)\times P(T \in ]\pi/4,\pi/2[) \simeq 0.954 \times 0.819 \simeq 0.781.$$

Voilà, ça conclut l’exercice.

11 commentaires

Sympa cette correction, mais sinon au bac on a le droit à la calculatrice rendant l’exercice beaucoup plus facile :D Il suffit d’utiliser normalFrép sur calculette et on a directement le résultat.

Édité par InaDeepThink

+1 -0

Pour la première question ce n’est pas se compliquer la vie vu qu’il y a droit à la calculatrice ? :) (grillé par Universite)

Et pour la deuxième on peut utiliser la règle "Un, deux, trois sigmas", non ? $μ = 50$ et $σ = 5$ donc

$$P(40 < M < 60) = P(μ - 2σ < M < μ + 2σ) = 0,95$$
+0 -0

Je suis curieux : il y avait une solution intelligente pour la question 2.3 ? À part déterminer les coordonnées de $H$ et voir que $AH$ dépendait de $a$. J’avais pensé à trouver l’équation d’un plan définit par le même vecteur normal que $P$ et qui passait par une valeur particulière de $A$ et voir que $A$ pour une autre valeur de $a$ n’appartenait plus au même plan. Sauf que je ne voulais pas perdre du temps pour trouver un contre exemple, qui ne m’aurait pas aidé à montrer que $a$ n’influençait pas $AH$ si c’était le cas.

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