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Bac S de maths : correction de l'exercice 1

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Voici une petite correction de l’exercice 1 du bac de mathématiques de 2017, avec, bien entendu, des explications ! :-)

Le sujet ce trouve ici. Je vous invite à regarder les corrections de Holosmos aussi. :-D

[Partie A] Exponentielle, un incontournable

La fonction Exponentielle est un incontournable du bac.

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbf R^+ = [0, +\infty[$ par $h(x) = xe^{-x}$.

Question n°1

Il faut déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $h$.

Par opération sur les limites, on aboutit à une forme indéterminée $0 \times (+ \infty)$

Commençons par remarquer que $e^{-x} = e^{0 - x} = \dfrac{e^0}{e^x} = \dfrac{1}{e^x}$. Dès lors, $h(x) = \dfrac{x}{e^x}$

A partir de là, on peut utiliser que $\dfrac{e^x}{x} \rightarrow + \infty$ avec $x$ (cas normalement vu en cours) et passer à l’inverse pour conclure que $\dfrac{x}{e^x} \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow +\infty$.

Pour les plus curieux, voici deux preuves détaillée ici-bas.

Prérequis :

Montrons que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{ln(x)}{x} = 0$. On sait que $ln(x) = \int_1^x \dfrac{1}{t} dt$ donc $\dfrac{ln(x)}{x} = \dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{t} dt$.
On remarque que $\forall t > 1, \sqrt{t} \leq t$, soit $\dfrac{1}{t} \leq \dfrac{1}{\sqrt{t}}$ puis $\int_1^x \dfrac{1}{t} dt \leq \int_1^x \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt$ par les propriétés de l’intégrale.

Or, $\dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt = \dfrac{1}{x} [2\sqrt{t}]_1^x = \dfrac{2\sqrt{x} - 2}{x} = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}} + 2}{x} = \dfrac{x(2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{2}{x})}{x} = 2\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x} \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow +\infty$.

Donc, $0 < \dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{t} dt \leq \dfrac{1}{x} \int_1^x \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt \iff 0 < \dfrac{ln(x)}{x} \leq 2\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x}$.

Cela permet de conclure $\dfrac{ln(x)}{x} \rightarrow 0$ lorsque $x$ tend vers l’infini positif, en utilisant le théorème des gendarmes.

Première preuve :

$\dfrac{e^x}{x} = exp(x - ln(x)) = exp(x(1 - \dfrac{ln(x)}{x}))$.

Quand $x \rightarrow +\infty$, $1 - \dfrac{ln(x)}{x} \rightarrow 1$ par opération sur les limites. S’ensuit $x(1 - \dfrac{ln(x)}{x}) \rightarrow +\infty$ donc $exp(x(1 - \dfrac{ln(x)}{x})) = \dfrac{e^x}{x} \rightarrow +\infty$.

En passant à l’inverse, on a bien $\dfrac{x}{e^x} \rightarrow 0$ lorsque $x$ tend vers l’infini positif.

Deuxième preuve (sans passer par $\dfrac{e^x}{x}$):

On pose $f = e^x$.

$\dfrac{x}{e^x} = \dfrac{ln(e^x)}{e^x} = \dfrac{ln(f(x))}{f(x)}$.

$f$ tend vers l’infini positif avec $x$, donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ln(f(x))}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ln(x)}{x} = 0$

Question n°2

On va étudier les variations de $h$ sur son domaine de définition.

On commence par dériver : $h'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.

$x \mapsto e^x$ est strictement positive sur $\mathbf R^-$ donc notre dérivée est du signe de $1 - x$.

Il est alors facile de déterminer les variation de $h$ sur $[0, +\infty[$:

  • $x \mapsto 1 - x$ est positive sur $[0, 1[$ donc $h$ croît sur cet intervalle.

  • Elle s’annule en 1 puis change de signe, $h$ admet donc un maximum en $x = 1$ soit $max(h(\mathbf R^+)) = h(1) = e^{-1}$.

  • $h$ décroît évidement sur $]1, +\infty[$. N’oubliez pas d’indiquer sa limite!

Question n°3

On cherche à déterminer une primitive de h(x)…

a)

Vérifions que $\forall x \in \mathbf R^+, h(x) = e^{-x} - h'(x)$ :

$e^{-x} - h'(x) = e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = xe^{-x} = h(x)$.

b)

Déterminons une primitive de $x \mapsto e^{-x}$ sur $\mathbf R^+$

$(-e^{-x})' = -1 \times -e^{-x} = e^{-x}$

Donc $\int e^{-x} dx = -e^{-x}$.

c)

Dès lors, $\int h(x) dx = \int e^{-x} - h'(x) dx = -e^{-x} - xe^{-x} = -(x + 1)e^{-x}$.

[Partie B] Le logarithme népérien entre en jeu...

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbf R^+$ par $f : x \mapsto xe^{-x} + \ln(x + 1)$ et $g : x \mapsto \ln(x + 1)$.

Voici maintenant les graphes de ces deux fonctions :

C’est bô

Question 1

$M (x, f(x))$ et $N (x, g(x))$ sont deux point respectivement situés sur $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ (ils ont la même abscisse).

On cherche à trouver la distance MN maximale.

Plaçons-nous dans le repère orthonormé $\mathcal R(O, \vec{i}, \vec{j})$$||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1$.

De ce fait, $\vec{MN} = (x - x)\vec{i} + (g(x) - f(x))\vec{j} = (xe^{-x} + \ln(x + 1) - \ln(x + 1))\vec{j} = (xe^{-x})\vec{j}$.

Ainsi, $||\vec{MN}|| = \sqrt{(xe^{-x})^2} = \sqrt{h(x)^2} = h(x)$ par stricte positivité de $h$ sur $\mathbf R^+$.

Or, comme nous l’avons vu dans la partie A, $h$ admet son maximum en $x = 1$.

Donc pour $M(1, e^{-1} + \ln(2))$ et $N(1, \ln(2))$, on a une distance maximale de $ e^{-1}$

Question 2

a)

Soit $\lambda \in \mathbf R^+$ et les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.

On cherche à déterminer une expression de l’aire $\mathcal A_{\lambda}$ sous les deux courbes entre ces-deux droites.

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\mathbf R^+$ (puisque dérivables) et telles que $f \geq g$. De ce fait, l’aire entre les deux courbes correspond à $\int_0^{\lambda} f(x)-g(x) dx$.

$\mathcal A_{\lambda} = \int_0^{\lambda} f(x) dx - \int_0^{\lambda} g(x) dx = \int_0^{\lambda} f(x) - g(x) dx$ par la linéarité de l’intégrale.

Donc $\mathcal A_{\lambda} = \int_0^{\lambda} xe^{-x} = [-(x + 1)e^{-x}]_0^{\lambda} = -e^{-\lambda} (\lambda + 1) + 1 = -\lambda e^{-\lambda} - e^{-\lambda} + 1 = -\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}} - \dfrac{1}{e^{\lambda}} + 1 = 1 - \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}}$.

b)

On cherche à déterminer $\displaystyle \lim_{\lambda \to +\infty} 1 - \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}}$.

Pour ce faire, remarquons que $1 + \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}} = 1 - \dfrac{\lambda}{e^{\lambda}} + \dfrac{1}{e^{\lambda}}$ en divisant par $e^{\lambda}$ au numérateur et au dénominateur.

Ensuite, $\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}} \rightarrow 0$ et $\dfrac{1}{e^{\lambda}} \rightarrow 0$ lorsque $x \rightarrow + \infty$.

Donc la limite est égale à 1.

Question 3

a)

Nous avons l’algorithme suivant :

Un algorithme type Algobox/Pseudo-code

On observe aisément que pour $S = 0,8$, l’algorithme nous ressort $\lambda = 3$.

b)

A quoi sert cet algorithme?

L’algorithme permet de déterminer le plus petit $λ$ tel que l’aire entre les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = \lambda$ soit supérieure à S.


Prévenez moi s’il y a des pépins (c’est probable), n’ayant moi même pas trop réussi l’épreuve, je fais aussi cette correction à titre d’exercice.

30 commentaires

Quand c’est complet, c’est complet chez toi wah !

Blackline

FunFact : Ce n’est même pas vraiment le raisonnement que j’ai eu le jour de l’épreuve, j’étais d’avantage superficiel. :-°

Comme quoi, la chaleur et le stress ça joue aussi…

Édité par anonyme

+0 -0

la référence des bijections réciproques.

C’est quoi une bijection réciproque ? :)

Pour les plus curieux, voici deux preuves détaillée ici-bas.

Dans le déroulant, les intégrales ont leurs bornes inversées.

Sur la première preuve, il faut faire attention parce que l’égalité $x= e{\ln(x)}$ n’est vraie que pour $x$ strictement positif. Mais ça ne pose pas de problème parce qu’on s’intéresse à $x$ grand. (Ça fait tout de même partie du travail de rédaction de faire attention à ces détails.)

J’ai pas compris la deuxième preuve. Je pense qu’il y a un souci de rédaction.

x↦ex est strictement positive sur R+ donc notre dérivée est du signe de 1−x.

Sur $\mathbf R_-$ !

On cherche à déterminer la primitive

Une primitive

Elle est s’annule

Frappe

max(h(R+))

Jamais vu cette écriture ! Mais pourquoi pas, c’est juste assez inhabituel.

Vérifions que ∀x∈R+,h(x)=xe−x−h′(x)

Frappe

Déterminons la primitive

Une primitive. La rédaction est moyenne ici.

Or, comme nous l’avons vu dans la partie A, h admet son maximum en x=1.

Pas suffisant : $h(x)^2$ pourrait avoir un maximum différent de $h(x)$

b)

T’es passé à la question 2 là.

Il va falloir faire appelle à une intégrale :

Pourquoi ?

par les propriétés des primitives.

Nope, c’est par linéarité. (Et il manque un $dx$ sur l’intégrale d’avant aussi.)

Pour ce faire, remarquons que λ+1eλ=1−λeλ+1eλ en divisant par eλ au numérateur et au dénominateur.

L’égalité me paraît fausse, et j’ai du coup pas compris ta justification.

A quoi sert cet algorithme? Je vous laisse réfléchir…

Il faut corriger jusqu’au bout !

Édité par Holosmos

+0 -0

J’ai trouvé la première démonstration assez compliquée (pour répondre à la question de la limite de la fonction $h$).

J’aurais plutôt tendance à partir de la fonction $\exp$, et remonter de primitive en primitive jusqu’à $f(x) = e^x - x^2$, croissante et positive à partir d’un seuil connu, qui permet de conclure sur la limite de $\frac{e^x}{x}$.

Il y a une façon plus "canonique" de procéder (qui est en lien étroit avec le développement limité de l’exponentielle). On peut montrer que pour $x\in [0,+\infty[$ :

$$ \exp(x) \geq 1 + x + \frac{x^2}2 \geq \frac {x^2}{2}.$$

Une fois qu’on a ça, il est clair que

$$\frac x{\exp(x)} \leq \frac{2x}{x^2} =\frac2x $$

tend vers $0$.

On commence par remarquer que :

$$\forall x\in [0,+\infty[, \; \exp(x) \geq 1$$

et on intègre deux fois entre $0$ et $x$ chaque membre. Pour le premier :

$$ \int_0^x \int_0^x \exp(x)dx = \int_0^x [\exp(x)]^x_0dx = \int_0^x (\exp(x) - 1)dx = [\exp(x)-x]^x_0 = \exp(x) -x -1$$

pour le second membre :

$$\int_0^x\int_0^x 1 dx = \int_0^x xdx = \frac {x^2}2$$

et donc

$$ \exp(x) -1-x \geq \frac {x^2}2$$

qui donne bien l’inégalité que j’ai annoncé plus haut.


Cette façon de faire peut paraître plus longue, mais c’est un trick très très utile.

Édité par Holosmos

+0 -0

Salut, merci pour tes remarques.

C’est quoi une bijection réciproque ? :)

C’est à venir dans un autre billet. Je ferai dès lors un lien vers ce-dernier lorsqu’il sera prêt (je peux enlever le terme si ça déroute).

Dans le déroulant, les intégrales ont leurs bornes inversées.

Ah oui, faute de frappe (j’ai inversé ’_’ et ’^’ dans Latex…). ^^

Sur la première preuve, il faut faire attention parce que l’égalité $x=eln⁡(x)$ n’est vraie que pour $x$ strictement positif. Mais ça ne pose pas de problème parce qu’on s’intéresse à $x$ grand. (Ça fait tout de même partie du travail de rédaction de faire attention à ces détails.)

Je me suis fait la réflexion, et je me suis dit que puisqu’on s’intéresse à $x \to +\infty$, on peut se permettre de ne pas préciser. Mais avec un peu de recul, ça reste une ambiguïté de rédaction, et je vais corriger cela.

J’ai pas compris la deuxième preuve. Je pense qu’il y a un souci de rédaction.

Je pose $f = e^x \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$.

Donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ln(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ln(f)}{f} = 0$.

$\mathbf R_-$

En effet, je n’ai pas fait attention.

Une primitive

Aïe, pardon. :lol:

Pas suffisant : $h(x)^2$ pourrait avoir un maximum différent de $h(x)$

Ce sont en effet deux fonctions distinctes. Devrais-je d’emblée écrire $\sqrt{h(x)^2} = h(x)$ par stricte positivité de $h$ sur $\mathbf R^+$?

T’es passé à la question 2 là.

Oups.

Pourquoi ?

On sait que l’aire sous $\mathcal C_f$ entre les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$ correspond à $\int_0^{\lambda} f(x) dx$. Pour l’aire sous $\mathcal C_g$, il s’agit de $\int_0^{\lambda} g(x) dx$. Pour obtenir l’aire entre les deux courbes, ont fait la différence des deux intégrales, ce qui ce fait aisément en utilisant la linéarité de l’intégrale, comme tu le corrige après.

L’égalité me paraît fausse, et j’ai du coup pas compris ta justification.

J’ai oublié d’ajouter le ’$+1$’ :

$1 + \dfrac{\lambda + 1}{e^{\lambda}}$

Il faut corriger jusqu’au bout !

C’est fait.

J’aurais plutôt tendance à partir de la fonction $\exp$, et remonter de primitive en primitive jusqu’à $f(x) = e^x - x^2$, croissante et positive à partir d’un seuil connu, qui permet de conclure sur la limite de $\frac{e^x}{x}$.

entwanne

Salut, je ne comprend pas trop bien ta méthode.

Comme j’avais vu les croissances comparées sur la plupart des corrections, je me suis dit que ça pouvait être sympa de mettre des preuves dessus (elles sont admises en terminale).

Édité par anonyme

+0 -0

C’est à venir dans un autre billet. Je ferai dès lors un lien vers ce-dernier lorsqu’il sera prêt (je peux enlever le terme si ça déroute).

C’est surtout que ce terme ne fait pas sens dans ta phrase.

Devrais-je d’emblée écrire h(x)2‾‾‾‾‾√=h(x) par stricte positivité de h

La positivité suffit, mais oui.

Pour obtenir l’aire entre les deux courbes, ont fait la différence des deux intégrales, ce qui ce fait aisément en utilisant la linéarité de l’intégrale, comme tu le corrige après.

La question n’était pas tant pour moi que pour ta rédaction …

+0 -0

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\mathbf R^+$ et telles que $f \geq g$. De ce fait, l’aire entre les deux courbes correspond à $\int_0^{\lambda} f(x)-g(x) dx$.

EDIT : J’ai tout corrigé.

Édité par anonyme

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Dernière phrase :

A quoi sert cet algorithme?

Il permet de déterminer le plus grand entier λ de telle manière à ce que l’aire entre les courbes Cf et Cg soit comprise entre 0 et 1.

Non. λ dépend de S, et S ne figure pas dans ton explication, ça ne peut pas être bon.

Et ce n’est pas le seul problème, mais avançons étape par étape.

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@Ozmox Essaie de mettre les longues formules dans la balise $$ plutôt que $ car sinon elles sont rognées sur mobile ;)

Pour l’algorithme je pense que c’est plutôt : « L’algorithme permet de déterminer le plus petit $\lambda$ tel que l’aire entre les courbes $Cf$ et $Cg$ soit supérieure à S. »

D’ailleurs si tu prends $\lambda = 3$, l’inégalité donne $0,800852 < 0,8$ :)

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Essaie de mettre les longues formules dans la balise $$ plutôt que $ car sinon elles sont rognées sur mobile ;-)

Très bien.

L’algorithme permet de déterminer le plus petit $λ$ tel que l’aire entre les courbes $Cf$ et $Cg$ soit supérieure à S.

C’est ça, j’ai l’impression que c’est un peu la même chose.

D’ailleurs si tu prends $\lambda = 3$, l’inégalité donne $0,800852 < 0,8$ :-)

Euh, oui, donc c’est $\lambda = 4$ qui est plutôt affiché.

Tu parlais d’autres problèmes Elegance (je vais un peu attendre avant de modifier)?

Édité par anonyme

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D’ailleurs si tu prends $\lambda = 3$, l’inégalité donne $0,800852 < 0,8$ :-)

Euh, oui, donc c’est $\lambda = 4$ qui est plutôt affiché.

Non non, si on fait tourner l’algorithme on a :

$\lambda = 0$

0 < 0,8 Vrai

(1er tour dans le tant que)

$\lambda = 1$

0,264 < 0,8 Vrai

(2ème tour dans le tant que)

$\lambda = 2$

0,594 < 0,8 Vrai

(3ème tour dans le tant que)

$\lambda = 3$

0,800852 < 0,8 Faux

(On sort du tant que)

On affiche 3

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