Toutes les positions du morpion dans un seul nombre

Savez-vous compter les poux à la mode de chez nous ?

Par

Aabu

Temps de lecture estimé : 40 minutes

Dernière mise à jour dimanche 13 décembre 2020 à 10h58

Dans un précédent billet, j’écrivais au sujet du nombre de positions différentes au morpion, à savoir 5478 (en comptant séparément les positions équivalentes). Il est facile de représenter une position graphiquement, à l’aide d’une grille, comme suit :

+---+---+---+
| X |   | O |
+---+---+---+
|   |   | X |
+---+---+---+
|   | X | O |
+---+---+---+

Cependant, ce n’est pas très compact. Peut-on faire mieux ? Et surtout peut-on représenter de manière compacte toutes les positions d’un seul coup ?

C’est à ces questions que j’apporte une réponse dans ce billet.

Représenter une position par un nombre
Un nombre pour les représenter toutes

Représenter une position par un nombre

Une représentation ternaire

La représentation graphique présentée en introduction contient pour chaque case l’information suivante : vide, contient une croix ou contient un cercle. Si on numérote les cases comme ci-dessous, il suffit de faire une liste ordonnée de neuf symboles pour représenter la position.

+---+---+---+
| 1 | 2 | 3 |
+---+---+---+
| 4 | 5 | 6 |
+---+---+---+
| 7 | 8 | 9 |
+---+---+---+

La position présentée en introduction est alors la suivante : X.O..X.XO, où le vide est marqué par un point pour que ce soit plus lisible.

On a ainsi représenté une position par une liste de neuf symboles choisis parmi trois différents. Mais une liste de trois symboles différents… c’est tout simplement un nombre en base 3 !

On peut donc passer de la liste de symboles à un nombre grâce à la correspondance suivante :

. pour 0,
X pour 1,
O pour 2,

On représente alors la partie X.O..X.XO par le nombre en base 3 $102001012_3$ , le 3 en indice indiquant juste la base pour éviter les ambiguïtés avec la base 10 habituelle.

Stockage d’une représentation sans (trop) gâcher

Le plus grand nombre à 9 chiffres ou moins en base 3 est le suivant : $222222222_3$ , ou 19682 en base 10. Cela donne une borne supérieure aux entiers représentant des positions, bien que ce nombre lui-même ne représente pas une position valide.

Pour encoder ce nombre en binaire, il nous faut $\log_2 19682 \approx 14{,}26$ bits. Autrement dit, il faut au plus 15 bits. Le type standard le plus juste est le type uint16 (entier non signé sur 16 bits), qui nous offre même un bit en plus, et permet ainsi de stocker deux positions dans ces 16 bits.

Avec ce type de stockage assez simple, on arrive déjà à faire rentrer sans prise de tête 5478 positions dans 5478 octets. On gâche quand même 0,37 bits par position, soit environ 5% : c’est inacceptable.

Un nombre pour les représenter toutes

Dans le schéma de stockage précédent, on gâchait quelques bits, qui correspondent à des nombres inutilisés. En effet, Entre 19683 et 2¹⁵ = 32768, il y a quelques milliers de nombres inutilisés. En fait, comme 2¹⁶ = 65536, on pourrait stocker jusqu’à trois combinaisons dans ces 16 bits (car 65536/19682 fait environ 3,3), en stockant les nombres par tranches suffisamment fines.

La forme finale de cette idée, c’est de faire des tranches d’exactement la bonne taille, soit 19683. Mathématiquement, cela revient à écrire l’ensemble de toutes les positions comme un seul nombre écrit en base 19683. Comme on doit stocker 5478 positions, il aura 5478 chiffres en base 19683.

En base 10, cela fait un seul nombre… à 23523 chiffres. Il est caché ci-dessous et a été obtenu en énumérant toutes les positions puis en faisant une conversion bête et méchante.

102 998 262 357 203 153 412 050 213 692 735 645 015 378 989 217 330 728 759 646 898 021 168 944 431 570 031 240 783 856 919 205 283 417 168 637 268 465 021 723 369 275 689 000 851 860 889 672 187 626 364 605 470 099 347 441 927 840 149 292 278 039 056 368 944 479 897 046 000 669 957 110 394 832 545 393 964 793 916 956 512 920 293 033 770 707 270 686 052 279 922 259 353 183 426 004 348 285 968 646 980 354 641 329 352 489 750 901 279 002 772 959 045 199 462 195 437 976 712 073 829 804 668 244 203 289 966 354 937 070 689 720 869 787 276 646 907 423 118 067 678 175 836 900 321 521 808 068 412 411 250 394 422 153 654 266 369 600 436 600 305 546 609 595 516 914 792 208 022 310 036 924 731 311 438 422 539 057 411 878 765 585 621 671 414 093 970 094 108 152 952 108 133 908 485 489 505 145 044 076 472 460 678 940 941 508 178 270 866 885 708 439 587 309 906 528 119 033 015 051 505 653 395 718 214 527 819 775 998 789 232 450 812 658 346 906 842 622 591 105 651 233 473 429 494 527 880 596 730 969 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Avec ça, on ne gâche (presque) rien ! Je vous épargne le calcul qui permet de le vérifier.

Voilà, vous avez toutes les positions du morpion dans un seul nombre.

Bien que compact, ça ne sert presque à rien. . Entre autres choses, on peut citer les défauts suivants :

le décodage et l’encodage est beaucoup plus complexe et coûteux que juste stocker deux positions dans un uint16, pour un gain faible d’environ 5% ;
c’est difficilement indexable (la représentation dans des uint16 se fait avec un simple tableau) ;
si on cherche la compacité maximale, il suffit de stocker un programme qui recalcule les positions (c’est rapide et le programme prend déjà deux fois moins de place).

Note : Merci à @artagis pour le soutien technique nécessaire à la réalisation de ce billet. Photo souvenir ci-dessous. Merci aussi à @Stalone… je crois.

10 commentaires

artragis, dimanche 13 décembre 2020 à 11h13

ça m’a fait pensé à cette vidéo de @micmaths

13/12/20 à 11h13

+3 -0

SpaceFox, dimanche 13 décembre 2020 à 12h05

La logique derrière ce billet me fait penser à la RFC 1924. Qui nous rappelle qu’on parlait déjà d’IPv6 en 1996 !

13/12/20 à 12h05

Les textes de SpaceFox & Lisa Refur – Un Renard en Corée – Un renard au Japon – @spacefox@mastodon.spacefox.fr

+1 -0

entwanne, dimanche 13 décembre 2020 à 18h17

Par contre je me pose une question : ta représentation à 9 chiffres en base 3 permet de représenter toutes les combinaisons possibles de rien / X / O sur une grille de 3×3, soit 3⁹ (19683) combinaisons.

Mais on sait depuis tes précédents billets qu’il n’y a que 5478 combinaisons possibles dans un jeu de morpion, on a donc une représentation dont seuls 30% des éléments correspondent à une combinaison réelle.
Partant de là, est-ce qu’il ne serait pas possible de réfléchir à une représentation plus compacte qui éviterait de perdre de l’espace pour des combinaisons impossibles ?

13/12/20 à 18h17

entwanne — @entwanne — Un zeste de Python — La POO en Python — Notions de Python avancées — Les secrets d’un code pythonique

+3 -0

Aabu, dimanche 13 décembre 2020 à 19h49
Modifié

Partant de là, est-ce qu’il ne serait pas possible de réfléchir à une représentation plus compacte qui éviterait de perdre de l’espace pour des combinaisons impossibles ?

La représentation la plus compacte que j’ai est le programme qui énumère toutes les positions, comme je l’évoque à la fin du billet. Et encore, c’est un programme que je n’ai pas cherché à écrire de manière particulièrement compacte.

La compacité maximale n’est pas super intéressante, parce que tu peux toujours ranger de la complexité dans le décodeur d’une certaine manière. En pratique, tu as un compromis entre les informations que tu stockes et celles que tu calcules et la complexité du calcul.

Dans le billet, l’information pour le décodeur est assez simple : les algorithmes pour extraire les chiffres dans les bases intéressantes, et la correspondance avec une grille de morpion. Quand on parle du programme qui énumère, il est très ad hoc, car il contient plein de connaissances sur le jeu du morpion (l’alternance des joueurs, ne pas jouer deux fois sur la même case, la définition d’une victoire, etc). Il y a sûrement de bons compromis intermédiaires.

On a un compromis similaire dans les algorithmes de compression pour la musique : un algo généraliste (genre zip) sera assez mauvais, un algo qui connaît mieux les sons musicaux (MP3 par exemple) fera mieux, et on peut compresser sous forme d’indication de partition si on connaît l’instrument qui joue (ce qu’on a en quelque sorte dans les logiciels de musique assistée par ordinateur). À chaque fois le décodeur se complexifie (et sa taille aussi en moyenne).

La question de la complexité d’une séquence est d’ailleurs très intéressante avec plein de ramifications partout, notamment au sujet de la compression, mais pas que.

Et en prime dans le cas présent, la meilleure représentation dépend aussi de ce qu’on veut faire (juste les lister, rechercher des positions, etc).

Le but du billet était surtout de faire une remarque amusante en fait. Autre remarque encore plus amusante et encore moins pratique : on a une grille 3x3, donc c’est une matrice, donc ce sont en fait 3 vecteurs dans l’espace. On pourrait donc représenter l’ensemble des grilles de morpion par des tétraèdres (possiblement dégénérés) ordonné dans l’espace selon un repère donné.

13/12/20 à 19h49
Modifié

+2 -0

adri1, dimanche 13 décembre 2020 à 20h17

Ce serait assez cool d’imprimer ces tétraèdres en 3D en grand et mettre ça dans un hall d’un labo de cristallographie.

13/12/20 à 20h17

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

+7 -0

melepe, lundi 14 décembre 2020 à 15h34
Modifié

On peut faire largement mieux avec les séquences de de Bruijn. Par exemple, je peux énumérer toutes les séquences de 2 bits grâce à 0110: la première séquence (01) commence à l’indice 0, la seconde (11) à l’indice 1 etc. Pour 00, ça commence à 3 et on boucle.

On souhaite pour ce problème représenter tous les mots de 9 "trits", ce qui correspond à un mot de de Bruijn de longueur totale $3^9 = 19683$ trits. Puisque qu’un nombre de de Bruijn reste un nombre de de Bruijn quand on applique une rotation à ses chiffres, on peut commencer avec le maximum de 0 (i.e. de .) au début du nombre. On peut se convaincre que le nombre maximum de . consécutifs est exactement 9 (car sinon on aurait deux sous-mots consécutifs qui codent pour la grille vide), donc un mot qui vaut au maximum $3^{19683 - 9}$ , soit un nombre de seulement 9387 chiffres, soit un gain d’espace d’un ~~facteur de $10^{15866}$ par rapport à la solution présentée dans ce billet~~.

C’est beaucoup mieux !

Edit : on me signale que mesurer une efficacité par la taille du nombre c’est tricher, les vraies gens font ça en nombre de bits. On arrive alors à une amélioration d’un facteur 2.5, c’est bien aussi.

Et pour donner un exemple concret, voici une suite de de Bruijn de 9 trits dont la valeur est minimale (quand on le prend en temps que nombre, c’est le plus petit nombre possible) :

000 000 000 100 000 000 200 000 001 100 000 001 200 000 002 100 000 002 200 000 010 100 000 010 200 000 011 100 000 011 200 000 012 100 000 012 200 000 020 100 000 020 200 000 021 100 000 021 200 000 022 100 000 022 200 000 100 100 000 100 200 000 101 100 000 101 200 000 102 100 000 102 200 000 110 100 000 110 200 000 111 100 000 111 200 000 112 100 000 112 200 000 120 100 000 120 200 000 121 100 000 121 200 000 122 100 000 122 200 000 200 100 000 200 200 000 201 100 000 201 200 000 202 100 000 202 200 000 210 100 000 210 200 000 211 100 000 211 200 000 212 100 000 212 200 000 220 100 000 220 200 000 221 100 000 221 200 000 222 100 000 222 200 001 000 100 001 000 200 001 001 100 001 001 200 001 002 100 001 002 200 001 010 100 001 010 200 001 011 100 001 011 200 001 012 100 001 012 200 001 020 100 001 020 200 001 021 100 001 021 200 001 022 100 001 022 200 001 100 100 001 100 200 001 101 100 001 101 200 001 102 100 001 102 200 001 110 100 001 110 200 001 111 100 001 111 200 001 112 100 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qui donne, en décimal,

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268 904 806 649 155 489 891 774 410 123 358 100 457 200 320 214 713 921 558 283 178 820 652 899 821 529 420 477 442 863 570 607 955 077 552 253 202 171 569 662 935 941 966 582 216 426 500 493 016 494 710 803 944 692 067 347 590 413 275 473 704 715 413 346 598 028 005 615 974 659 622 598 013 941 423 148 723 453 668 552 319 236 298 880 557 850 724 710 542 746 276 012 801 832 018 921 395 838 376 290 776 000 935 665 911 884 569 702 080 729 121 417 564 198 423 972 855 757 215 393 868 367 269 609 034 031 506 358 161 287 890 979 790 058 551 408 569 680 152 386 892 547 275 212 183 887 348 046 035 840 807 826 980 789 503 593 853 954 420 682 850 776 446 640 127 885 309 658 817 769 239 534 158 487 939 001 292 639 710 965 398 735 222 255 222 118 242 095 110 544 955 756 166 144 756 861 296 242 815 443 262 190 160 174 516 811 550 559 028 517 901 941 488 486 205 308 723 088 013 244 603 924 984 525 084 787 909 198 663 131 893 522 976 225 905 969 253 815 166 326 952 775 635 077 217 650 944 896 624 390 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090 494 254 951 668 174 144 333 711 615 989 865 024 689 448 914 996 701 699 423 077 052 108 602 519 759 679 072 968 466 799 200 870 015 874 740 414 743 059 393 817 324 754 488 295 659 192 687 960 375 298 484 339 468 164 910 650 957 326 605 089 949 914 955 194 583 630 025 983 122 310 910 442 249 134 639 357 459 503 159 497 395 507 901 021 480 695 791 966 858 193 486 217 581 925 427 814 057 774 222 956 815 193 802 884 300 259 247 686 622 322 676 922 719 646 423 356 901 682 249 276 947 941 416 216 119 601 333 543 068 702 975 182 030 748 272 348 228 905 178 804 686 596 428 857 301 469 854 408 852 299 706 217 084 466 648 619 335 214 219 358 635 326 416 130 266 109 153 144 192 456 709 877 817 221 981 081 760 890 585 374 158 497 655 779 240 298 993 284 103 908 886 339 763 895 586 064 583 170 688 192 830 715 828 746 221 097 624 701 999 217 333 846 404 526 532 495 544 660 895 450 402 718 312 857 749 465 935 987 880 437 868 387 563 903 543 788 278 118 087 841 416 336 137 260 009 846 709 840 869 513 349 302 688 555 389 689 603 240 220 397 734 766 451 950 421 146 597 541 311 624 431 812 380 009 449 265 704 412 477 417 609 892 785 996 300 098 197 215 702 423 272 841 232 934 407 634 461 911 474 202 366 368 029 645 783 203 916 096 465 713 874 990 817 388 960 057 363 619 667 960 491 189 800 943 759 767 242 368 825 120 310 259 699 008 474 091 404 686 921 466 037 749 941 584 819 951 454 097 450 040 356 571 911 826 129 116 239 121 871 601 130 559 785 805 916 084 082 500 367 262 476 484 994 426 379 516 428 108 822 916 251 282 900 816 914 256 923 375 906 339 818 216 876 584 252 916 696 425 275 161 762 144 675 952 809 228 218 359 095 072 642 579 627 609 484 980 409 703 769 090 620 843 480 314 603 610 281 921 653 782 712 401 351 409 094 752 004 047 510 088 802 938 576 262 525 063 523 262 217 871 031 647 119 543 182 868 330 601 064 413 775 365 592 885 059 441 021 724 856 987 827 541 493 711 642 737 551 700 248 432 391 817 577 072 451 517 304 484 415 607 313 861 551 923 682 726 603 796 104 949 486 352 314 986 753 598 851 419 566 062 695 057 974 616 668 845 482 749 547 398 234 447 558 429 006 627 099 391 177 162 792 632 722 702 637 484 806 733 495 969 697 821 794 593 220 139 127 445 410 114 007 018 217 748 197 269 204 654 108 131 843 376 112 921 466 698 360 806 851 072 764 016 524 942 302 749 784 956 243 167 369 734 858 121 922 172 157 142 383 014 001 889 363 944 354 362 084 211 925 373 900 164 781 906 255 534 536 776 045 882 697 260 322 314 160 869 623 282 661 908 005 589 753 058 138 603 281 441 658 305 880 631 373 877 691 318 796 525 885 775 749 406 700 822 463 789 402 964 544 133 167 584 051 027 229 308 804 261 565 307 311 497 975 352 192 311 096 541 210 935 054 193 980 549 794 473 438 889 933 757 717 866 863 748 217 945 065 853 061 304 553 299 994 766 654 587 650 542 645 840 685 045 699 858 681 630 824 782 399 182 886 003 513 365 651 883 680 740 100 231 243 151 121 738 084 601 590 251 308 155 599 318 622 751 356 741 393 169 456 153 960 617 227 865 582 775 882 353 294 377 577 339 997 946 167 165 160 562 329 461 213 087 495 750 044 665 430 937 250 918 019 460 061 081 153 300 026 375 637 569 267 324 959 095 262 923 717 059 057 724 142 578 583 360 568 703 479 256 126 672 559 890 107 943 268 726 693 733 186 240 601 531 798 365 008 643 131 203 323 120 681 050 732 741 088 038 673 155 316 325 103 392 641 680 606 453 660 520 036 526 106 396 275 188 066 615 883 269 434 449 568 972 606 519 673 302 121 338 924 838 234 246 701 690 084 652 989 283 061 477 167 025 731 277 443 668 615 614 964 514 817 761 532 671 898 106 849 074 932 395 208 636 905 988 769 269 876 457 053 471 739 385 851 242 719 401 100 890 943 614 804 404 114 509 408 316 930 760 733 061 139 745 951 327 386 942 779 024 365 430 934 599 791 661 779 278 876 593 215 813 694 069 416 871 374 211 582 526 327 631 917 452 017 633 601 326 053 563 296 280 876 582 515 890 849 770 215 698 773 479 945 686 256 497 336 019 053 121 307 926 471 709 632 459 644 621 428 422 195 511 606 034 792 326 628 529 467 940 071 690 007 396 355 967 442 551 206 387 958 810 849 458 919 704 033 246 193 351 837 343 304 248 408 383 465 478 141 632 404 667 374 045 597 438 788 735 650 526 485 310 568 912 911 595 715 894 632 143 676 129 014 713 889 239 023 776 484 650 815 607 400 501 517 069 089 445 291 912 448 009 398 725 441 654 754 153 499 723 341 097 790 934 525 591 376 936 082 803 759 388 946 009 869 296 230 254 263 634 634 959 530 604 269 746 099 617 361 883 106 872 786 515 518 702 931 842 667 130 684 986 951 723 120 473 757 290 578 761

Une question intéressante serait de chercher si on peut coder une séquence de de Bruijn uniquement sur les positions valides.

14/12/20 à 15h34
Modifié

+4 -0

anonyme, mercredi 16 décembre 2020 à 23h20

Aabu, si tu cherchais à calculer le nombre de positions modulo les symétries, ça donne 850 ! Et c’est sans compter les positions impossibles parce qu’elles ont deux gagnants par exemple. Voilà comment on peut calculer le nombre de positions valides pour chaque couple (nombre de croix, nombre de ronds).

Déjà, le mode de représentation des nombres de possibilités utilise les polynômes en deux variables $x$ et $y$ , avec $x$ qui correspond au nombre de croix et $y$ au nombre de ronds. Par exemple, "deux possibilités pour une croix et trois possibilités pour (une croix, deux ronds)" s’exprime par le polynôme $2 x + 3 xy^2$ . Pourquoi cette représentation ?

L’addition de polynômes correspond à prendre l’union des possibilités.
Le produit de polynômes sert à faire des choix parallèles. Par exemple, si $P(x,y)$ représente les nombres de configurations possibles pour le morpion, alors $P(x,y)^2$ représentera possibilités pour deux plateaux de morpions côte à côte.

Avec cet encodage, voilà le calcul du polynôme pour le morpion, en Sage et avec le théorème de Polya.

sage: var("x,y,z")
(x, y, z)
sage: Se = (x+y+z)^9
sage: Sr = (x^4+y^4+z^4)^2*(x+y+z)
sage: Sr2 = (x^2+y^2+z^2)^4*(x+y+z)
sage: Sm = (x^2+y^2+z^2)^3*(x+y+z)^3
sage: P = (1/8) * (Se + 2*Sr + Sr2 + 4*Sm)
sage: expand(P(z=1))
x^9 + 3*x^8*y + 8*x^7*y^2 + 16*x^6*y^3 + 23*x^5*y^4 + 23*x^4*y^5 + 16*x^3*y^6 + 8*x^2*y^7 +
3*x*y^8 + y^9 + 3*x^8 + 12*x^7*y + 38*x^6*y^2 + 72*x^5*y^3 + 89*x^4*y^4 + 72*x^3*y^5 +
38*x^2*y^6 + 12*x*y^7 + 3*y^8 + 8*x^7 + 38*x^6*y + 108*x^5*y^2 + 174*x^4*y^3 + 174*x^3*y^4 +
108*x^2*y^5 + 38*x*y^6 + 8*y^7 + 16*x^6 + 72*x^5*y + 174*x^4*y^2 + 228*x^3*y^3 + 174*x^2*y^4 +
72*x*y^5 + 16*y^6 + 23*x^5 + 89*x^4*y + 174*x^3*y^2 + 174*x^2*y^3 + 89*x*y^4 + 23*y^5 + 23*x^4 +
72*x^3*y + 108*x^2*y^2 + 72*x*y^3 + 23*y^4 + 16*x^3 + 38*x^2*y + 38*x*y^2 + 16*y^3 + 8*x^2 +
12*x*y + 8*y^2 + 3*x + 3*y + 1

Chacun des polynômes $S_e$ , $S_r$ , etc. calculés correspondent à un type de symétrie du plateau de morpion : $e$ pour l’identité (la symétrie qui ne fait rien), $r$ pour une rotation d’un quart de tour (il y en a deux d’où le coefficient 2 dans le calcul de $P$ ), $r^2$ pour un demi-tour et $m$ pour une symétrie miroir (il y en a quatre). On fait ensuite la moyenne (huit symétries) et on trouve $P$ .

Le calcul des $S_e$ , $S_r$ , etc. fonctionne comme suit. On commence par dessiner l’action de la symétrie sur les cases du morpion à l’aide de flèches. Par exemple, pour la symétrie $S_r$ , on va avoir les quatre coins qui vont tourner en boucle, la case du milieu qui reste fixe et les quatre autres cases qui tournent en boucle aussi. Les deux boucles de longueurs $4$ correspondent aux deux facteurs $(x^4 + y^4 + z^4)$ dans $S_r$ et la boucle de longueur $1$ (la case qui ne bouge pas) correspond au facteur $(x+y+z)$ .

Voilà ! Maintenant vous pouvez calculer le nombre de cubes dont les faces sont coloriées avec $n$ couleurs, modulo rotations du cube, comme un polynôme en $n$ . Ce théorème a plein d’applications, notamment en chimie pour compter des nombres de molécules d’après ce qu’il se dit.

16/12/20 à 23h20

+2 -0

melepe, mardi 29 décembre 2020 à 21h42

@La Vir, gule, j’essaie de comprendre tes séries génératrices.

Se est assez simple, une case ne peut contenir que une croix, un rond ou rien. On a neuf cases donc puissance neuf.
Sr stipule que par invariance de rotation, les quatre coins sont identiques $(x^4 + y^4 + z^4)$ , on fait pareil pour les milieux (même polynôme, donc mise au carré) et enfin la case centrale est intouchée.
Sr2, chaque coin est identique à l’opposé diagonal et chaque milieu de côté est identique à son opposé. Chacun de ces termes donne un facteur $(x^2 + y^2 + z^2)$ et il y en a quatre (deux pour les coins, deux pour les côtés). Pareil, le milieu reste intouché.
Sm : dans une symétrie miroir, trois cases ne bougent pas et il n’y a donc pas de contraintes dessus (les trois cases où passe l’axe de réflexion). C’est le terme $(x + y+ z)^3$ . Le terme $(x^2 + y^2 + z^2)$ correspond aux invariances dues à la symétrie, qui affectent trois paires de cases.

Jusque-là, ça va à peu près. Par contre je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi tu rajoutes un facteur 1/8 à P (tu as dit que c’est le nombre de transformations et j’observe que ça donne un polynôme unitaire donc j’imagine que c’est lié).

La valuation à z=1, j’ai du mal aussi. Je ne me souviens pas bien des séries génératrices à plusieurs variables, qu’est-ce que ça veut dire au final ?

Et dernière question, d’où vient le nombre de 850 ?

De mémoire, le coefficient devant un monôme indique le nombre de configurations qui mènent à cet état, ce qui veut dire qu’en retirant les symétries, il ne reste que 23 grilles de morpion complètes (5 croix et 4 ronds). Marrant.

29/12/20 à 21h42

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anonyme, samedi 09 janvier 2021 à 22h32
Modifié

@melepe Bonsoir.

Et dernière question, d’où vient le nombre de 850 ?

Là le plus simple est de juste ajouter les coefficients de $x$ , de $xy$ , de $x^2y$ , etc. jusqu’à $x^5y^4$ . C’est le nombre total de plateaux.

La valuation à z=1, j’ai du mal aussi. Je ne me souviens pas bien des séries génératrices à plusieurs variables, qu’est-ce que ça veut dire au final ?

Dans le calcul que j’avais mis au-dessus, le $z$ compte pour une case vide mais ça facilite la lecture de supprimer le $z$ en le mettant égal à $1$ et de ne retenir que les nombres de croix et ronds (le nombre de cases vides s’en déduisant).

Par contre je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi tu rajoutes un facteur 1/8 à P (tu as dit que c’est le nombre de transformations et j’observe que ça donne un polynôme unitaire donc j’imagine que c’est lié).

Ce moyennage vient du lemme de Burnside. Voilà un exemple : si on mélange les enfants de $n$ couples uniformément, alors en moyenne exactement un couple se retrouve avec ses enfants de départ. La raison est que chaque couple a une chance sur $n$ de se retrouver avec ses enfants de départ, et par linéarité de l’espérance ça donne une moyenne de $1 = n × 1/n$ . En généralisant on a le lemme de Burnside : si un groupe fini agit sur un ensemble fini, alors le nombre moyen de points fixes d’un élément du groupe compte le nombre d’orbites de l’action. En appliquant ça coefficient par coefficient dans les séries génératrices, on a le théorème de Polya !

Je ne sais pas si c’est très convainquant mais c’est la raison en restant un peu imprécis.

09/01/21 à 22h32
Modifié

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melepe, samedi 09 janvier 2021 à 23h04

Très clair, merci !

09/01/21 à 23h04

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