Derniers messages sur Zeste de Savoirhttps://zestedesavoir.com/forums/2016-05-08T19:17:15+02:00Les derniers messages parus sur le forum de Zeste de Savoir.Preuve vérification multiplication, message #1090822016-05-08T19:17:15+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/6008/preuve-verification-multiplication/?page=1#p109082<p>Pour faire le tour complet de la question, la page wikipedia sur la preuve par 9 est très bien faite. Elle aborde en particulier la preuve par 11, qui s'appuie sur les mêmes notions.</p>
<p>Ce que tu peux aussi faire, c'est en parler avec tes grands-parents. A priori, ils te diront qu'à leur époque, un élève de CM2 qui ne connaissait pas cette preuve par 9 était un élève 'condamné'.</p>Preuve vérification multiplication, message #1089192016-05-07T13:59:49+02:00Lucas-84/@Lucas-84https://zestedesavoir.com/forums/sujet/6008/preuve-verification-multiplication/?page=1#p108919<p>Salut,</p>
<p>Vu les deux posts ci-dessus, je poste quand même – en secret.</p>
<div class="spoiler">
<p>C'est une condition nécessaire et c'est de la division euclidienne par 9 : <span>$n \equiv s(n)[9]$</span> où <span>$s(n)$</span> est la somme des chiffres de <span>$n$</span> en base 10 (en effet si <span>$n=\Sigma_{i=0}^{r}b_i 10^i$</span> avec <span>$b_i \in \{0, \ldots, 9\}$</span>, alors <span>$n \equiv \Sigma_{i=0}^{r}b_i [9]$</span>). On peut itérer et recommencer avec <span>$\Sigma_{i=0}^{r}b_i$</span>. On prend <span>$r(n)$</span> un nombre quelconque obtenu après itération de <span>$s$</span> en <span>$n$</span> (ici, on va prendre <span>$r(n)$</span> de telle manière que <span>$r(n) \in \{0, \ldots, 9\}$</span>). Alors : <span>$r(n) \equiv n [9]$</span>. Retenons qu'en itérant l'opération « faire la somme des chiffres », on reste congru au nombre de départ modulo 9.</p>
<p>Donc si <span>$n$</span> et <span>$m$</span> sont deux entiers <span>$\ge 1$</span>, alors <span>$r(nm) \equiv nm \equiv r(n)r(m) \equiv s(r(n)r(m)) [9]$</span>. Ici, <span>$r(nm)$</span> correspond à l'itération de la somme des chiffres de <span>$53823550$</span> (ie. <span>$4$</span>), <span>$r(n)$</span> est l'itération de la somme des chiffres de <span>$97861$</span> (ie. 4), <span>$r(m)$</span> est l'itération de la somme des chiffres de <span>$550$</span> (ie. 1) et <span>$s(r(n)r(m))$</span> est la somme des chiffres de leur produit (ie. <span>$4 \times 1 = 4$</span>, on reprend <span>$s$</span> pour éviter les cas où on dépasserait <span>$10$</span>).</p>
<p>Comme on s'est débrouillé pour ne travailler in fine qu'avec des entiers, <span>$r(nm)$</span> et <span>$s(r(n)r(m))$</span>, qui sont dans <span>$\{1, \ldots, 9\}$</span> : être congru modulo 9 signifie qu'on est égal.</p>
</div>Preuve vérification multiplication, message #1089152016-05-07T13:34:35+02:00Rockaround/@Rockaroundhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/6008/preuve-verification-multiplication/?page=1#p108915<p>Ce qui peut être intéressant pour une preuve, c'est de remarquer que la somme des chiffres d'un nombre telle que définie ici est équivalente à prendre ce nombre modulo 9 (ça se démontre facilement en prenant l'écriture d'un nombre sous la forme d'une somme de puissance de 10).</p>
<p>Du coup, ce qu'il reste à démontrer, c'est que (xy)%9=((x%9)(y%9))%9, qui devrait paraître plus facile que la question initiale.</p>
<p>Edit : Elegance dit la même chose, je poste quand même.</p>Preuve vérification multiplication, message #1089142016-05-07T13:30:27+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/6008/preuve-verification-multiplication/?page=1#p108914<p>C'est une condition nécessaire, mais pas suffisante. Ca s'appelle la preuve par 9.</p>
<p>La preuve que cette condition n'est pas suffisante, elle est évidente. Par exemple, si je dis que 1*1 = 10 … et que je vérifie avec cette règle, cette règle me dit que oui, mon calcul peut être juste, alors qu'il est visiblement faux..</p>
<p>Pour prouver que c'est une condition nécessaire, il faut connaître les notions de modulo, et faire les calculs modulo 9.</p>Preuve vérification multiplication, message #1089132016-05-07T13:19:21+02:00Gabbro/@Gabbrohttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/6008/preuve-verification-multiplication/?page=1#p108913<blockquote>
<p>suffisante</p>
</blockquote>
<p>Non. La somme des chiffres de 400 est bien 4, mais 97861∗550≠400.</p>
<blockquote>
<p>nécessaire</p>
</blockquote>
<p>C'est pas impossible, mais je n'arrive pas à le démontrer spontanément.</p>Preuve vérification multiplication, message #1089112016-05-07T13:03:49+02:00hobi1/@hobi1https://zestedesavoir.com/forums/sujet/6008/preuve-verification-multiplication/?page=1#p108911<p>Bonjour, je suis élève en prépa PCSI, et ma petite soeur, en CE2 m'assure savoir si elle se trompe dans une multiplication, un exemple pour expliquer :</p>
<p><span>$97861*550=53823550$</span></p>
<p>en faisant la somme des chiffres des facteurs:</p>
<p><span>$9+7+8+6+1=31$</span> => <span>$3+1=4$</span></p>
<p><span>$5+5+0=10$</span> => <span>$1+0=1$</span></p>
<p>en multipliant les deux chiffres obtenue on obtient celle du résultat : (4*1=4)</p>
<p><span>$5+3+8+2+3+5+5+0=31$</span> => <span>$3+1=4$</span></p>
<p>Elle m'assure que sinon , on s'est trompé. </p>
<div class="question ico-after">
<ol>
<li>Quelqu'un a t-il une preuve a proposée ? </li>
<li>Est-ce bien une condition nécessaire et suffisante ?</li>
</ol>
</div>