Derniers messages sur Zeste de Savoirhttps://zestedesavoir.com/forums/2023-09-20T17:20:36+02:00Les derniers messages parus sur le forum de Zeste de Savoir.Python suite de Fibonacci, message #2521922023-09-20T17:20:36+02:00Arius/@Ariushttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252192<p>Malgré le léger déterrage, veillez à ne pas trop faire dévier le sujet svp (libre à vous de créer un sujet sur la pédagogie en illustrant par cet exemple). <img src="/static/smileys/svg/smile.svg" alt=":)" class="smiley"></p>Python suite de Fibonacci, message #2521912023-09-20T16:39:50+02:00MichelBillaud/@MichelBillaudhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252191<figure><blockquote>
<p> Le pire qui me revienne à l’esprit, c’était un cours sur les SGBD, dans lequel on a appris toutes les formes normales, les calculs de complexité, de temps de réponse et de consommation de ressources… mais dans lequel il n’a <em>jamais</em> été question ni de l’utilité d’un SGBD, ni de la moindre requête SQL réelle.</p>
</blockquote><figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252188">SpaceFox</a></figcaption></figure>
<p>Comment, on ne vous pas montré l’équivalence entre le modèle relationnel et le modèle algébrique (où les opérations sont des combinaisons de projections, sélections etc) ? Ni la complétude des axiomes d’Armstrong ? <img src="/static/smileys/svg/magicien.svg" alt=":magicien:" class="smiley"> </p>
<p>Pour revenir là dessus</p>
<blockquote>
<p>Sauf qu’encore une fois, je suis convaincu qu’il ne faut pas attendre d’avoir vu les bases de données, l’API UNIX, ou je ne sais quoi d’autre pour expliquer un truc aussi simple que la récursivité.</p>
</blockquote>
<p>Mais j’en suis également convaincu. Le point que que soulignais, c’est que c’est souvent très mal fait à cause du choix des exemples qui sont des repoussoirs plutôt que des motivations alléchantes dont on imagine facilement qu’elles apportent des solutions évidentes à des problèmes courants. Entre l’intention (louable) et la réalisation, il y a de la marge.</p>
<p>Pour ne pas faire une fixette sur fac, fib et ack, on peut aussi taper "exercice récursivité" sous google et constater (en soupirant) qu’on trouve hélas "calculer la taille (ou la somme) d’un tableau", "tester si un entier positif est pair", … toutes choses que le débutant, sans y trouver d’intérêt, sait déjà faire autrement.</p>Python suite de Fibonacci, message #2521882023-09-20T15:46:55+02:00SpaceFox/@SpaceFoxhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252188<p>Dans mes études, j’ai eu ces deux types de profs :</p>
<ul>
<li>Ceux qui enseignaient en mode <em>« Aujourd’hui on va apprendre la programmation récursive. Ça sert par exemple à calculer la suite de Fibonacci. Voici comment on calcule cette suite de façon récursive… »</em></li>
<li>Ceux qui enseignaient en mode <em>« Aujourd’hui on va apprendre la programmation récursive. Ça sert à [plein d’exemples concrets ici]. Pour le premier exemple j’ai besoin d’un cas simple, alors on va prendre la suite de Fibonacci, en plus on peut facilement vérifier si ça fonctionne bien ou pas. Voici comment on peut faire… »</em>.</li>
</ul>
<p>Ça ne change à peu près <strong>rien</strong> à la suite du cours ; pourtant, la seconde façon de faire est <em>beaucoup</em> plus intéressante. Et pourtant il y avait des profs complètement coincés dans la première, pour lesquels tout n’était que pure théorie, sans jamais aucune application pratique. Le pire qui me revienne à l’esprit, c’était un cours sur les SGBD, dans lequel on a appris toutes les formes normales, les calculs de complexité, de temps de réponse et de consommation de ressources… mais dans lequel il n’a <em>jamais</em> été question ni de l’utilité d’un SGBD, ni de la moindre requête SQL réelle.</p>Python suite de Fibonacci, message #2521862023-09-20T15:36:40+02:00pierre_24/@pierre_24https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252186<p>J’ai l’impression que tu insiste sur le côté "pratique" de la chose (en gros, tout ce qui est expliqué doit avoir une utilité), là ou je te parle du côté "conceptuel" de la chose (en gros, pour moi, l’exemple est moins important que le concept qu’il y a derrière, donc les exemples artificiels ne me dérangent pas). Je comprend ton point de vue, mais je ne le partage pas.</p>
<blockquote>
<p>Mais dans ce cadre, je voudrais bien que tu me dises quelle est l’utilité spécifique de cette suite.</p>
</blockquote>
<p>Si je ne dis pas de bêtises, il s’agissait d’arbres balancés et des calculs de complexité algorithmiques associés (profondeur maximale, etc). De manière générale, quand tu commence à compter des éléments (feuilles, nœuds, etc) dans ce genre de structure … Ça fini en suite <img src="/static/smileys/svg/langue.svg" alt=":p" class="smiley"></p>
<blockquote>
<p>et pourquoi pas les nombres de Catalan ? Les coefficients de Bernouilli ?</p>
</blockquote>
<p>Encore une fois, j’ai pas dit que Fibonacci était le meilleur exemple, je dis juste que ce n’est pas aussi déconnecté de la réalité que ça n’en a l’air. Par exemple, et puisque tu en parles, regarde la section <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan#Arbres_binaires">arbres binaires</a> de la page Wikipédia sur les nombres de Catalan ! Pour le coup, c’est concret (nombre possible d’arbres binaires, soit une super structure de donnée pour plein de trucs) et ça a des applications assez évidentes.</p>
<p>Le truc, c’est que ce genre de suite, qui ont l’air très artificielles quand elles sont énoncées en terme mathématiques sur leurs pages Wikipédia respectives ou dans tout les bouquins de maths, apparaissent en fait dans plein d’exemple (de dénombrement, en l’occurrence) qui finissent toujours par arriver à des endroits ou on les attend le moins (les bases de données, le <em>machine learning</em>, les problèmes d’optimisation … Des trucs très concrets quoi). Sauf qu’encore une fois, je suis convaincu qu’il ne faut pas attendre d’avoir vu les bases de données, l’API UNIX, ou je ne sais quoi d’autre pour expliquer un truc aussi simple que la récursivité.</p>
<hr>
<p>Bref, je pense qu’on est d’accord de ne pas être d’accord. Je propose qu’on évite de pourrir le <em>topic</em> là dessus <img src="/static/smileys/svg/langue.svg" alt=":p" class="smiley"></p>Python suite de Fibonacci, message #2521842023-09-20T15:16:44+02:00MichelBillaud/@MichelBillaudhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252184<p>Soyons brefs</p>
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<p>Pour toutes ces raisons, j’ai l’impression que tu t’acharne sur la suite de Fibonacci comme étant un mauvais exemple, pas du tout motivant, </p>
</blockquote>
<p>Il se trouve que c’est le sujet. Que j’ai un peu élargi à la manière habituelle d’aborder la récursivité avec les débutants (ce qui fut en partie mon job en IUT pendant 37 ans, en gros)</p>
<blockquote>
<p> Néanmoins, l’exemple que tu donne (les systèmes de fichier) démontre bien ce que je dit dans mon message précédent: la quantité de notions que tu dois aborder avant de pouvoir dérouler ton exemple (ici, essentiellement l’API de fichier UNIX1) est, je pense, démesurée par rapports aux objectifs du cours, qui sont généralement d’apprendre l’algorithmique</p>
</blockquote>
<ul>
<li>Pas spécifiquement l’API Unix, on peut dire ça de tout machin qui se modélise par des termes.</li>
<li>ceci dit, j’enseignais à des gens qui étaient censés aller bosser ensuite, donc c’était préférable d’ancrer fermement les concepts dans des situations concrètes.</li>
<li>si la partie "programmation récursive" n’est pas applicable aux vrais problèmes qui se posent aux débutants au moment où c’est abordé, c’est que ce n’est pas le moment de l’aborder. Et que ça risque d’être plus un obstacle à la compréhension du reste (on ne peut pas être au four et au moulin, ni gaspiller des heures qui sont en nombre forcément limité, etc ). Mais bon, au moment des tris de tableaux, on a certainement des occasions.</li>
</ul>
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<p> je tiens à rappeler que cette fameuse suite de Fibonacci ne sert pas à rien </p>
</blockquote>
<p>Certes, tout ce qui existe a certainement une utilité quelque part. Mais dans ce cadre, je voudrais bien que tu me dises quelle est l’utilité spécifique de cette suite. et pourquoi pas les nombres de Catalan ? Les coefficients de Bernouilli ?</p>Python suite de Fibonacci, message #2521832023-09-20T14:36:46+02:00pierre_24/@pierre_24https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252183<p>Je pense qu’il y a plusieurs points sur lesquels ont est pas d’accord.</p>
<p>Premièrement, la pédagogie. Pour moi, la pédagogie, c’est pas cacher la difficulté sous le tapis. En l’occurrence, aucune approche (impératif, récursif, fonctionnel, que sais-je) n’est LA réponse, puisque ça dépend du problème: comme tu le dis très bien, certains problèmes se traitent très bien en récursif, d’autre moins. Donc pour moi, présenter les différentes approches en pointant leurs forces et leurs faiblesses, c’est pas <em>se casser la baraque tout seul en montrant que le truc qu’on enseigne, ça fait pas le boulot</em>, c’est plutôt ouvrir les yeux de l’étudiant sur le fait que l’approche en question a ses limites (et si le prof est malin, il aura également parlé des limites d’une approche impérative).</p>
<p>Deuxièmement, les exemples motivants. Je ne nie pas qu’appliquer l’approche récursive à un truc plus sexy que ce bon vieux <code>fibo()</code> peut être plus motivant pour les étudiants. Néanmoins, l’exemple que tu donne (les systèmes de fichier) démontre bien ce que je dit dans mon message précédent: la quantité de notions que tu dois aborder avant de pouvoir dérouler ton exemple (ici, essentiellement l’API de fichier UNIX<sup id="fnref-1-PPQjCnl_S"><a href="#fn-1-PPQjCnl_S" class="footnote-ref">1</a></sup>) est, je pense, démesurée par rapports aux objectifs du cours, qui sont généralement d’apprendre l’algorithmique. Encore une fois, et sans prétendre que <code>fibo()</code> est le meilleur exemple pour ça, je pense que sont avantage est d’être extrêmement simple à expliquer, ce qui permet de passer du temps sur le but du cours: l’algorithmique.</p>
<p>Troisièmement, "les maths". J’entends très bien que les maths, c’est pas le délire de tout le monde. Sauf que c’est encore une fois oublier l’objectif du cours. Me concernant, le contexte sous-jacent, c’était le cours d’algorithmique, donc d’une part la complexité algorithmique de telles approches, et d’autre par la preuve de programme. Dans les deux cas, c’est triste à dire, mais ça s’explique plus facilement en manipulant des nombres (et à fortiori des entiers). Je ne pense donc pas que <em>[les profs] qui ramènent "par facilité" la récursivité à la récurrence dans N</em> le font par plaisir, sadisme ou je ne sais quoi d’autre, mais au contraire pour commencer par des exemples "simples" dont les preuves sont faciles à comprendre.<sup id="fnref-2-PPQjCnl_S"><a href="#fn-2-PPQjCnl_S" class="footnote-ref">2</a></sup> Par ailleurs, tu noteras que pour en arriver à la conclusion que Fibonacci possède une solution en temps constant (impliquant, donc, le nombre d’or), il faut en faire, des maths <img src="/static/smileys/svg/langue.svg" alt=":p" class="smiley"></p>
<p>Pour toutes ces raisons, j’ai l’impression que tu t’acharne sur la suite de Fibonacci comme étant un mauvais exemple, pas du tout motivant, déconnecté de la réalité, etc là ou le but de ceux qui utilise cette suite est totalement différent (ça n’est pas fait pour être motivant, c’est fait pour être simple et qu’on puisse se concentrer sur autre chose, genre, par exemple, le cours<sup id="fnref-3-PPQjCnl_S"><a href="#fn-3-PPQjCnl_S" class="footnote-ref">3</a></sup>).</p>
<p>PS: à toutes fins utiles, je tiens à rappeler que cette fameuse suite de Fibonacci ne sert pas à rien et apparait, par exemple, à différents endroits quand on s’amuse à jouer avec des arbres. Donc, et en étant un peu taquin, je pourrai dire que même l’exemple du système de fichier (qui, quand on le regarde en clignant un peu des yeux, est un arbre) est un mauvais exemple <img src="/static/smileys/svg/clin.svg" alt=";)" class="smiley"></p>
<div class="footnotes">
<hr>
<ol>
<li id="fn-1-PPQjCnl_S">Ce qui, ont est bien d’accord, n’a rien de compliqué, mais ce n’est pas l’objectif du cours.<a href="#fnref-1-PPQjCnl_S" class="footnote-backref" title="Retourner au texte de la note 1">↩</a></li>
<li id="fn-2-PPQjCnl_S">Ne t’inquiète pas, on a joué avec des chaines de caractères après.<a href="#fnref-2-PPQjCnl_S" class="footnote-backref" title="Retourner au texte de la note 2">↩</a></li>
<li id="fn-3-PPQjCnl_S">J’insiste sur ce point parce que dans la réalité, le nombre d’heure est limité et le programme énorme, donc certains choix qui peuvent passer pour de la facilité sont en fait des choix pour gagner du temps sur le programme!<a href="#fnref-3-PPQjCnl_S" class="footnote-backref" title="Retourner au texte de la note 3">↩</a></li>
</ol>
</div>Python suite de Fibonacci, message #2521822023-09-20T11:59:19+02:00MichelBillaud/@MichelBillaudhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252182<p>Je n’ai pas l’impression que tu aies compris de quoi je parlais. Je ne dis pas que la fonction factorielle ou fibonacci soit difficile à coder récursivement. Au contraire.</p>
<p>Je dis que quand elle arrive dans un cours de programmation comme exercice de programmation récursive <em>après avoir servi d’exemple pour la programmation impérative</em>, ça fait un gros bide, pour les raisons indiquées. Parce qu’à ce moment-là, les apprenants ne veulent se lancer dans de nouveaux trucs uniquement quasi ça leur permet de faire des trucs nouveaux qu’ils ne voient pas comment faire (facilement) autrement. </p>
<p>Un bon exemple ça serait explorer un répertoire. Récursivement c’est très facile, avec des boucles faudrait gérer une pile, on n’est pas sorti de l’auberge surtout quand on n’a pas encore abordé la notion de pile <img src="/static/smileys/svg/hihi.svg" alt="^^" class="smiley"> .</p>
<p>D’où la question, pourquoi on ne dégaine pas plus souvent cet exemple ? Une explication, c’est le background souvent matheux de ceux qui enseignent, qui ramènent "par facilité" la récursivité à la récurrence dans N. Parler de fichiers et de répertoires, ça voudrait dire sortir de ce cadre, parler de l’API des système de fichiers, par exemple. </p>
<p>Il y a très longtemps, les cours de Prolog prenaient comme exemple l’arithmétique de Peano, on programmait les opérations arithmétiques sur des termes construits comme successeurs de 0. C’est très amusant quand on est enclin à ce genre de trucs. Pour les autres, la conclusion, c’est que Prolog était un langage tordu où c’est le bordel pour faire des calculs. Conclusion certes hâtive et erronée, mais clairement c’était l’impression laissée à la majorité.</p>
<p>En plus si c’est pour profiter de l’initiation à la programmation récursive pour venir exposer les les emmerdements éventuels qui sont de fait communs à toute programmation (temps de calcul, débordement de pile etc), si ça s’appelle pas se tirer une balle dans le pied pour la pédagogie ?</p>
<p>Je pense que tu devrais prendre la peine d’expliquer les autres raisons qui font que mon argumentaire serait tout pété, parce là "on prend fibonacci parce que c’est un exemple simple, et que pédagogiquement les nombres sont plus finis avec des calculs récursifs qu’avec d’autres", c’est pas convaincant.</p>Python suite de Fibonacci, message #2520482023-09-12T13:22:58+02:00pierre_24/@pierre_24https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=2#p252048<p>Ton argumentaire est pêté pour plein de raison, mais je ne vais m’attarder que sur une:</p>
<blockquote>
<p> concrètement personne n’a rien à péter de cette fonction</p>
</blockquote>
<p>En effet, pas plus que la fonction d’Ackerman pour ce que ça vaut. </p>
<p>Par contre, l’avantage d’une telle fonction (au delà du fait, qu’en vrai, elle a des applications !) c’est qu’elle est facile à comprendre, simple à coder et qu’il est relativement facile de comprendre comment l’améliorer. Même ce que tu défini comme une faiblesse (ça marche pas pour les "grandes" valeurs, temps de calcul exponentiel) est pédagogiquement intéressant (puisque ça permet de rappeler qu’un ordinateur fonctionne avec des nombres de taille finie, et que oui, les grands principes généraux, ça reste du cas par cas). Les fameux "exemples motivant", c’est génial, mais pour des raisons de temps, tu te retrouve toujours à simplifier le problème à l’extrême, ce qui fait que ça n’a plus grand chose à voir avec la réalité et que pour le coup, Fibonacci fera tout aussi bien. </p>
<p>Pour prendre un cas similaire, c’est comme si, dans un cours dédié aux compilateurs, bah tu vois comment traiter une expression mathématique en ne voyant que comment gérer l’addition et la multiplication: ça sert à rien (erreur 1), aucune raison d’apprendre à faire autrement (erreur 2) et en vrai c’est probablement pas géré par des véritables compilateurs qui doivent utiliser des règles autrement plus complexes pour gérer les autres opérations, les parenthèses, etc (erreur 3) <img src="/static/smileys/svg/clin.svg" alt=";)" class="smiley"></p>Python suite de Fibonacci, message #2520332023-09-11T11:15:29+02:00MichelBillaud/@MichelBillaudhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=1#p252033<p>Au passage, on peut aussi faire récursivement le calcul de fib(n) en temps <strong>logarithmique</strong> (contre exponentiel par la méthode stupide consistant à traduire directement la définition). Ce qui est bien meilleur que la version itérative naïve, qui est linéaire.</p>
<p>L’idée de base, c’est que si on connaît <em>x = fib(n)</em> et <em>y = fib(n+1)</em>, on peut en tirer <em>fib(2n)</em> et <em>fib(2n+1)</em>. </p>
<p>Exercice : trouver les formules, qui dérivent du problème "calculer la puissance n-ieme de la matrice du message ci-dessus"</p>
<p>La conclusion, c’est que la programmation récursive ne donne pas <em>par essence</em> des programmes moins efficaces. Faut juste pas faire n’importe quoi avec, comme la programmation itérative.</p>
<p>Le problème c’est la manière souvent débile d’enseigner la récursivité :</p>
<ol>
<li>commencer par factorielle,</li>
</ol>
<ul>
<li>1.a concrètement personne n’a rien à péter de cette fonction. Erreur 1: faut donner des exemples motivants.</li>
<li>1.b dont la programmation itérative ne pose pas aucun problème, et est donc considérée comme la manière naturelle de faire (le produit des nombres de 1 à n => hop on fait une boucle de 1 à n). Erreur 2: aucune raison de se casser le cul à apprendre à faire autrement que ce qu’on sait déjà très bien faire</li>
</ul>
<ol start="2">
<li>Continuer par fibonacci naïf</li>
</ol>
<ul>
<li>2.a Tout le monde s’en fout de fibonacci (erreur 1 again)</li>
<li>2.b on l’a déjà fait en itératif (erreur 2 again)</li>
<li>2.c ça marche pas pour les "grandes" valeurs, temps de calcul exponentiel. Erreur 3 : se casser la baraque tout seul en montrant que le truc qu’on enseigne, ça fait pas le boulot.</li>
</ul>
<p>On y rajoutera "oui mais quand ça marche, ça explose la pile", avec la fonction d’Ackerman.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514512023-07-22T13:03:34+02:00entwanne/@entwannehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251451<p>Ah oui pardon, je ne pensais pas à ce cas : j’oubliais que <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = ...</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.10556em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">.</span><span class="mord">.</span><span class="mord">.</span></span></span></span></span> ne définissait pas la valeur de <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514482023-07-22T09:59:09+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251448<p>NON, 1000 fois NON.</p>
<p>Si <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span>, la suite est constante <strong>à partir de</strong> <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, mais <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> est éventuellement différent de tous les autres termes, et donc la suite n’est pas constante (ni géométrique).</p>
<p>La suite définie par <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>10</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_0=10</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mord">0</span></span></span></span></span> et <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>×</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>5</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1}=0 \times u_n+5</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord">0</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">5</span></span></span></span></span> n’est pas une suite constante, ni une suite géométrique.</p>
<p>Je sais que je chipote à cause d’un seul terme, alors que la suite est infinie, mais les maths, c’est la précision et la rigueur. Relis mon premier message, j’avais fait la même erreur, puis j’ai ajouté un édit. Et c’est même ton premier message qui m’a inspiré cette correction !</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514472023-07-22T09:19:00+02:00entwanne/@entwannehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251447<figure><blockquote>
<p>Dans un premier temps, tu disais : si a=0, et b quelconque (et sous-entendu u<sub>0</sub> quelconque), la suite est géométrique. C’est faux.</p>
</blockquote><figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251438">elegance</a></figcaption></figure>
<p>Pourquoi ?</p>
<p>Si la suite est définie comme <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = a \times u_n + b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.66666em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span> et que a vaut zéro, la suite devient alors <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span>, soit une suite constante… donc géométrique de premier terme <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_0 = b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span>.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514382023-07-21T22:18:15+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251438<p>Notre suite est définie par une relation de récurrence (cf premier message), et par son premier terme (ce n’est pas dit explicitement dans le premier message, mais c’est obligatoire).</p>
<p>Donc u<sub>0</sub>, a et b sont nos inconnues. </p>
<p>A quelles conditions sur u<sub>0</sub>, a et b a-t-on une suite géométrique ?</p>
<p>C’est cette question à laquelle on doit répondre, pas une autre question.</p>
<p>Dans un premier temps, tu disais : si a=0, et b quelconque (et sous-entendu u<sub>0</sub> quelconque), la suite est géométrique. C’est faux.</p>
<p>Maintenant, tu dis : si pour tout n, u<sub>n</sub>=b/(1-a) alors la suite est géométrique. C’est exact.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514272023-07-21T18:04:05+02:00ache/@achehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251427<figure><blockquote>
<p><a href="/@ache" rel="nofollow" class="ping ping-link">@<span class="ping-username">ache</span></a>,
Non, pas tout à fait, j’ai fait la même erreur que toi au début.</p>
<p>La suite u<sub>0</sub>=2, u<sub>n</sub>=1 pour n>0 n’est pas une suite géométrique, et c’est celle obtenue avec a=0, b=1 et u<sub>0</sub>=2</p>
<p>Il faut ajouter la contrainte u<sub>0</sub>=b</p>
</blockquote><figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251420">elegance</a></figcaption></figure>
<p>Je ne comprends pas ton point. <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>n</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>U</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\forall n, U_n = \frac{b}{1 - a}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord">∀</span><span class="mord mathdefault">n</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10903em;">U</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.10903em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.283439em;vertical-align:-0.403331em;"></span><span class="mord"><span class="mopen nulldelimiter"></span><span class="mfrac"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8801079999999999em;"><span style="top:-2.655em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">1</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mathdefault mtight">a</span></span></span></span><span style="top:-3.23em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="frac-line" style="border-bottom-width:0.04em;"></span></span><span style="top:-3.394em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">b</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.403331em;"><span></span></span></span></span></span><span class="mclose nulldelimiter"></span></span></span></span></span></span> donc oui. Pour <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span> on a <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_0=b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span>, tout comme <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_1 = b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span>. Où bloques-tu ?</p>
<p><a href="/@entwanne" rel="nofollow" class="ping ping-link">@<span class="ping-username">entwanne</span></a>: Ah pardon. Si tu l’avais vu, il n’y pas de problème, effectivement ta question est intéressante du coup.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514222023-07-21T13:41:53+02:00entwanne/@entwannehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251422<figure><blockquote>
<p><a href="/@entwanne" rel="nofollow" class="ping ping-link">@<span class="ping-username">entwanne</span></a>: Techniquement, tu peux prendre <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span> et n’importe quel b.</p>
</blockquote><figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251418">ache</a></figcaption></figure>
<p>Oui mais ce cas est évident. Je pense que la question était plutôt de savoir comment reconnaître les suites géométriques (si tant est qu’elles en soient, puisque ce n’est qu’un cas particulier pour un premier terme) quand elles ne sont pas présentées sous cette forme.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514202023-07-21T13:27:27+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251420<p><a href="/@ache" rel="nofollow" class="ping ping-link">@<span class="ping-username">ache</span></a>,
Non, pas tout à fait, j’ai fait la même erreur que toi au début.</p>
<p>La suite u<sub>0</sub>=2, u<sub>n</sub>=1 pour n>0 n’est pas une suite géométrique, et c’est celle obtenue avec a=0, b=1 et u<sub>0</sub>=2</p>
<p>Il faut ajouter la contrainte u<sub>0</sub>=b</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514182023-07-21T12:27:59+02:00ache/@achehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251418<p>Ton raisonnement est bon mais la présentation peut-être améliorée.</p>
<p><a href="/@entwanne" rel="nofollow" class="ping ping-link">@<span class="ping-username">entwanne</span></a>: Techniquement, tu peux prendre <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span> et n’importe quel b.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514152023-07-21T09:25:01+02:00entwanne/@entwannehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251415<p>Non le cas qu’il présente est celui d’une suite constante (donc géométrique).<br>
Par exemple la suite <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = 2 \times u_n + 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span></span> de premier terme -2, parce que ça revient à écrire <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = u_{n}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (pour le cas précis où le premier terme est -2).</p>
<p>La question que je me pose c’est si le premier terme entre vraiment dans la détermination de la « géométricité » d’une suite. Puisque dans le cas général (<span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∀</mi><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\forall u_0 \in \mathbb R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.84444em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord">∀</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.68889em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathbb">R</span></span></span></span></span>) la suite <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = 2 \times u_n + 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span></span> n’est pas géométrique.<br>
C’est seulement lorsqu’elle est équivalente à <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = u_{n}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (donc quand <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_0 = -2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30110799999999993em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord">2</span></span></span></span></span>) qu’elle le devient. <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = u_{n}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> étant une suite géométrique quel que soit son premier terme.</p>
<p>La réponse est peut-être du côté du <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique#Terme_g%C3%A9n%C3%A9ral">terme général de la suite arithmético-géométrique</a> où l’on retrouve le b/(1-a) et qui permet donc d’identifier facilement dans quel cas la suite est constante et dans quels cas elle ne l’est pas.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514142023-07-21T09:02:24+02:00elegance/@elegancehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251414<p>Oui, mais finis ton raisonnement. Normalement, tu dois arriver à la conclusion : la suite est une suite géométrique si b=0 ou a=0.</p>
<p>Edit : effectivement, a=0 ne suffit pas tout à fait, il faut en plus que b=u0.</p>Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?, message #2514102023-07-20T22:27:42+02:00Loulimi/@Loulimihttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/17060/comment-prouver-lunicite-dune-suite-geometrique/?page=1#p251410<p>Je lisais le chapitre sur les suites arithmético-géométriques et leur étude. Je me suis alors posé la question assez basique de savoir sous quelle condition une telle suite était géométrique. Bien sûr, pour une suite <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} = a u_n + b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span>, celle ayant <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span></span></span></span></span> pour raison et <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span> nul est évidente, mais je voulais démontrer que c’était bien la seule (ce qui n’est au final apparemment pas le cas).</p>
<p>J’ai donc abouti à la démonstration suivante. Est-elle correcte ?</p>
<p>Soit <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="double-struck">K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbb K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.68889em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathbb">K</span></span></span></span></span> l’ensemble <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="double-struck">R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbb R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.68889em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathbb">R</span></span></span></span></span> ou bien <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="double-struck">C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbb C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.68889em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathbb">C</span></span></span></span></span>.</p>
<p>Soit <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">u</span></span></span></span></span> une suite arithmético-géométrique, c’est-à-dire vérifiant : <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">N</mi><mspace width="1em"></mspace><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\forall n \in \mathbb N \quad u_{n+1} = a u_n + b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73354em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">∀</span><span class="mord mathdefault">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.897221em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord mathbb">N</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span> avec <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a \neq 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.69444em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="inner"><span class="mrel"></span></span><span class="fix"></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.19444em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span> et <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span> deux éléments de <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="double-struck">K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbb K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.68889em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathbb">K</span></span></span></span></span> fixés.</p>
<p><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">u</span></span></span></span></span> est une suite géométrique si, et seulement si:</p>
<div class="math math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∃</mi><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">K</mi><mspace width="1em"></mspace><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">N</mi><mspace width="1em"></mspace><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mtext> </mtext><mo>⟺</mo><mtext> </mtext><mi>q</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\exists q \in \mathbb K \quad \forall n \in \mathbb N \quad u_{n+1} = q u_n \iff q u_n = a u_n + b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord">∃</span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73354em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathbb">K</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord">∀</span><span class="mord mathdefault">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.897221em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord mathbb">N</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7194400000000001em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">⟺</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span></div>
<p>Si <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span>, alors <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">u</span></span></span></span></span> est bien évidemment une suite géométrique. On prouve alors facilement que sa raison est soit <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span></span></span></span></span>, soit tout élément de <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="double-struck">K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbb K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.68889em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathbb">K</span></span></span></span></span> si <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">N</mi><mspace width="1em"></mspace><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\forall n \in \mathbb N \quad u_n = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73354em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">∀</span><span class="mord mathdefault">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.83889em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord mathbb">N</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span>.</p>
<p>Si <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b \neq 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.69444em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="inner"><span class="mrel"></span></span><span class="fix"></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.19444em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span>, <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">u</span></span></span></span></span> est géométrique si, et seulement si :</p>
<p><span class="math math-inline math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∃</mi><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">K</mi><mspace width="1em"></mspace><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="double-struck">N</mi><mspace width="1em"></mspace><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\exists q \in \mathbb K \quad \forall n \in \mathbb N \quad u_{n+1} = q u_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord">∃</span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73354em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathbb">K</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord">∀</span><span class="mord mathdefault">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.897221em;vertical-align:-0.208331em;"></span><span class="mord mathbb">N</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>
<span class="math math-inline math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext> </mtext><mo>⟺</mo><mtext> </mtext><mi>q</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\iff q u_n = a u_n + b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.549em;vertical-align:-0.024em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">⟺</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.73333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span></span></span>
<span class="math math-inline math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext> </mtext><mo>⟺</mo><mtext> </mtext><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi><mspace width="1em"></mspace><mtext>(ce qui prouve que </mtext><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>0</mn><mtext> car </mtext><mi>b</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>0</mn><mtext>)</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\iff u_n(q-a) = b \quad \text{(ce qui prouve que } q - a \neq 0 \text{ car } b \neq 0 \text{)}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.549em;vertical-align:-0.024em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">⟺</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span><span class="mspace" style="margin-right:1em;"></span><span class="mord text"><span class="mord">(ce qui prouve que </span></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.69444em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="inner"><span class="mrel"></span></span><span class="fix"></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.19444em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord">0</span><span class="mord text"><span class="mord"> car </span></span><span class="mord mathdefault">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.69444em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="inner"><span class="mrel"></span></span><span class="fix"></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.19444em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">0</span><span class="mord text"><span class="mord">)</span></span></span></span></span></span></span>
<span class="math math-inline math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext> </mtext><mo>⟺</mo><mtext> </mtext><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\iff u_n = \frac{b}{q-a}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.549em;vertical-align:-0.024em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">⟺</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:2.25188em;vertical-align:-0.8804400000000001em;"></span><span class="mord"><span class="mopen nulldelimiter"></span><span class="mfrac"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.37144em;"><span style="top:-2.314em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mord mathdefault">a</span></span></span><span style="top:-3.23em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="frac-line" style="border-bottom-width:0.04em;"></span></span><span style="top:-3.677em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">b</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8804400000000001em;"><span></span></span></span></span></span><span class="mclose nulldelimiter"></span></span></span></span></span></span></span></p>
<p>Donc, si <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b \neq 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.69444em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="inner"><span class="mrel"></span></span><span class="fix"></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.19444em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span>, alors <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">u</span></span></span></span></span> est une suite géométrique si, et seulement si, elle est constante (et donc de raison <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">q = 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">q</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span>), et de terme général <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_n = \frac{b}{1-a}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.283439em;vertical-align:-0.403331em;"></span><span class="mord"><span class="mopen nulldelimiter"></span><span class="mfrac"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8801079999999999em;"><span style="top:-2.655em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">1</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mathdefault mtight">a</span></span></span></span><span style="top:-3.23em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="frac-line" style="border-bottom-width:0.04em;"></span></span><span style="top:-3.394em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">b</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.403331em;"><span></span></span></span></span></span><span class="mclose nulldelimiter"></span></span></span></span></span></span>.</p>Python suite de Fibonacci, message #2510222023-06-21T22:45:39+02:00Næ/@N%C3%A6https://zestedesavoir.com/forums/sujet/17010/python-suite-de-fibonacci/?page=1#p251022<p>Pour être un peu exhaustif sur le sujet, comme un entre-deux entre la formule de Binet mentionnée par pierre_24 (et ses éventuels problèmes de précision des flottants), et la méthode itérative qui consiste à faire de l’ordre de <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">n</span></span></span></span></span> opérations pour calculer <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>F</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.83333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.13889em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, il y a une approche naturellement récursive quand même intéressante et exacte, à base d’exponentiation rapide d’une matrice bien choisie<sup>1</sup>, qui permet de descendre vers les <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\log n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mop">lo<span style="margin-right:0.01389em;">g</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="mord mathdefault">n</span></span></span></span></span> opérations (et appels récursifs en l’occurence) pour calculer <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>F</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.83333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em;"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.13889em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. </p>
<p>Je pense que c’est intéressant à mentionner car c’est un principe que tu peux appliquer à la plupart des suites récurrentes linéaires. Et par exemple, si tu veux calculer quelque chose comme <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>F</mi><mrow><mn>202</mn><msup><mn>2</mn><mn>2023</mn></msup></mrow></msub><mspace></mspace><mspace width="0.6666666666666666em"></mspace><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mn>2024</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F_{2022^{2023}} \mod 2024</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.86095em;vertical-align:-0.17762em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3448em;"><span style="top:-2.52238em;margin-left:-0.13889em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">2</span><span class="mord mtight">0</span><span class="mord mtight">2</span><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">2</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7463142857142857em;"><span style="top:-2.786em;margin-right:0.07142857142857144em;"><span class="pstrut" style="height:2.5em;"></span><span class="sizing reset-size3 size1 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">2</span><span class="mord mtight">0</span><span class="mord mtight">2</span><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.17762em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace allowbreak"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.6666666666666666em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathrm">m</span><span class="mord mathrm">o</span><span class="mord mathrm">d</span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord">0</span><span class="mord">2</span><span class="mord">4</span></span></span></span></span>, c’est sans doute l’approche la plus saine (bon j’admets que ça a l’air un peu artificiel comme demande, mais typiquement à la Project Euler ou autre exercice de programmation) <img src="/static/smileys/svg/smile.svg" alt=":)" class="smiley"> </p>
<hr>
<p><sup>1</sup> je te laisse regarder pourquoi ça peut être intéressant de considérer la matrice <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">[</mo><mtable rowspacing="0.15999999999999992em" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>0</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:2.40003em;vertical-align:-0.95003em;"></span><span class="minner"><span class="mopen delimcenter" style="top:0em;"><span class="delimsizing size3">[</span></span><span class="mord"><span class="mtable"><span class="col-align-c"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.45em;"><span style="top:-3.61em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span></span></span><span style="top:-2.4099999999999997em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9500000000000004em;"><span></span></span></span></span></span><span class="arraycolsep" style="width:0.5em;"></span><span class="arraycolsep" style="width:0.5em;"></span><span class="col-align-c"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.45em;"><span style="top:-3.61em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span></span></span><span style="top:-2.4099999999999997em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">0</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9500000000000004em;"><span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose delimcenter" style="top:0em;"><span class="delimsizing size3">]</span></span></span></span></span></span></span> et sa mise à la puissance <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">n</span></span></span></span></span> par exemple <img src="/static/smileys/svg/clin.svg" alt=";)" class="smiley"></p>