Derniers messages sur Zeste de Savoirhttps://zestedesavoir.com/forums/2017-11-08T19:07:17+01:00Les derniers messages parus sur le forum de Zeste de Savoir.Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1660562017-11-08T19:07:17+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p166056<figure>
<blockquote>
<blockquote>
<p>f′(0)=limh→0sin(1/h).
f
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
sin
(
1
/
h
)
.
Ainsi pour affirmer que
f
n’est pas dérivable en 0 il faut montrer que
sin
1
/
h
n’admet pas de limite en 0.</p>
</blockquote>
<p>si tu souhaites tant le faire avec les epsilons, connais tu les suites de Cauchy? Parce que dans ton explication formel avec les epsilon plus haut tu introduis l donc tu supposes déjà que ta suite converge, enfaite c’est jamais très bien d’utiliser cette définition, on l’utilises seulement quand on sait déjà que la suite converge (remplace suite par fonction dans ton cas c’est exactement pareil).</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165718">Würtz</a></figcaption>
</figure>
<p>Non, je connais pas les suites de Cauchy, donc on va pas utiliser la définition ici.</p>
<p>Je vais prouver ce qu’Holosmos m’a proposé et l’utiliser pour conclure. <img alt=":)" src="/static/smileys/smile.png"></p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657232017-11-04T21:15:03+01:00oddocda/@oddocdahttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165723<p>Effectivement la définition que tu veux utiliser pour démontrer qu’il n’y a pas de limite n’est pas la plus efficace ici. </p>
<p>Ce qui marche souvent c’est d’exhiber 2 suites, <span>$ x_n $</span> et <span>$ y_n$</span>, qui tendent toutes les deux vers 0, mais telles que <span>$ \lim \sin \frac{1}{x_n} \ne \lim \sin \frac{1}{y_n} $</span>. Cela assure que ta fonction n’a pas de limite en 0 (sinon les deux suites convergeraient vers la même limite).</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657182017-11-04T19:50:44+01:00Würtz/@W%C3%BCrtzhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165718<blockquote>
<p>f′(0)=limh→0sin(1/h).
f
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
sin
(
1
/
h
)
.
Ainsi pour affirmer que
f
n’est pas dérivable en 0 il faut montrer que
sin
1
/
h
n’admet pas de limite en 0.</p>
</blockquote>
<p>si tu souhaites tant le faire avec les epsilons, connais tu les suites de Cauchy? Parce que dans ton explication formel avec les epsilon plus haut tu introduis l donc tu supposes déjà que ta suite converge, enfaite c’est jamais très bien d’utiliser cette définition, on l’utilises seulement quand on sait déjà que la suite converge (remplace suite par fonction dans ton cas c’est exactement pareil).</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657112017-11-04T18:50:36+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165711<figure>
<blockquote>
<p><span>$\sin(\frac{1}{x})$</span> n’admet pas de limite en 0, mais il n’empêche que c’est un nombre réel que tu peux encadrer.</p>
<p>Tu peux donc facilement calculer la limite en 0 de <span>$x \times \sin(\frac{1}{x})$</span>.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165706">entwanne</a></figcaption>
</figure>
<p>Oui, pour ça il faut dire que <span>$|\sin 1/x| \le 1$</span> et donc <span>$|x\sin 1/x| \le |x|$</span> or la limite en zéro de <span>$|x|$</span> est zéro ainsi <span>$|x\sin 1/x|$</span> tend nécessairement vers zéro et donc <span>$f$</span> est continue.</p>
<p><span>$f$</span> est donc une fonction continue sur <span>$\mathbb{R}$</span> et dont on sait aussi qu’elle est dérivable sur <span>$\mathbb{R}^*$</span>. Toutefois on ne sait pas encore si elle est dérivable en 0 ou non et donc on cherche à le savoir. Avec le calcul de mon message précédent, on a</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$f'(0) = \lim_{h\to 0} \sin (1/h).$$</mathjax></div>
<p>Ainsi pour affirmer que <span>$f$</span> n’est pas dérivable en 0 il faut montrer que <span>$\sin 1/h$</span> n’admet pas de limite en 0.</p>
<figure>
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<blockquote>
<p>Or sin(1/h) ne semble pas admettre de limite en 0 ce que j’essaye de montrer avec la définition epsilon delta de limite.</p>
</blockquote>
<p>Un exercice classique consiste à montrer que si <span>$f$</span> est périodique alors <span>$f$</span> n’admet pas de limite en l’infini sauf si elle est constante. C’est peut-être l’occasion pour toi de t’entrainer là-dessus.</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165709">Holosmos</a></figcaption>
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<p>Oui, ça peut être intéressant. <img alt=":)" src="/static/smileys/smile.png"></p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657092017-11-04T18:40:22+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165709<blockquote>
<p>Or sin(1/h) ne semble pas admettre de limite en 0 ce que j’essaye de montrer avec la définition epsilon delta de limite.</p>
</blockquote>
<p>Un exercice classique consiste à montrer que si <span>$f$</span> est périodique alors <span>$f$</span> n’admet pas de limite en l’infini sauf si elle est constante. C’est peut-être l’occasion pour toi de t’entrainer là-dessus.</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657062017-11-04T18:21:37+01:00entwanne/@entwannehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165706<p><span>$\sin(\frac{1}{x})$</span> n’admet pas de limite en 0, mais il n’empêche que c’est un nombre réel que tu peux encadrer.</p>
<p>Tu peux donc facilement calculer la limite en 0 de <span>$x \times \sin(\frac{1}{x})$</span>.</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657052017-11-04T18:11:54+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165705<figure>
<blockquote>
<p>Il n’existe pas de limite pour <span>$\sin(x)$</span> en l’infini.</p>
<p>En revanche, <span>$x\sin(1/x)$</span> tend bien vers <span>$0$</span> en <span>$0$</span>. (Fais un encadrement de sinus pour t’en convaincre).</p>
</blockquote>
<figcaption><a href="https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165704">Holosmos</a></figcaption>
</figure>
<p>Oui mais pour la dérivée en <span>$0$</span> on a </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\lim_{h\to 0} \frac{(0+h)\sin \left ( \frac{1}{0+h} \right ) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h\sin (1/h)}{h} = \lim_{h\to 0} \sin(1/h)$$</mathjax></div>
<p>Or <span>$\sin(1/h)$</span> ne semble pas admettre de limite en 0 ce que j’essaye de montrer avec la définition epsilon delta de limite.</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657042017-11-04T18:05:10+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165704<p>Il n’existe pas de limite pour <span>$\sin(x)$</span> en l’infini.</p>
<p>En revanche, <span>$x\sin(1/x)$</span> tend bien vers <span>$0$</span> en <span>$0$</span>. (Fais un encadrement de sinus pour t’en convaincre).</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1657022017-11-04T17:32:36+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165702<p>Ok, juste pour la dérivée en 0, on a </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\lim_{h\to 0}\sin{1/h}$$</mathjax></div>
<p>et là il suffirait de dire que la dérivée à gauche est la limite de sinus en moins l’infini et la dérivée à droite la limite en plus l’infini de sinus, or ces deux limites n’existent pas et donc la fonction n’est pas dérivable en 0 ? Ça me parait vraiment étrange. </p>
<p>De plus je me demandais comment montrer l’inexistence de cette limite avec la définition epsilon delta. Puisqu’on a </p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\exists \epsilon > 0, \forall \delta >0, \exists h \in \mathbb{R}^*, (|h|\le \delta \implies |\sin (1/h) - l| \le \epsilon )$$</mathjax></div>
<p>La subtilité semble résider dans le choix d’un epsilon et d’un <span>$h$</span>, j’ai encadrer les valeurs suivantes</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\sin (1/h) \in [-1,1] \\
l \in [-1,1] \\
\sin (1/h) - l \in [-2,2]$$</mathjax></div>
<p>mais ça ne m’a pas beaucoup avancé.</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1656972017-11-04T15:17:04+01:00Würtz/@W%C3%BCrtzhttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165697<p>La dérivabilité et continuité sur R privé de 0 est claire par composé et multiplication.</p>
<p>Par contre le seul problème est en 0.
Il suffit de prouver qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en 0.
Et Pour la dérivabilité en 0, en calculant la limite à droite et la limite à gauche ca devrait être bon.</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1656962017-11-04T14:52:25+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165696<p>Bah en dehors de 0 ça n’est jamais que le produit de deux fonctions dérivables </p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1656952017-11-04T14:50:08+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165695<p>Ok, par contre je me rends compte que cette fonction n’est pas simple à dériver sur <span>$\mathbb{R}^*$</span> en considérant la limite du taux d’accroissement. J’ai essayer de l’encadrer et j’ai obtenu ça</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$\frac{(x_0+h)\sin(1/(x_0+h)) - x_0\sin(1/x_0)}{h} \in \left [ -\frac{2x_0 + h}{h}, \frac{2x_0 + h}{h} \right ]$$</mathjax></div>
<p>mais j’arrive pas à avancer plus. Est-ce qu’il faut calculer la dérivée en utilisant les formules pour la composition et la multiplication pour trouver sur quel intervalle la fonction est dérivable ?</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1656912017-11-04T13:18:12+01:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165691<p>Oui : dérivable implique continu</p>Continuité et dérivabilité d'une fonction, message #1656892017-11-04T13:13:10+01:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9632/continuite-et-derivabilite-dune-fonction/?page=1#p165689<p>Salut à tous,</p>
<p>considérons l’exercice suivant</p>
<figure>
<blockquote>
<p>Sur quelles parties de <span>$\mathbb{R}$</span>, la fonction suivante est-elle continue, dérivable ?</p>
<div class="mathjax-wrapper"><mathjax>$$ f : x \mapsto \begin{cases}
x\sin(1/x) & \text{si } x \ne 0 \\
0 & \text{sinon} \end{cases}$$</mathjax></div>
</blockquote>
<figcaption><a href="http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?idSect=184">Prépas Dupuy de Lôme Exercice 247 (a)</a></figcaption>
</figure>
<p>Je me pose une question sur ce type d’exercice : est-ce que l’on peut montrer la dérivabilité pour montrer la continuité, en faisant attention aux endroits où la fonction est non dérivable mais peut-être continue ? </p>
<p>Logiquement, je me dis que ça devrait marcher, mais je sais pas si c’est très rigoureux.</p>
<p>Merci d’avance pour vos réponses.</p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1608012017-08-27T13:04:31+02:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160801<p>Ok merci. <img alt=":)" src="/static/smileys/smile.png"> </p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1607982017-08-27T12:45:55+02:00adri1/@adri1https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160798<p>C’est la seule différence entre les différents cas, en effet.</p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1607972017-08-27T12:43:37+02:00LudoBike/@LudoBikehttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160797<p>Donc c’est du au fait qu’il faut faire attention à la valeur de <span>$x$</span> selon si <span>$α$</span> est réel ou pas.</p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1607962017-08-27T12:36:36+02:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160796<p>Ok je me tais, trop de fatigue dans les veines</p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1607952017-08-27T12:34:43+02:00adri1/@adri1https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160795<blockquote>
<p>Déjà, on a pas le même résultat lorsque <span>$\alpha \neq -1$</span> et <span>$\alpha = -1$</span>.</p>
</blockquote>
<p>? Ben si, <span>$\alpha x^{\alpha -1}$</span> avec <span>$\alpha =-1$</span>, c’est bien <span>$-\dfrac{1}{x^2}$</span>, donc la dérivé de <span>$\dfrac{1}{x}$</span>.</p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1607942017-08-27T12:32:37+02:00Holosmos/@Holosmoshttps://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160794<p>Fix’d <img alt=":-°" src="/static/smileys/siffle.png"></p>Dérivées de fonctions usuelles – Polynômes, message #1607912017-08-27T12:24:24+02:00adri1/@adri1https://zestedesavoir.com/forums/sujet/9218/derivees-de-fonctions-usuelles-polynomes/?page=1#p160791<blockquote>
<p>Déjà, on a pas le même résultat lorsque <span>$\alpha \neq 1$</span> et <span>$\alpha = 1$</span>.</p>
</blockquote>
<p>? Ben si, <span>$\alpha x^{\alpha -1}$</span> est bien une constante (en l’occurrence 1) dans le cas où <span>$\alpha =1$</span>.</p>