Rendement d'un cycle thermodynamique

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Alors je ne sais pas où tu es rendu dans tes études donc tu fais peut-être de la thermodynamique a un niveau plus élevé que moi, mais bon je poste comment moi j’ai fait pour mon UE de mécanique au premier semestre de L1. (À noter que dans mon cours on considère le gaz comme étant parfait.)

On veut arriver à un rendement. Or ici la formule est :

$$\eta = \frac{|\Sigma W|}{Q_{reçue}}$$

Il te faut donc calculer le travail $W$ et la quantité de chaleur $Q$ pour chacune des transformations. Pour les calculer, soit tu as auparavant appris par cœur les formules pour chaque transformation, soit tu sais les retrouver grâce aux trois formules :

  • $dW = -p dV$
  • $dQ = n C_v dT + pdV$
  • $dQ = n C_p dT + Vdp$

Ensuite tu calcules $|\Sigma W| = |W_{ab} + W_{bc} + W_{ca}|$. Pour calculer $Q_{reçue}$ il faut prendre seulement les quantités de chaleur positives (si je ne me trompe pas) et les sommer. La dernière étape est de simplifier le calcul avec tes connaissances et l’indication donnée dans l’énoncé

Édité par Situphen

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Ça fait longtemps que je n’ai pas fait un exo de thermodynamique mais essayons de te donner un coup de main.

D’abord, essaye sur ton brouillon de représenter le cycle sur un diagramme de Clapeyron (P,V). Cela permet de déterminer si ton cycle est moteur ou récepteur, ce qui change quelques bricoles dans la formule du rendement.

Quand tu lis dans l’énoncé que $n$ moles de gaz parfait subissent diverses transformations qui forment un cycle, il y a un automatisme à avoir, c’est d’appliquer le premier principe sur un cycle :

$$ \Delta U_{cycle} = Q_{cycle} + W_{cycle} = 0 $$

On te demande de calculer le rendement $\eta$, qui est, par définition, le rapport entre le "gain" et le "coût" de ton cycle. Le coût n’étant rien d’autre que le travail pour un cycle récepteur.

$$\eta = \frac{Q_{chaud}}{W_{cycle}}$$

Pour un cycle moteur en revanche, c’est l’inverse, car le but du moteur (pense à la voiture !) est justement de fournir un travail, qui se retrouve être le gain. Le coût, dans ce cas-là, étant la chaleur (encore une fois, pense à la voiture, c’est la chaleur de la combustion qui fait tourner l’arbre, qui à son tour fournit un travail aux essieux.)

Maintenant il ne te reste plus qu’à poursuivre sur la première équation, celle du premier principe, pour calculer ton travail sur l’ensemble du cycle. Par chance, la transformation B->C et adiabatique, donc $Q_{BC} = 0$.

$$ W_{cycle} = - Q_{cycle} = - (Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{BC}) = ... $$

Il n’y a plus qu’à calculer la chaleur de chacune des transformations donc :) . Ce qui se fait bien en utilisant une autre équation fondamentale du cours de thermo, qui fera apparaître le logarithme népérien de ta solution :

$$\delta W = -P dV$$

Et en te souvenant de l’équation d’état des gaz parfaits :

$$\frac{PV}{T} = constante$$

Édité par Arlequin

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Déjà je ne comprends pas pourquoi tu écris :

$$ \Delta U = Q - W$$

Ne te pose pas la question du signe à ce stade, applique simplement le premier principe sur un cycle, en écrivant bêtement que la variation de l’énergie interne est nulle.

$$ \Delta U = Q_{cycle} + W_{cycle} = 0$$

Parfait, tu as donc un cycle moteur. La question du signe se pose maintenant, au niveau de l’écriture du rendement :

$$\eta = \frac{|W|}{Q}$$

On a bien un travail cédé à l’extérieur, donc effectivement négatif. Un rendement étant positif (compris entre 0 et 1, comme tu l’as souligné), on va caler un signe moins et dérouler le calcul, en utilisant l’équation du premier principe sur le cycle ($W_{cycle} = -Q_{cycle}$) :

$$\eta = - \frac{W_{cédé}}{Q_{reçu}} = \frac{Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CA}}{Q_{AB}} = 1 + \frac{Q_{CA}}{Q_{AB}}$$

Et là effectivement, sauf erreur de ma part, on coince un peu. L’énoncé ne parle pas d’un coefficient $\gamma$ par hasard ? T’as creusé la proposition de Situphen ?

Édité par Arlequin

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