Bruit de Perlin : pourquoi peut-on parler d'un bruit de Perlin de dimension 1 ?

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Bonjour à tous,

Dans tous les cours que j’ai lus, on présente l’algorithme du bruit de Perlin de manière telle qu’il prend en paramètre au minimum 1 seule variable paramétrique, auquel cas il est convenu de dire qu’il s’agit d’un bruit de Perlin de dimension 1. On peut alors le représenter dans un graphe en mettant la variable paramétrique en abscisse et l’image de la fonction "bruit de Perlin" sur l’axe des ordonnées : https://fr.khanacademy.org/computing/computer-programming/programming-natural-simulations/programming-noise/a/perlin-noise (par exemple) - source : https://fr.khanacademy.org/computing/computer-programming/programming-natural-simulations/programming-noise/a/perlin-noise (par exemple)

Cependant, toute implémentation de l’algorithme de Perlin repose sur un ensemble $E$ constitué d’entiers naturels choisis de manière aléatoire (avec e.g. la fonction $Mathf.Random()$).

DONC cet ensemble de valeurs aléatoires, bien qu’il ne soit PAS fourni par l’utilisateur final de l’algorithme du bruit de Perlin, entre tout de même en jeu dans l’exécution de ce dernier. DONC la sortie de l’algorithme / l’image de la fonction "bruit de Perlin" dépend certes des variables paramétriques fournies par l’utilisateur final, MAIS AUSSI de cet ensemble de valeurs aléatoires intrinsèque à l’algorithme.

DONC, on peut dire que l’algorithme de Perlin est AU MINIMUM de dimension … 2 (une seule variable paramétrique et l’ensemble de valeurs aléatoires). Tant est si bien qu’il est tout à fait incorrect de dire que l’algorithme de Perlin peut être de 1 seule dimension.

N’ai-je pas raison ?

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Salut,

N’ai-je pas raison ?

Non. Le comportement statistique de ton algorithme est défini par un seul paramètre d’entrée donc le bruit est de dimension 1 par définition de ce qu’est la dimension d’un bruit. C’est une définition logique puisque ce qui compte n’est pas le comportement d’une instance particulière mais bien son comportement statistique. Ici, il n’y a qu’un degré de liberté qui confine le comportement du système, donc la dimension est de 1.

DONC, on peut dire que l’algorithme de Perlin est AU MINIMUM de dimension … 2 (une seule variable paramétrique et l’ensemble de valeurs aléatoires).

Juste là dessus d’ailleurs, je comprends pas trop pourquoi tu compterais une dimension pour un paramètre, et une dimension pour plein d’autre valeurs… :-°

Édité par adri1

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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Auteur du sujet

Hello !

Je ne suis pas suffisamment calé en maths (ou en physique ?) pour comprendre ce que t’appelles "comportement statistique". Genre sur un grand nombre d’exécutions de l’algorithme de Perlin, on observe que si on fournit tel ou tel tuple de paramètres, on aura fréquemment tel résultat ? Par ailleurs : quel rapport y a-t-il entre cette notion d’une part, et la notion de "un seul degré de liberté / un seul paramètre donc la dimension est de 1", d’autre part ?

Juste là dessus d’ailleurs, je comprends pas trop pourquoi tu compterais une dimension pour un paramètre, et une dimension pour plein d’autre valeurs… :-°

Je crois qu’il y a malentendu. Dans ma phrase, variable paramétrique =/= paramètre. J’ai employé le terme de "variable paramétrique" en référence au domaine des "fonctions/courbes/surfaces paramétriques". Ca doit déjà être plus clair du coup :p

Du coup, il semble que toi et moi soyons d’accord pour dire que s’il existe un paramètre, alors la dimension sera de 1. S’il en existe 2, la dimension sera de 2. S’il en existe 3, la dimension sera de 3 et ainsi de suite. (1)

Ce que je disais cependant, c’est que l’algorithme de Perlin possède un autre truc qui modifie son comportement : un ensemble de nombres choisis aléatoirement. On peut donc penser que celui-ci fasse partie des paramètres de l’algorithme de Perlin, en plus des $n$ variables paramétriques qui font également partie des paramètres. Auquel cas, le nombre de paramètres de l’algorithme de Perlin serait $n+1$ (le $+1$ étant dû à l’ensemble de valeurs aléatoires). Ici il y aurait finalement $n$ variables paramétriques, $n+1$ paramètres et $n+1$ dimensions. Or, c’est le nombre de paramètres et non le nombre de variables paramétriques qui détermine la dimension de l’algorithme de Perlin - comme je l’ai indiqué dans (1). Comme au strict minimum on ne fournit qu’une seule variable paramétrique, et un ensemble de valeurs aléatoires, alors l’algorithme de Perlin aura toujours une dimension minimale de 2. Donc l’algorithme de Perlin n’a jamais une dimension de 1, comme présenté dans les cours que j’ai lus. Par contre il peut bien entendu avoir une dimension de 3 (2 variables paramétriques fournies + l’ensemble des valeurs aléatoires), etc.

TOUTEFOIS, si l’on ne considère pas l’ensemble de valeurs aléatoires comme faisant partie des paramètres, alors le problème ne se pose pas et il y aura donc bien $n$ variables paramétriques, $n$ paramètres et $n$ dimensions.

Édité par anonyme

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Ton paragraphe sur les variables paramétriques m’embrouille plus qu’autre chose en fait, je vois pas le rapport avec la discussion…

Bref, les valeurs aléatoires utilisées dans l’algo du bruit de Perlin sont réparties uniformément. Maintenant, on pourrait parfaitement imaginer construire un algo similaire qui en plus prend en paramètre d’entrée les moments de la ddp que doit suivre le bruit. Ce nombre de moments s’ajouteraient à la dimension de l’espace des paramètres définisant ce nouvel algo.

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Auteur du sujet

Bein l’algorithme de Perlin est une application bijective paramétrique :

$$\forall n \in \mathbb{N} / n \geq 1, bruitPerlin_R : [0 ; 1]^n \to [0 ; 1]$$
  1. Chaque composante de tout tuple de l’ensemble de définition est appelée “variable paramétrique” - comme pour toute fonction paramétrique (! “variable paramétrique” au sens mathématique du terme ! Ce n’est donc pas synonyme du terme informatique “paramètre”). Donc bein là adri1, je te renvoie aux cours sur les fonctions / surfaces / courbes / équations / etc. paramétriques (e.g. http://www.statsoft.fr/concepts-statistiques/glossaire/c/courbe-parametrique.html ).

  2. Toute valeur de l’ensemble d’arrivée est appelée “bruit”.

  3. $R$ est une matrice de dimension 1 dont les éléments sont des entiers naturels choisis aléatoirement (e.g. : avec la fonction ).

Ce que je me demande simplement, c’est s’il ne faut pas placer $R$ dans la liste des paramètres de l’algorithme (qui, dans ma définition, ne comprend que les $n$ variables paramétriques). Auquel cas on aurait :

$$\forall n \in \mathbb{N} / n \geq 1, bruitPerlin : R \times [0 ; 1]^n \to [0 ; 1]$$

, avec $R$ l’ensemble des ensembles dont les éléments sont des valeurs aléatoirement choisies.

Ainsi, pour le coup, la dimension de l’algorithme de Perlin passerait à 2 au strict minimum. Et dans toute représentation graphique, il serait judicieux de penser à représenter l’ensemble de valeurs aléatoires en plus de la / des variables paramétriques.

Édité par anonyme

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