Limite d'une suite

Bonsoir, je cherche à trouver vers quoi converge la suite $u : n \in \mathbb N^* \mapsto \dfrac{1}{n} \sin(\dfrac{\pi}{n})$.

J’ai une méthode dont je ne suis pas certain, elle consiste à utiliser le fait que le rapport $\pi$ sur $n$ converge vers $0$ donc $\sin(\dfrac{\pi}{n}) \approx \dfrac{\pi}{n}$ puis $u_n = \dfrac{\pi}{n^2} \approx 0$ lorsque $n \to +\infty$.

Une autre consiste à montrer que $\sin(\dfrac{\pi}{n})$ est bornée (comment procéder?) et utiliser que le rapport $1$ sur $n$ tend vers 0 pour montrer que la suite converge vers 0.

Merci de votre attention.

Troisième méthode : utiliser simplement les opérations sur les limites ?

Pour ta première méthode, on ne peut pas en général composer à gauche dans les équivalents comme tu le fais. Par exemple, avec tes notations, $x\approx x+2$ et pourtant on n’a pas $e^x \approx e^{x+2}$. Il se trouve que ça marche dans ton cas, mais essentiellement pour les mêmes raisons que la "troisième méthode" fonctionne. (voir plus bas)

Merci pour vos réponses,

Mais si j’explique que sin(pi/n) est bornée, comme 1/n tend vers 0 je peux conclure?

En effet, il semble que si u est une suite bornée et v une suite convergeante vers 0 alors le produit uv tend vers 0.

Peut-être que c’est un peu plus rapide que le théorème des gendarmes.

@Lucas : ah oui en effet, de toute manière je n’ai pas vraiment vu les DL donc je ne pense pas que ça soit une bonne idée de les utiliser ici.

Par opérations, tu veux dire en remarquant que sinus(pi/n) tend vers 0 (puisque pi/n tend vers 0 et sin(0) = 0)?

Si je ne me trompe pas il utilise juste le fait que : $f(x)-f(a) \sim f'(a)(x-a)$ et en utilisant la caractérisation séquentielle des limites la composition : $\sin(u_n) \sim u_n$ est toujours vraie lorsque $u_n \rightarrow 0$, donc en l’occurence ce n’est pas une chance que la composition marche ici

Oula oui tu as raison, et c’est même plus général que ça ; l’exemple que j’ai donné plus haut n’est pas bon ! Ce qui nous intéresse ici c’est la composition à droite par une même fonction : on sait que $\sin x\sim x$, et on veut en déduire quelque chose du type $\sin(f(x))\sim f(x)$. C’est une propriété qui est toujours vraie : si $f\sim g$, alors $f\circ h\sim g\circ h$ (avec les hypothèses minimales pour que ça ait un sens).

J’étais parti sur un truc qui est pour le coup plus difficile : faire passer les équivalents "en composant à gauche" (on sait que $f\sim g$, et on aimerait bien un truc du genre $h\circ f\sim h\circ g$ — mais c’est souvent faux). Mais en fait on n’a pas du tout besoin de ça ici.

(En passant, j’aime pas trop ta première expression, entre autres parce qu’elle suppose $f'(a)\neq 0$ — même si c’est vrai pour $\sin$.)

Du coup on peut raisonner sans passer par un DL.

Il suffit de remarquer que le rapport pi sur n tend vers 0 et que sinus est continue en 0 donc par la caractérisation séquentielle de la continuité ponctuelle de sinus, on montrer que sin(pi\n) tend vers sin(0) = 0.

cf ici.

Composition et produit suffisent ici (tu peux rajouter continuité pour être rigoureux mais bon…)

Je ne comprend pas, je pense avoir utilisé la propriété de ce cours pourtant. La composition découle de la caractérisation séquentielle, non?

En effet, si $f$ est continue en $l \in \mathbb R$ et qu’il existe une suite $(u_n)_n$ qui converge vers $l$ alors $(f(u_n))_n$ tend vers $f(l)$.

Juste histoire que ce soit bien clair (je pense que ça l’est, mais au cas où) : donner un équivalent permet d’avoir une information plus précise que la limite, donc même si effectivement ici ça n’est pas nécessaire, une simple "caractérisation séquentielle de la limite" ne fonctionnerait pas pour calculer la limite de $(n\sin(\pi/n))$ par exemple (c’est ta fameuse histoire de formes indéterminées).

Par contre si tu sais que $\frac{\sin x}{x}\to 1$ en 0 (c’est essentiellement ce que veut dire $\sin x\sim x$), alors on a directement $\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}\to 1$, et donc la limite de la suite est $\pi$. Avec le langage des équivalents, on dirait que $n\sim n$, $\sin(\pi/n)\sim \pi/n$ et en passant au produit : $n\sin(\pi/n)\sim \pi$, ce qui permettrait directement de conclure.

Bon, j’ai peur que ça prenne des heures donc je vais essayer de résumer : je comprend étrangement ce que tu écris mais je ne vois pas le rapport avec mon affirmation au-dessus.

Désolé, j’ai peur de m’emporter donc je vais reposer ma tête.

Bon, j’ai peur que ça prenne des heures donc je vais essayer de résumer : je comprend étrangement ce que tu écris mais je ne vois pas le rapport avec mon affirmation au-dessus.

En fait c’est parce que t’as cité la réponse de @Universite juste avant ton « Du coup on peut raisonner sans passer par un DL ». Je voulais juste détailler en quoi ce qu’il montrait était plus fort.

(Mais sinon ton affirmation est ok, et c’est sans doute la meilleure manière de traiter ton exemple !)

Je me posais une autre question :

Je cherche à trouver la limite de la suite $n \mapsto \dfrac{a^n - b^n}{a^n + b^n}$ pour $a, b > 0$.

Je remarque qu’il suffit de se pencher sur le cas $a > b > 0$.

Ensuite, on me demande de calculer la limite pour $a = 1$ et donc $0 < b < 1$.

Cela nous donne $\dfrac{1 - b^n}{1 + b^n} = \dfrac{1 - e^{n\ln(b)}}{1 + e^{n\ln(b)}} \to 1$ puisque $ln(b) < 0$ pour b compris entre 0 et 1 donc $n\ln(b) \to -\infty$ puis $e^{n\ln(b)} \to 0$.

Enfin, on me demande de me ramener au cas précédent lorsque a > b > 0 puis conclure mais je ne vois pas comment procéder…

Merci pour votre aide et votre patience!

Si $a > b > 0$ alors on a ; $\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n} = \frac{1-(\frac{b}{a})^n}{1+(\frac{b}{a})^n} $

Merci, c’est ce dont j’avais besoin, je suis bête voyons.

En effet, c’est inutile de passer par l’exponentielle.