Wronskien

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Bonjour à tous,

Dans un de mes cours, on m’a introduit une nouvelle méthode pour résoudre certaines équation différentielles en utilisant le Wronskien.

Je n’ai pas du tout compris à quoi cela nous était utile et que était l’avantage de cette méthode. En titre d’exemple, il résous l’EDO $y'' + y = \frac{1}{{\sin (x)}}$. Je comprends la méthode et comment l’appliquer mais pas bien en quoi c’est utile…

D’ailleurs, est-ce que ça représente géométriquement quelque chose ce Wronskien (vu que c’est un déterminant…) ?

Merci d’avance :-)

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Des potes à moi l’utilise surtout parce que d’après eux c’est une méthode qui leurs plait plus. Ca m’a tout l’air d’être un outil supplémentaire pour ceux à qui ça plairait plus ?

Enfin bon j’sais pas si la méthode du Wronskien s’applique à toutes les EQD tradditionnalles…

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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Le wronskien permet aussi parfois de faire des trucs rigolos dans des exos un peu plus théoriques que la résolution d’une équation, par exemple :

Soit $(E) : y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ une EDL d’ordre 2 d’inconnue $y\in C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, avec $a, b : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

(1) (Ne nécessite pas le wronskien) Soit f solution non nulle de (E), montrer que les zéros de f sont isolés i.e

$$\forall x_0 \in \mathbb{R}, f(x_0) = 0, \exists \epsilon > 0, \forall x \in [x_0-\epsilon, x_0+\epsilon], f(x) \neq 0$$

(2) Soit (f, g) famille de solutions linéairement indépendantes (i.e ici système fondamental de solution puisque (E) est d’ordre 2). Soient $\alpha, \beta$ deux zéros consécutifs de f (bien définis par la question 1). Montrer que f s’annule exactement une fois sur $]\alpha, \beta[$ (on dit que les zéros de f et g sont entrelacés).

Indices :

(1) Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.

(2) C’est de l’analyse élémentaire sur le wronskien de (f,g) + un résultat de base sur le wronskien d’un système fondamental de solutions.

(Je posterai la réponse demain, là je suis crevé)

EDIT : Je viens de relire ton message, peut-être que j’ai mal compris : c’est l’utilité du wronskien ou de la "méthode du wronskien" que tu cherches ?

Édité par mehdidou99

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La solution :

(1) On raisonne par l’absurde : on écrit la négation de "les zéros de f sont isolés" : il existe $X \in \mathbb{R}$ tel que $f(X) = 0$ et $\forall \epsilon > 0, \exists x \in [X-\epsilon, X+\epsilon], f(x) = 0$.

En particulier , il existe $(x_n)_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \textrm{ tel que } x_n \rightarrow X \textrm{ et } \forall n \in \mathbb{N}, f(x_n) = 0$. On a alors, si $n \in \mathbb{N}$ :

$$ \frac{f(x_n) - f(X)}{{x_n - X}} \rightarrow f'(X) \textrm{ par continuité de f.} $$

D’autre part,

$$ \frac{f(x_n) - f(X)}{{x_n - X}} = 0 \rightarrow 0 $$

Ainsi, f(X) = 0 et f’(X) = 0, donc f est solution au problème de Cauchy

$$ (P) : \begin{cases} y'' + a(x)y' + b(x)y = 0 \\ f(X) = 0 \\ f'(X) = 0 \end{cases} $$

Or 0 est solution à ce problème de Cauchy, et par théorème de Cauchy-Lipschitz, cette solution est unique, d’où f = 0 : absurde.\

(2) On pose $w = fg' - f'g$ le wronskien de (f, g). Comme (f,g) est un système fondamental de solution, $\forall t \in [\alpha, \beta], w(t) \neq 0$. Donc w ne change pas de signe sur $[\alpha, \beta]$ (car sinon, comme w continue, w s’annulerait par TVI). Or, comme g s’annule en $\alpha$ et $\beta$ :

En $\alpha$ : $ w(\alpha) = f(\alpha)g'(\alpha) $

En $\beta$ : $ w(\beta) = f(\beta)g'(\beta) $

Or $g'(\alpha)$ et $g'(\beta)$ sont non nuls (car sinon g serait nulle par Cauchy-Lipschitz car $g(\alpha)$ et $g(\beta)$ sont nuls), et sont de signes opposés (petit exercice d’analyse, dîtes moi si vous voulez une solution). D’où $f(\alpha)$ et $f(\beta)$ de signes opposés (et non nuls), donc f s’annule par TVI sur $]\alpha, \beta[$.

Enfin, f s’annule une unique fois sur son intervalle car si elle s’y annulait deux fois ou plus, alors par ce que l’on vient de démontrer, g s’y annulerait, or $\alpha$ et $\beta$ sont deux points d’annulation consécutifs de g.

Édité par mehdidou99

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