Écriture d'une somme avec des inégalités

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Auteur du sujet

Bonjours à tous,

dans un cours sur les probabilités, j’ai l’expression suivante de la formule de Poincarré :

$$P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) + \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k+1} \sum_{i \le i_1 \le i_2 < … < i_k \le n} P(A_{i_1} \cap … \cap A_{i_k})$$

Et je suis pas sûr de vraiment comprendre la somme

$$\sum_{i \le i_1 \le i_2 < … < i_k \le n} P(A_{i_1} \cap … \cap A_{i_k})$$

du fait que je n’ai jamais vu l’opérateur $\sum$ avec des inégalités en indice comme il est employé ici.

Merci d’avance pour votre aide. :)

Édité par LudoBike

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Cela veut dire simplement que tu sommes sur l’ensemble

$$ \left\{ (i_1, ... , i_k) \in [| i,n |] / \forall j \in [|1,k|], i_j < i_{j+1} \right\} $$

Ça t’aide écrit comme ça ?

Édité par mehdidou99

Plus on apprend, et, euh… Plus on apprend.

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut !

Ça veut dire que tu fais la somme avec tous les indices $i_1$, $\dots$, $i_k$ tels que $i \leqslant i_1 \leqslant \cdots \leqslant i_k \leqslant n$. Par exemple, les deux notations

$$ \sum_{k = 1}^5 k \quad \text{et} \quad \sum_{k \in [1, 5]} k $$ veulent dire la même chose. Là, c'est pareil et ta somme peut se récrire $$\sum_{(i_1, \dots, i_k) \in A_{i, k}} P(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k})$$ avec $$A_{i, k} = \{(i_1, \dots, i_k) \in \mathbf N^k \mid i \leqslant i_1 < \cdots < i_k \leqslant n\},$$

i.e. c’est la somme quand $(i_1, \dots, i_k)$ parcourt $A_{i, k}$.

Edit : grilled !

Édité par Teguad

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Est-ce que tu admets qu’on sait définir $\sum_{j\in J} a_j$$J$ est un ensemble fini et les $a_j$ vivent dans un ensemble « gentil » ? (ici dans $\mathbf{R}$)

Quand on veut lire la notation $\sum_{1\le i_1< i_2< \ldots< i_k \le n}$ (je pense que ton $i$ est une faute de frappe ?), on commence par se demander quelles sont les variables définies "en dehors de la somme" ; ici, seul $n$ l’est, donc, au cours de la somme, les "indices de boucle" sont $i_1, \ldots, i_k$. C’est donc un raccourci pour dire :

$$\sum_{1\le i_1< i_2< \ldots i_k \le n}=\sum_{j\in J_{n}}$$

avec $J_{n}=\{(i_1, \ldots, i_k)\in \{1,\ldots, n\}\;|\; 1\le i_1< i_2\ldots < i_k\le n \}$

Bon c’est assez pénible à écrire (j’espère que ça te montre pourquoi c’est intéressant d’utiliser la notation avec les inégalités), mais avec les mains ça veut juste dire : on fait la somme de tous les termes de la somme, où $(i_1, \ldots, i_k)$ décrit l’ensemble des $k$-uplets vérifiant les inégalités. En prenant un exemple plus simple :

$$\sum_{1\le i\le j\le 2} a_{ij}=a_{11}+a_{12}+a_{22}$$

Soit dit en passant la notation est toujours valable pour $k=1$, donc on pourrait carrément écrire :

$$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<\ldots< i_k\le n} P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})$$

ÉDIT : Tu peux vérifier pour t’amuser que c’est équivalent à cette forme de la formule du crible :

$$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{\underset{I\neq \emptyset}{I\subseteq [n]}}(-1)^{|I|+1} P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)$$

Édité par Lucas-84

Pour en rajouter une couche, c’est ce qu’on appelle une somme triangulaire, en voici une illustration simple.

@Lucas : Oui et avec la formule du crible on peut faire une preuve de cette formule en utilisant la fonction caractéristique et l’espérance il me semble. Mais peut-être que je dis une bêtise, il faut que j’essaie.

Édité par Osimoquus

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Pour le signe : $\displaystyle \sum$, il y a trois notations que tu verras régulièrement :

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \rightarrow \text{ça tu sais }$$ $$\displaystyle \sum_{\text{une inégalité }} \rightarrow \text{voir plus haut pour explication}$$
$$\displaystyle \sum_{i \in I} \rightarrow \text{on s'intéresse aux éléments dans l'ensemble I (finit)}$$
$$\displaystyle \sum_{cyc} \rightarrow \text{très pratique, ça désigne tous les sommes possibles avec les variables avec lesquelles tu travaille}$$

Par exemple si tu as $4$ variables : $a, b, c, d$ alors :

$$\displaystyle \sum_{cyc} ab = ab +bc + cd + ad$$

Édité par InaDeepThink

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Oui et avec la formule du crible on peut faire une preuve de cette formule en utilisant la fonction caractéristique et l’espérance il me semble. Mais peut-être que je dis une bêtise, il faut que j’essaie.

Ozmox

Je fais peut-être un abus ici, j’ai tendance à appeler formule du crible toutes les égalités de ce type (avec les cardinaux ou les probas). Tu veux dire utiliser la formule avec les cardinaux pour prouver celle avec les probas ?

$$\displaystyle \sum_{cyc} \rightarrow \text{très pratique, ça désigne tous les sommes possibles avec les variables avec lesquelles tu travaille}$$

Par exemple si tu as $4$ variables : $a, b, c, d$ alors :

$$\displaystyle \sum_{cyc} ab = ab +bc + cd + ad$$
InaDeepThink

C’est quoi ce truc ? ^^ T’as un vrai exemple d’utilisation ? (parce que là je comprends pas comment le $ab$ se transforme).

ÉDIT : Après avoir Googlé je suis surpris, ça a l’air d’être un vrai truc utilisé par des gens, je comprends pas comment ça se fait que je suis jamais tombé dessus. ^^

Édité par Lucas-84

C’est quoi ce truc ? ^^ T’as un vrai exemple d’utilisation (parce que là je comprends pas comment le $ab$ se transforme).

Lucas-84

Quand je lisais des cours sur des inégalités c’est assez fréquent. Par exemple pour demander de prouver une inégalité, je peux dire : Soient $x,y,z$ des réels strictement positifs. Montrer que :

$$\sum_{cyc}\frac{1}{xy+2z^2}\le\frac{xy+yz+zx}{xyz(x+y+z)}.$$

(note : cette inégalité est vraie :pirate:) Au lieu d’écrire à chaque fois les différentes possibilités en changeant les variables. :)

Par exemple dans l’exemple d’avant je faisais toutes les produits sur les couples : $(x, y)$, mais comme on est avec $4$ variables alors on a : $4$ choix pour $x$ et $3$ choix pour $y$ mais en comptant tout chaque produit apparaît deux fois donc on divise par $3$ ce qui donne $4$ produits. Cela permet quand même d’économiser de l’encre :)

@InaDeepThink: la plus pratique restant $\sum a_j$, en laissant le travail au lecteur. ;)

dab

Je ne vois pas comment tu peux te retrouver à la somme du dessus.. :)

Édité par InaDeepThink

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Je fais peut-être un abus ici, j’ai tendance à appeler formule du crible toutes les égalités de ce type (avec les cardinaux ou les probas). Tu veux dire utiliser la formule avec les cardinaux pour prouver celle avec les probas ?

Lucas-84

Non, c’est le contraire qu’on fait, parce qu’avec quelques outils de probas, ça se démontre tout seul.

Plus on apprend, et, euh… Plus on apprend.

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Heu pour moi c’est plutôt une identité combinatoire. Les deux preuves que je connais sont « combinatoires » (ou algébriques si on veut). C’est une identité qui je trouve a plus à voir avec le « formalisme » (les propriétés formelles des opérations utilisées) que l’interprétation des symboles (même si les choses peuvent se visualiser). Par exemple on retrouve cette identité avec $\gcd(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{lcm}(a,b)}$ (et généralisations). Ou on la retrouve aussi avec $\min(a,b) = a+b-\max(a,b)$. On peut voir en quelque sorte cette dernière version comme « la plus fondamentale », mais les preuves que je connais utilisent des propriétés plutôt combinatoires/algébriques des objets en jeu (qu’on pourrait peut-être généraliser/théoriser mais ça me semble inutile).

Par exemple, une preuve (celle par récurrence) revient au développement (au niveau formel) de $1-(1-a)(1-b)(1-c)⋯$ et ça se visualise géométriquement avec un hypercube de dimension $n$. Il s’agit d’interpréter $1-x$ comme le complémentaire de $x$ et le produit comme l’intersection. L’union de $a$ et $b$ est alors $1-(1-a)(1-b)$ (loi de Morgan). Mais on pourrait très bien faire l’inverse et dire que le produit est l’union, ça peut être vu juste comme un truc formel (même si un sens se visualise).

L’autre preuve que je connais utilise le fait que quand on veut trouver une formule pour $\min(a,b,c)$ (par exemple) comme combinaison linéaire de trucs de la forme $\max(a,c)$, on peut supposer que $a>b>c$… ce qui peut sembler idiot, mais l’astuce est de dire qu’on veut avoir une formule symétrique en $a$, $b$ et $c$. C’est-à-dire que l’on veut que les trois quantités $\max(a,b)$, $\max(a,c)$ et $\max(b,c)$ aient le même coefficient, etc. Le problème revient alors à exprimer $c$ en fonction de $a+b+c$, de $2a+b$ et de $a$. Ça devient de l’algèbre linéaire, mais en fait on peut formaliser les choses avec des séries formelles et ça mène à des généralisations qui ne sont pas atteignables (enfin, je ne sais pas comment du moins) par le raisonnement par récurrence.


edit C’est quoi les outils de probas que tu utilises pour démontrer ça ?

Édité par blo yhg

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Je fais peut-être un abus ici, j’ai tendance à appeler formule du crible toutes les égalités de ce type (avec les cardinaux ou les probas). Tu veux dire utiliser la formule avec les cardinaux pour prouver celle avec les probas ?

Lucas-84

Non, c’est le contraire qu’on fait, parce qu’avec quelques outils de probas, ça se démontre tout seul.

mehdidou99

Comme blo yhg, je suis plutôt curieux. La preuve la plus connue c’est juste remarquer l’identité combinatoire du développement de fonctions indicatrices, après la seule différence c’est juste "passer des fonctions indicatrices aux parties" ou "passer à l’espérance". T’as une preuve purement probabiliste ?

Tu veux dire utiliser la formule avec les cardinaux pour prouver celle avec les probas ?

Oui je pense à cela, c’était un des premiers exercices du partiel de l’année précédente à ma fac.

Édité par Osimoquus

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Comme blo yhg, je suis plutôt curieux. La preuve la plus connue c’est juste remarquer l’identité combinatoire du développement de fonctions indicatrices, après la seule différence c’est juste "passer des fonctions indicatrices aux parties" ou "passer à l’espérance". T’as une preuve purement probabiliste ?

Lucas-84

J’ai fouillé mes cours de l’année dernière, et je n’ai pas retrouvé de telle preuve probabiliste, donc je pense que j’avais fait une confusion avec la preuve avec les indicatrices. Excusez-moi pour la méprise ! :)

Plus on apprend, et, euh… Plus on apprend.

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Auteur du sujet

Salut, tout d’abord excuser moi pour le grand retard que j’ai pris à lire vos réponses et à y répondre, les derniers jours étaient assez chargés.

Du coup je pense avoir compris, merci à vous mais juste pour vérifier, ça veut dire que, par exemple, on a

$$\sum_{1\le a \le b \le 3} ab = 1 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 2 + 1 \times 3 + 2 \times 3 + 3 \times 3 \, ?$$

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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