Salut 
Cette condition m’avait aussi interpellé, quand je l’avais vu.
Voilà maintenant comment je comprends "intuitivement" cette condition, qui peut paraître assez étrange.
Je fais juste quelques rappels (que tu connais sûrement déjà) pour mettre les choses au clair.
Si on considère une suite de fonctions $f_n : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, tels que chacun des $f_n$ est continue par morceaux alors on dit que la suite $((f_n)_{n \in \mathbb{N}})$ converge simplement vers la fonction $f$ si :
$$ \forall x \in [a, b], \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{ > 0}, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tels que : si, } n \geq N, \mid f_n(x) -f(x) \mid < \epsilon $$
Ce qui est important dans cette définition de la convergence simple, c’est que le choix de $N$ dépend du choix $x$, c’est la raison pour laquelle la convergence simple ne préserve que très rarement la continuité ou d’autres propriétés.
Ici on dit que si on a les deux conditions suivantes :
-
La suite $f_n$ converge simplement vers $f$, $f$ intégrable.
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Il existe $\phi$ intégrable tels que : $\mid f_n(t) \mid \leq \phi(t), \forall t \in [a, b], \forall n \in \mathbb{N}$
Alors on a :
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \int_a^b f_n(t) \mathrm{d}t = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$$
Considérons maintenant l’exemple suivant : (on cherche l’intuition, donc il y aurait sûrement très peu de rigueur dans ce qui va suivre)
Soit $g_n:[0, 1[ \rightarrow \mathbb{R}$, $g_n = n^2 \cdot t^{n-1}$.
Tu remarqueras que cette fonction est clairement continue, pour $t \in [0, 1[$ est est même continue sur $[0, 1]$.
Donc pour tout les $n \in \mathbb{N}$ $g_n$ est continue.
Maintenant, on veut calculer l’aire sous cette fonction. On calcule donc naturellement l’intégrale impropre (on est sur $[0, 1[$) :
$$\int_0^1 n^2 \cdot t^{n-1} \mathrm{d}t$$
Là ce qui est intéressant, c’est qu’on intègre par rapport à la variable $t$. En d’autre mot $n$ est fixé et donc supposé constant lors de l’intégration.
On obtient alors :
$$ \int_0^1 n^2 \cdot t^{n-1} \mathrm{d}t = n \cdot [t^n]^1_0 = n$$
Ainsi plus $n$ est grand plus la fonction $g_n$ aura une aire grande sous sa courbe.
Cela est essentiellement dû au fait que : $g_n$ est continue et que donc, en la prolongeant en $1$, on a : $g_n(1) = n^2$. Ainsi par continuité, on peut trouver des points arbitrairement proche de $n^2$ sur la courbe représentative de $g_n$. Cela explique essentiellement le fait que plus $n$ est grand, plus l’aire augmente.
Maintenant on remarque aussi que $g_n$ converge simplement vers la fonction nulle.
Ici, clairement on ne peut pas inverser la limite et l’intégrale.
En prenant la convergence simple, tu ne veux plus du tout te soucier de la régularité de ta fonction (au sens de la continuité), mais juste te demander :
Si je prends un $x$ alors que vaut : $\lim_{n \rightarrow \infty} g_n(x)$ ?
Ainsi le problème essentiel qui se produit avec la fonction $g_n$, c’est que dans un cas en calculant d’abord l’aire sous la courbe, on considère que $n$ est constant et donc on intègre sur une fonction parfaitement continue qui "explose" en $1$ par continuité, et que donc tous les $x$, $1-x < \epsilon$, seront proche de $n^2$, expliquant une aire qui augmente suivant la valeur de $n$.
Dans l’autre cas, on considère un procédé bien différent : on se soucie juste de ou va chacun des points lorsque $n \rightarrow \infty$. Donc en gros on se soucie de chacun des points indépendamment des autres (notion de convergence simple mais ce n’est pas le cas de la convergence uniforme).
Ainsi il semble plus évident que l’on ne peut pas faire commuter une opération qui préserve la continuité et une opération qui ne la préserve pas.
L’hypothèse de domination intervient alors.
On doit avoir :
$$\forall n, \forall t, g_n(t) \leq \phi(t)$$
Or, ici cette condition ne peut pas être préservé du fait que pour des points arbitrairement proche de $1$, la fonction $g_n$ est proche de $n^2$.
Par cette hypothèse de domination on demande donc à la suite $g_n$ de bien se comporter dans le sens ou la valeur $g_n(x)$ ne dépend pas tant que ça de $n$ (dans le sens ou il n’existe aucun $x$, tels que : la suite $v_0 = g_0(x)$, $v_n =g_n(x)$ est bornée).
Voilà, j’espère que c’est plus clair maintenant.
Quelques notes : (même si tu le sais sûrement)
Fait attention dans ta notation tu utilises une intégrale indéfinie. Or cela n’a pas de sens, puisque le théorème de convergence dominée, n’est vraie que sur un intervalle fixe.
Aussi tu noteras que si tu as l’intuition, pour te théorème d’inversion des limites, c’est ici essentiellement la même chose l’intégrale étant une limite.
