Compréhension condition inversion limite intégrale

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Bonjour à tous,

L’une des conditions pour inverser une limite et une intégrale ($\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n d_n = \int \lim_{n \rightarrow \infty} f_n d_n$), c’est qu’il existe $\phi$ tels que : $\mid f_n(t) \mid \leq \phi(t)$, $\phi$ intégrable. J’ai vu des contres exemples (c’est à dire que si c’est condition n’est pas vérifiée alors l’inversion ne marche pas), pourtant je n’arrive pas à comprendre intuitivement pourquoi, cette hypothèse de domination est si importante ?

Je vous remercie, pour votre lecture.

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Je ne connais pas ton niveau, donc je vais répondre peut-être un peu à coté, si ta fonction n’est pas dominée , et qu’elle tend vers +infini en +infini , comment définit tu ton intégrale ?

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Salut :)

Cette condition m’avait aussi interpellé, quand je l’avais vu. Voilà maintenant comment je comprends "intuitivement" cette condition, qui peut paraître assez étrange.

Je fais juste quelques rappels (que tu connais sûrement déjà) pour mettre les choses au clair.

Si on considère une suite de fonctions $f_n : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, tels que chacun des $f_n$ est continue par morceaux alors on dit que la suite $((f_n)_{n \in \mathbb{N}})$ converge simplement vers la fonction $f$ si :

$$ \forall x \in [a, b], \forall \epsilon \in \mathbb{R}_{ > 0}, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tels que : si, } n \geq N, \mid f_n(x) -f(x) \mid < \epsilon $$

Ce qui est important dans cette définition de la convergence simple, c’est que le choix de $N$ dépend du choix $x$, c’est la raison pour laquelle la convergence simple ne préserve que très rarement la continuité ou d’autres propriétés.

Ici on dit que si on a les deux conditions suivantes :

  • La suite $f_n$ converge simplement vers $f$, $f$ intégrable.

  • Il existe $\phi$ intégrable tels que : $\mid f_n(t) \mid \leq \phi(t), \forall t \in [a, b], \forall n \in \mathbb{N}$

Alors on a :

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \int_a^b f_n(t) \mathrm{d}t = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$$

Considérons maintenant l’exemple suivant : (on cherche l’intuition, donc il y aurait sûrement très peu de rigueur dans ce qui va suivre)

Soit $g_n:[0, 1[ \rightarrow \mathbb{R}$, $g_n = n^2 \cdot t^{n-1}$.

Tu remarqueras que cette fonction est clairement continue, pour $t \in [0, 1[$ est est même continue sur $[0, 1]$. Donc pour tout les $n \in \mathbb{N}$ $g_n$ est continue.

Maintenant, on veut calculer l’aire sous cette fonction. On calcule donc naturellement l’intégrale impropre (on est sur $[0, 1[$) :

$$\int_0^1 n^2 \cdot t^{n-1} \mathrm{d}t$$

Là ce qui est intéressant, c’est qu’on intègre par rapport à la variable $t$. En d’autre mot $n$ est fixé et donc supposé constant lors de l’intégration.

On obtient alors :

$$ \int_0^1 n^2 \cdot t^{n-1} \mathrm{d}t = n \cdot [t^n]^1_0 = n$$

Ainsi plus $n$ est grand plus la fonction $g_n$ aura une aire grande sous sa courbe. Cela est essentiellement dû au fait que : $g_n$ est continue et que donc, en la prolongeant en $1$, on a : $g_n(1) = n^2$. Ainsi par continuité, on peut trouver des points arbitrairement proche de $n^2$ sur la courbe représentative de $g_n$. Cela explique essentiellement le fait que plus $n$ est grand, plus l’aire augmente.

Maintenant on remarque aussi que $g_n$ converge simplement vers la fonction nulle. Ici, clairement on ne peut pas inverser la limite et l’intégrale.

En prenant la convergence simple, tu ne veux plus du tout te soucier de la régularité de ta fonction (au sens de la continuité), mais juste te demander :

Si je prends un $x$ alors que vaut : $\lim_{n \rightarrow \infty} g_n(x)$ ?

Ainsi le problème essentiel qui se produit avec la fonction $g_n$, c’est que dans un cas en calculant d’abord l’aire sous la courbe, on considère que $n$ est constant et donc on intègre sur une fonction parfaitement continue qui "explose" en $1$ par continuité, et que donc tous les $x$, $1-x < \epsilon$, seront proche de $n^2$, expliquant une aire qui augmente suivant la valeur de $n$.

Dans l’autre cas, on considère un procédé bien différent : on se soucie juste de ou va chacun des points lorsque $n \rightarrow \infty$. Donc en gros on se soucie de chacun des points indépendamment des autres (notion de convergence simple mais ce n’est pas le cas de la convergence uniforme).

Ainsi il semble plus évident que l’on ne peut pas faire commuter une opération qui préserve la continuité et une opération qui ne la préserve pas.

L’hypothèse de domination intervient alors. On doit avoir :

$$\forall n, \forall t, g_n(t) \leq \phi(t)$$

Or, ici cette condition ne peut pas être préservé du fait que pour des points arbitrairement proche de $1$, la fonction $g_n$ est proche de $n^2$.

Par cette hypothèse de domination on demande donc à la suite $g_n$ de bien se comporter dans le sens ou la valeur $g_n(x)$ ne dépend pas tant que ça de $n$ (dans le sens ou il n’existe aucun $x$, tels que : la suite $v_0 = g_0(x)$, $v_n =g_n(x)$ est bornée).

Voilà, j’espère que c’est plus clair maintenant.

Quelques notes : (même si tu le sais sûrement)

Fait attention dans ta notation tu utilises une intégrale indéfinie. Or cela n’a pas de sens, puisque le théorème de convergence dominée, n’est vraie que sur un intervalle fixe.

Aussi tu noteras que si tu as l’intuition, pour te théorème d’inversion des limites, c’est ici essentiellement la même chose l’intégrale étant une limite.

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Fait attention dans ta notation tu utilises une intégrale indéfinie. Or cela n’a pas de sens, puisque le théorème de convergence dominée, n’est vraie que sur un intervalle fixe.

On peut utiliser le théorème de convergence dominée sur des espaces mesurés bien différents d’un intervalle fixe :-°

+1 -1

Intuitivement, sans la majoration par $\phi$, de la matière pourrait s’échapper vers l’infini, malgré la convergence « locale ».

Un espace mesuré, c’est un espace avec une mesure, ie une fonction qui à chaque partie assigne un nombre positif, sa « taille », en respectant certains axiomes. (En fait on ne va pas forcément pouvoir assigner de la manière qu’on veut une mesure à vraiment toutes les parties mais c’est pas important ici.) Un espace mesuré est de mesure finie quand la mesure de l’espace entier est finie.

Un énoncé analogue au tien est que si dans un espace de mesure finie, une suite décroissante de sous-parties est d’intersection vide, alors la suite de leurs mesures tend vers $0$. Pour le montrer, on considère à la place la suite des complémentaires et on montre que la suite de leurs mesures converge vers la mesure totale (ça vient en fait de la définition de « espace mesuré »). On « coince » la suite des mesures grâce à la finitude de l’espace. Quand la suite n’est pas forcément décroissante mais converge juste vers $0$, on peut la coincer sous une suite décroissante qui converge vers $0$ (notion de limite supérieure).

L’intuition dans ton cas est la même à peu de choses près (pour les fonctions positives c’est exactement pareil et pour les fonctions potentiellement négatives ou à valeurs vectorielles il faut faire des trucs en plus mais qui ne changent pas l’intuition globale).

edit : un contre-exemple dans le cas où on n’a pas la majoration t’es donné par InaDeepThink. Un autre contre exemple est de prendre dans $ℝ$ la suite des fonctions caractéristiques des ensembles $[n,n+1]$. La matière « s’échappe ».

edit 2 : Quand je disais « convergence locale », ça n’avait pas de sens précis, sauf éventuellement pour le cas des fonctions caractéristiques (convergence sur toute partie de mesure finie). Sinon, sous certaines conditions toujours satisfaites en pratique (sur $ℝ$ par exemple), on a que si $f_n$ est une suite de fonctions positives convergeant vers $0$, alors on peut trouver une suite de parties $(A_k)_k$ dont l’union est l’espace entier et tel que sur chaque $A_k$, on a $\int_{A_k} f_n$ qui converge vers $0$. On peut dire que $A$ est « petit » quand $∫_A \sup_n f_n < ∞$ et alors ça donne un certain sens à ce que je disais… mais bof c’est pas intéressant, ça n’avait pas de sens précis.

Édité par blo yhg

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Fait attention dans ta notation tu utilises une intégrale indéfinie. Or cela n’a pas de sens, puisque le théorème de convergence dominée, n’est vraie que sur un intervalle fixe.

On peut utiliser le théorème de convergence dominée sur des espaces mesurés bien différents d’un intervalle fixe :-°

Würtz

Ok, je ne savais pas. Je ne connais pas encore les espaces mesurés.

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