Résolution d'équations différentielles à l'aide de séries

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Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice dont je pensais avoir compris sa correction en classe mais maintenant que je le reprend je me rend compte que non.

On me pose cette équation différentielle : $y' + xy = 1$ et on cherche la solution telle que $y(0) = 0$.

J’ai donc fait ceci, j’ai pris $y(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, calculé sa dérivée : $y'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}$ et ensuite remplacé le tout et simplifié :

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1} + x \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n = 1\\ a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty [a_{n+1}(n+1) + a_{n-1}]x^n = 1 $$

C’est là que je bloque. On me demande de montrer que les coefficients $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ et $a_{n+2} = -\frac{a_n}{n+2}$. J’imagine qu’il faut que je me serve de la condition initiale $y(0) = 0$ mais je ne vois pas comment… Pourriez-vous me l’expliquer ?

Merci à vous !

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Quand tu prends l’équation $y'+xy=1$ regarde les coefficients selon les puissances de $x$.

Si je regarde le terme devant $x^n$, j’ai à gauche la somme de $(n+1)a_{n+1}$ et $a_{n-1}$ (car $xa_{n-1}x^{n-1} = a_{n-1}x^n$ et à droite j’ai $0$ (sauf si $n=0$). Donc

$$ (n+1)a_{n+1} = -a_{n-1}$$

ce qui correspond à ce que tu voulais pour $n\neq 0$.

Pour $n=0$, bah on regarde les termes constants. À gauche on a $a_1$ et à droite $1$.

Pour $a_0$ tu regardes $y(0)$

Édité par Holosmos

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Auteur du sujet

Plusieurs choses que je ne comprend pas :

Si je regarde le terme devant $x^n$, j’ai à gauche la somme de $(n+1)a_{n+1}$ et $a_{n-1}$ (car $xa_{n-1}x^{n-1} = a_{n-1}x^n$ et à droite j’ai $0$ (sauf si $n=0$).

Tu parles bien du $x^n$ de ce résultat : $a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty [a_{n+1}(n+1) + a_{n-1}]x^n = 1$ ? Si oui, pourquoi à droite tu as $0$ ? Et pourquoi quand $n \neq 0$ on aurait $(n+1)a_{n+1} + a_{n-1} = 0$ ?

Si je comprend bien ce que tu as fait, tu étudies deux cas, l’un ou $n \neq 0$ et $n = 0$. Je suis d’accord que si $n = 0$ alors on a $a_1 = 1$ Ce que je ne comprend pas, c’est pourquoi on fait $n = 0$ alors que ma somme commence à 1 ? Est-ce que ça n’a rien à voir ?

Pour $a_0$ tu regardes $y(0)$

Déjà, est-ce que tu peux exprimer $y(0)$ en fonction des $a_n$ (utilise une expression de $y(x)$ en fonction des $a_n$) ?

Effectivement, celle-ci était simple.

Merci pour vos réponses !

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Plusieurs choses que je ne comprend pas :

Si je regarde le terme devant $x^n$, j’ai à gauche la somme de $(n+1)a_{n+1}$ et $a_{n-1}$ (car $xa_{n-1}x^{n-1} = a_{n-1}x^n$ et à droite j’ai $0$ (sauf si $n=0$).

Tu parles bien du $x^n$ de ce résultat : $a_1 + \sum\limits_{n=1}^\infty [a_{n+1}(n+1) + a_{n-1}]x^n = 1$ ? Si oui, pourquoi à droite tu as $0$ ? Et pourquoi quand $n \neq 0$ on aurait $(n+1)a_{n+1} + a_{n-1} = 0$ ?

Si je comprend bien ce que tu as fait, tu étudies deux cas, l’un ou $n \neq 0$ et $n = 0$. Je suis d’accord que si $n = 0$ alors on a $a_1 = 1$ Ce que je ne comprend pas, c’est pourquoi on fait $n = 0$ alors que ma somme commence à 1 ? Est-ce que ça n’a rien à voir ?

A droite tu as $0$ car tu as préalablement prouver que $a_1 = 1$, il voulait dire à droite dans le sens de "à droite de l’égalité". A partir de là, sa deuxième remarque en découle.

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Et pourquoi quand $n \neq 0$ on aurait $(n+1)a_{n+1} + a_{n-1} = 0$ ?

Wizix

Juste au cas où ton problème viendrait d’ici :

Ce que te dit cette égalité $\sum\limits_{n=1}^\infty [a_{n+1}(n+1) + a_{n-1}]x^n = 0$ ( le $=0$ viens de $a_1=1$ qu’on trouve en faisant $x=0$) c’est que le terme de gauche est un polynôme $P(x)$ qui :

  • a une relation entre ses différent coefficient
  • doit être nul pour tous $x$ => la seul solution c’est que tous ses coefficients soit nul !

Édité par Vael

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(Probablement une reformulation de mes vdd, mais au cas où.) Ton égalité :

$$a_1+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}(n+1)+a_{n-1})x^n=1$$

tu peux l’écrire sous la forme équivalente suivante :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n x^n$$

avec  : $\alpha_0=a_1$, $\beta_0=1$, et $\alpha_n=a_{n+1}(n+1)+a_{n-1}$, $\beta_n=0$ pour tout $n\ge 1$.

Ce qu’on fait, c’est qu’avec les bonnes hypothèses, on fait la fameuse « identification » pour en déduire $\alpha_n=\beta_n$ pour tout $n$. On pourrait tout reformuler en supposant que $\beta_n=0$, mais c’est probablement plus intuitif comme ça.

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