Calcul d'intégrale et supremum

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je cherche à calculer la valeur numérique réelle de $N$ défini ci-dessous :

$$N := \int_{[-5, 0]} (\sup \ \{x \in \mathbb R\ ;\ x^2 - sx + s = 0\})\ ds$$

Selon moi, $N$ peut s’écrire :

$$N = \int_{[-5, 0]} \dfrac{s + \sqrt{s^2 - 4s}}{2}\ ds$$

Si jusqu’ici mon raisonnement est bon, il me reste à calculer quelques primitives, dont celle-là :

$$\int \sqrt{s^2 - 4s}\ ds$$

et c’est ici où je coince… comment calculer cette primitive ?

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Salut!

Je suis peut-être un peu rouillé mais je me pose une question sur l’équation :

$x^2 - sx +s = 0$

Comme le paramètre devant $x^2$ est positif (a=1), la parabole est ouverte vers le haut. Pour moi, on n’a donc jamais de supremum (plus petit des majorants).

Am I wrong?

Mala malus mala mala dat.

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Auteur du sujet

Hum… Selon moi, ce qui est considéré comme ensemble dans l’intégrale, c’est l’ensemble des valeurs réelles $x$ telles que l’équation du second degré est satisfaite. Par conséquent, deux valeurs se trouvent dans cet ensemble, ce sont les deux racines du polynôme associé à l’équation du second degré.

Parmi ces deux racines, la plus grande est celle avec un + car $s < 0$.

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Remarque que : $s^2-4s = (s-2)^2-4$, maintenant fais la substitution : $ s-2 = 2 \sec t$, et utilise l’identité : $(\sec t)^2 -1= \tan^2 t$.

A la fin tu vas sûrement te ramener à calculer l’intégrale d’un truc du genre : $\sec^3 t+...$, il faut alors que tu utilise le résultat bien utile suivant

Édité par InaDeepThink

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