Vecteurs propres d’une matrice

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Auteur du sujet

Bonjour,

J’ai un problème avec les vecteurs propres d’une matrice. Prenons la matrice suivante :

4009\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix}

Pour la valeur propre 9, je trouve le vecteur (1 ; 0). Or je devrais trouver (-1 ; 0) et je ne vois pas d’où vient ce signe moins. En posant mon système je trouve :

5x=00y=0\begin{array}{lcl} -5x & = & 0 \\ 0y & = & 0 \end{array}

Je prend x = 1 ce qui me donne y = 0. J’avoue que la methode pour trouver les vecteurs propres ce n’est pas très clair dans ma tête… :(

Merci à vous !

Édité par Wizix

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Si je ne me trompe pas un vecteur propre, c’est :

e1=α(10)e_1 = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

Avec α\alpha un constante multiplicative non-nulle, α=1\alpha=-1 fonctionne très bien pour retrouver le résultat corrigé par exemple. Mais j’crois pas que ce soit important.

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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Auteur du sujet

Je prend ma matrice en la soustrayant avec la matrice aIaI :

4a009a\begin{matrix} 4 - a & 0 \\ 0 & 9 - a \end{matrix}

En prenant a=9a = 9 j’obtiens la matrice suivante :

5000\begin{matrix} -5 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}

Soit le système suivant :

5x+0y=00x+0y=0\begin{array}{lcl} -5x + 0y & = & 0 \\ 0x + 0y & = & 0 \end{array}

Je prend une valeur arbitraire pour xx, je choisi 1. C’est là que je ne comprend pas, le système devient faux… Mais admettons. Avec x=1x=1 je trouve y=0y=0.

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J’essaye de trouver les valeurs propres, pour voir s’il n’y a pas de faute dans l’énoncé

Je prend ta matrice :

A=(4009)A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}

Recherche de valeur propre en cherchant un λ\lambda dans la diagonale du déterminant :

B=det(AλI2)=det(4λ009λ)B = det(A-\lambda I_2) = det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 0 \\ 0 & 9 - \lambda \end{pmatrix}

Je cherche à résoudre le déterminant 2×22 \times 2 à la main :

B=(4λ)(9λ)=0B = (4-\lambda)(9-\lambda)=0

Obtention d’un équation du second dégrée :

B=36c+λ213bλ=0B = \underbrace{36}_{c} +\lambda^2 \underbrace{-13}_{b}\lambda =0

On cherche le discriminant :

Δ=b24ac=1694×36=169144=25\Delta = b^2 - 4ac = 169-4\times36 = 169-144 =25

Deux valeurs propres possibles : λ1,λ2\lambda_1,\;\lambda_2, car Δ>0\Delta > 0

λ1=b+Δ2a=13+52=4\lambda_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = -\dfrac{-13+5}{2} = 4
λ2=bΔ2a=1352=9\lambda_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -\dfrac{-13-5}{2} = 9

Pour correspondre à ton exercice, je vais chercher avec λ2\lambda_2 ton vecteur.


Du coups j’utilise la valeur propre qui est correcte pour trouver le vecteur propre

(4λ2009λ2)(4λ2)x+0y=00x+(9λ2)y=0\begin{pmatrix} 4 - \lambda_2 & 0 \\ 0 & 9 - \lambda_2 \end{pmatrix} \to \begin{matrix} (4-\lambda_2)x + 0y = 0 \\ 0x + (9-\lambda_2)y = 0\\ \end{matrix}

Pour quels xx et quel yy ces équations sont vérifier ?

  • (49)x=0(4-9)x = 0, n’est vrai que si x=0x=0.
  • (99)y=0(9-9)y = 0 serait vrai pour y=1y=1.
  • Donc (xy)=(01)\begin{pmatrix}x \\y\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\1\\\end{pmatrix}.

Édité par Blackline

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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Je prend une valeur arbitraire pour x, je choisi 1. C’est là que je ne comprend pas, le système devient faux… Mais admettons. Avec x=1 je trouve y=0.

C’est pas pour t’emmerder mais si ton système est faux c’est que tu t’es gouré. Est ce que (1, 0) est solution du système ?

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@Blackline: dans une matrice diagonale, les valeurs propres sont déjà sur la diagonale, donc le calcul du déterminant te redonne la même chose, en fait :p

@Wizix: Je suis d’accord avec ce que fait @Blackline pour λ=9\lambda = 9, dans le sens ou effectivement, une seule valeur de xx est possible, et c’est 0, par contre tu peux choisir une infinité de valeur pour yy, d’où le fait que la réponse soit (0,α)(0, \alpha) dans ce cas là (αR\alpha\in\mathbb{R}, donc 11, 1-1 ou π\pi conviennent). Et tu obtiens le vecteur (α,0)(\alpha, 0) pour λ=4\lambda = 4.

Bonus, et c’est normal (par définition), les vecteurs obtenus sont orthogonaux entre eux.

EDIT: grillé. Tout le monde est chaud ce matin.

Édité par pierre_24

#JeSuisToujoursArius • Doctorant et assistant en chimiedev' à temps partiel (co-réalisateur ZEP-12, recherche et template LaTeX)

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Pour faire le calcul du déterminant ?

det(ABCD)=ADBCdet\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\\\end{pmatrix} = AD - BC

Blackline

En fait, ce que veulent dire les autres membres (sans le dire plus clairement ¯_(ツ)_/¯)

C’est que (4X)(9X)(4-X)(9-X) c’est déjà assez claire que ses racines sont 4 et 9, un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul. Donc on a soit X=4X=4 soit X=9X=9. Pour le reste merci, j’ai revu mes définitions. 😃

Édité par ache

ache.one                 🦹         👾                                🦊

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:lol:

Un peu, mais au moins tu as tes définitions, et au passage tu prouves que le calcule des racines d’un polynome de degrès 2 ne te fais pas peur :pirate: !

ache.one                 🦹         👾                                🦊

+1 -0

Tout le monde est chaud ce matin.

@Pierre_24

C’est vrai ça :o

un polynome de degrès 2 ne te fais pas peur

@ache

La mega-classe t’as vue ça xD !


C’est chiant, souvent en chimie les mathématiques on ne s’en sert plus genre pendant 6 mois. Après on oublie trop de chose surtout pour les "petits trucs con" qui permette de mieux comprendre ce qu’on fait…

Genre rien que dans mon post sur la mécanique du solide, je ne savais même plus utiliser les coordonnées sphériques et j’me rendait pas compte que c’était ça mon problème.

Édité par Blackline

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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C’est chiant, souvent en chimie les mathématiques on ne s’en sert plus genre pendant 6 mois. Après on oublie trop de chose surtout pour les "petits trucs con" qui permette de mieux comprendre ce qu’on fait…

Blackline

C’est vrai pour tous les domaines et c’est encore pire une fois que tu as arrêté les études "scolaire". On oublie tous les détails technique pour ne retenir que la forme générale, c’est terrible…

Perso je passe mon temps à re-apprendre des trucs que j’ai déjà appris (par contre la ou c’est gratifiant c’est que plus on les ré-apprend plus on les comprend en profondeur et on connecte les differents éléments).

Pour te dire il y a même des trucs sur lesquelles j’ai donné des cours ( donc sur lesquel j’avais bossé pour les préparer) et qu’un an plus tard j’ai "oublié" (alors forcement il faut pas grand chose pour réveiller la mémoire mais quand même quoi… merde !)

+2 -0

C’est vrai pour tous les domaines

Je précisais en chimie parce que :

  • Je connais le domaine :p
  • Et surtout parce que contrairement à la physique, on utilise quasiment pas d’outils mathématique. En chimie organique on utilise vaguement des produits en croix… Mais sinon quedale :)

Pour te dire il y a même des trucs sur lesquelles j’ai donné des cours ( donc sur lesquel j’avais bossé pour les préparer) et qu’un an plus tard j’ai "oublié" (alors forcement il faut pas grand chose pour réveiller la mémoire mais quand même quoi… merde !)

Je te comprend tellement :'(

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

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pour n’importe quelle matrice

Toute plaisanterie mise à part, ce n’est pas si trivial de généraliser la méthode à partir d’une application aussi particulière qu’une matrice 2 par 2 diagonale.

@Wizix tu mentionnais que certaines choses n’était pas hyper claires pour toi, quelles sont elles ?

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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Histoire de faire un peu de pub pour ceux qui connaissent pas, hésitez pas à regarder les superbes vidéos de 3blue1brown sur l’algèbre linéaire (et les autres !). Perso c’est ça qui m’a fait vraiment comprendre le sens géométrique des valeurs/vecteurs propres. Avant je savais les calculer ou décrire mathématiquement, mais j’aurai été incapable de dire "réellement" ce qui se cache derrière le concept !

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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@adri1: La méthode me semble généralisable au moins à toute matrice diagonale et même à toute matrice carrée de taille nn. La méthode devient difficile pour un humain même avec une dimension assez faible et difficile pour un ordinateur à partir de nn pas trop grand (j’ai pas d’idée d’autre de grandeur mais le calcule du polynome caractéristique me semble difficile même pour un ordinateur dès que nn suffisament grand) mais la méthode marche au moins théoriquement (Cherchez les racines de det(AIx)det(A-Ix), pour les valeurs propres puis résoudre le système associé à la matrice AIλkA-I\lambda_kλk\lambda_k est une des valeurs propres.)

Je me trompe ?

Édité par ache

ache.one                 🦹         👾                                🦊

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