Vecteurs propres d’une matrice

Bonjour,

J’ai un problème avec les vecteurs propres d’une matrice. Prenons la matrice suivante :

Pour la valeur propre 9, je trouve le vecteur (1 ; 0). Or je devrais trouver (-1 ; 0) et je ne vois pas d’où vient ce signe moins. En posant mon système je trouve :

Je prend x = 1 ce qui me donne y = 0. J’avoue que la methode pour trouver les vecteurs propres ce n’est pas très clair dans ma tête…

Merci à vous !

Est ce que tu pourrais développer un peu ta méthode ? Je crois que je vois d’ou vient ta faute, mais c’est pour être sur

Si je ne me trompe pas un vecteur propre, c’est :

Avec $\alpha$ un constante multiplicative non-nulle, $\alpha=-1$ fonctionne très bien pour retrouver le résultat corrigé par exemple. Mais j’crois pas que ce soit important.

Je prend ma matrice en la soustrayant avec la matrice $aI$ :

En prenant $a = 9$ j’obtiens la matrice suivante :

Soit le système suivant :

Je prend une valeur arbitraire pour $x$, je choisi 1. C’est là que je ne comprend pas, le système devient faux… Mais admettons. Avec $x=1$ je trouve $y=0$.

J’essaye de trouver les valeurs propres, pour voir s’il n’y a pas de faute dans l’énoncé

Je prend ta matrice :

Recherche de valeur propre en cherchant un $\lambda$ dans la diagonale du déterminant :

Je cherche à résoudre le déterminant $2 \times 2$ à la main :

Obtention d’un équation du second dégrée :

On cherche le discriminant :

Deux valeurs propres possibles : $\lambda_1,\;\lambda_2$, car $\Delta > 0$

Pour correspondre à ton exercice, je vais chercher avec $\lambda_2$ ton vecteur.

Du coups j’utilise la valeur propre qui est correcte pour trouver le vecteur propre

• $(4-9)x = 0$, n’est vrai que si $x=0$.
• $(9-9)y = 0$ serait vrai pour $y=1$.
• Donc $\begin{pmatrix}x \\y\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\1\\\end{pmatrix}$.

Pourquoi développer B quand il déjà sous forme factorisée ?

Je prend une valeur arbitraire pour x, je choisi 1. C’est là que je ne comprend pas, le système devient faux… Mais admettons. Avec x=1 je trouve y=0.

C’est pas pour t’emmerder mais si ton système est faux c’est que tu t’es gouré. Est ce que (1, 0) est solution du système ?

@Blackline: dans une matrice diagonale, les valeurs propres sont déjà sur la diagonale, donc le calcul du déterminant te redonne la même chose, en fait

@Wizix: Je suis d’accord avec ce que fait @Blackline pour $\lambda = 9$, dans le sens ou effectivement, une seule valeur de $x$ est possible, et c’est 0, par contre tu peux choisir une infinité de valeur pour $y$, d’où le fait que la réponse soit $(0, \alpha)$ dans ce cas là ($\alpha\in\mathbb{R}$, donc $1$, $-1$ ou $\pi$ conviennent). Et tu obtiens le vecteur $(\alpha, 0)$ pour $\lambda = 4$.

Bonus, et c’est normal (par définition), les vecteurs obtenus sont orthogonaux entre eux.

EDIT: grillé. Tout le monde est chaud ce matin.

Je dirais même que l’équation $-5x=0$ a pas 40 solutions possibles …

En fait, ce que veulent dire les autres membres (sans le dire plus clairement ¯_(ツ)_/¯)

C’est que $(4-X)(9-X)$ c’est déjà assez claire que ses racines sont 4 et 9, un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul. Donc on a soit $X=4$ soit $X=9$. Pour le reste merci, j’ai revu mes définitions. 😃

un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul

ça s’voit que j’ai pas les bons reflexes mdr ?

Un peu, mais au moins tu as tes définitions, et au passage tu prouves que le calcule des racines d’un polynome de degrès 2 ne te fais pas peur  !

C’est vrai ça

La mega-classe t’as vue ça xD !

C’est chiant, souvent en chimie les mathématiques on ne s’en sert plus genre pendant 6 mois. Après on oublie trop de chose surtout pour les "petits trucs con" qui permette de mieux comprendre ce qu’on fait…

Genre rien que dans mon post sur la mécanique du solide, je ne savais même plus utiliser les coordonnées sphériques et j’me rendait pas compte que c’était ça mon problème.

C’est vrai pour tous les domaines et c’est encore pire une fois que tu as arrêté les études "scolaire". On oublie tous les détails technique pour ne retenir que la forme générale, c’est terrible…

Perso je passe mon temps à re-apprendre des trucs que j’ai déjà appris (par contre la ou c’est gratifiant c’est que plus on les ré-apprend plus on les comprend en profondeur et on connecte les differents éléments).

Pour te dire il y a même des trucs sur lesquelles j’ai donné des cours ( donc sur lesquel j’avais bossé pour les préparer) et qu’un an plus tard j’ai "oublié" (alors forcement il faut pas grand chose pour réveiller la mémoire mais quand même quoi… merde !)

C’est vrai pour tous les domaines

Je précisais en chimie parce que :

• Je connais le domaine
• Et surtout parce que contrairement à la physique, on utilise quasiment pas d’outils mathématique. En chimie organique on utilise vaguement des produits en croix… Mais sinon quedale

Pour te dire il y a même des trucs sur lesquelles j’ai donné des cours ( donc sur lesquel j’avais bossé pour les préparer) et qu’un an plus tard j’ai "oublié" (alors forcement il faut pas grand chose pour réveiller la mémoire mais quand même quoi… merde !)

Je te comprend tellement

C’est la première fois que je vois autant de calculs pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice diagonale

Ouais mais au moins, il saura comment faire pour n’importe quelle matrice . Arretez de vous sur-moquez de moi

pour n’importe quelle matrice

Toute plaisanterie mise à part, ce n’est pas si trivial de généraliser la méthode à partir d’une application aussi particulière qu’une matrice 2 par 2 diagonale.

@Wizix tu mentionnais que certaines choses n’était pas hyper claires pour toi, quelles sont elles ?

Histoire de faire un peu de pub pour ceux qui connaissent pas, hésitez pas à regarder les superbes vidéos de 3blue1brown sur l’algèbre linéaire (et les autres !). Perso c’est ça qui m’a fait vraiment comprendre le sens géométrique des valeurs/vecteurs propres. Avant je savais les calculer ou décrire mathématiquement, mais j’aurai été incapable de dire "réellement" ce qui se cache derrière le concept !

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

@adri1: La méthode me semble généralisable au moins à toute matrice diagonale et même à toute matrice carrée de taille $n$. La méthode devient difficile pour un humain même avec une dimension assez faible et difficile pour un ordinateur à partir de $n$ pas trop grand (j’ai pas d’idée d’autre de grandeur mais le calcule du polynome caractéristique me semble difficile même pour un ordinateur dès que $n$ suffisament grand) mais la méthode marche au moins théoriquement (Cherchez les racines de $det(A-Ix)$, pour les valeurs propres puis résoudre le système associé à la matrice $A-I\lambda_k$ où $\lambda_k$ est une des valeurs propres.)

Je me trompe ?