Soit t une variable de temps exprimée en secondes ; I un courant électrique en ampères ; Q une charge électrique en coulombs, alors :
Idt=dtdQdt=dQ
Cependant, notre professeur a attiré notre attention sur le fait qu’on ne simplifie pas les dt dans ce cas-ci (ou sinon notre prof de math serait fâché)…
Je n’ai pas très bien compris à quoi il faisait allusion ?
Pourquoi ne simplifie-t-on pas les dt au sens "mathématique" ?
Existe-t-il une manière plus rigoureuse (sans erreur mathématique) de justifier que Idt = dQ ?
Quand tu notes dtdQ tu ne divises pas dQ par dt, tu dérives Q par rapport à t. Une façon de le dire avec les mains c’est "de combien je bouge en Q" (~ dQ) quand "je bouge en t" (~ dt)
Tu as raison, en toute rigueur dtdt est une fonction : la fonction dérivée par rapport à la variable t de la fonction qui a t associe t (autrement dit la fonction dérivée de la fonction identité). C’est bien la fonction constante qui à tout t associe 1.
En toute rigueur toujours, on doit écrire ddtdt(t) pour parler de son image, qui vaut toujours 1.
Maintenant, en physique, on aime bien garder une certaine souplesse dans les notations, pour parler de fonctions différentes avec les mêmes symboles.
Par exemple, la tension aux bornes d’une résistance constante est en toute généralité une fonction du temps u(t) et le courant i(t) qui la traverse également. On sait que ces deux choses sont reliées par la loi d’Ohm, de sorte qu’on peut écrire
u(t)=Ri(t)
Dans cette expression, on voit que le temps n’est pas tellement important dans cette relation et qu’on a en fait quelque chose du type :
u(i)=Ri
Dans les deux expressions, la grandeur u est inchangée (c’est toujours la tension aux bornes de la résistance), mais la fonction n’est pas vraiment la même : dans le premier cas, il s’agit d’une fonction du temps, et dans le deuxième cas, il s’agit d’une fonction du courant. Si on note ut le premier cas et ui le deuxième cas, on remarque que :
ut(t)=ui(i(t))
Reconnaître cette différence devient importante dans les cas de dérivation et d’intégration ou changement de variable, pour comprendre ce qu’on fait exactement.
Par exemple, il est possible, à la physicienne, de dériver u(t)=Ri(t) par i (qui est une fonction en toute rigueur. En faisant ça en vérité, on considère en fait l’expression u(i)=Ri, ce qui permet de calculer la dérivée normalement.
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