Problème conceptuel sur des sommations infinies composées

Bonjour/Bonsoir,

Semblerait-il que me revoilà. (Pour ceux qui s’en souviennent, je pense que dans les prochains mois je ferai un petit up sur le thread "À la quête du savoir !".

J’ai cherché à déterminer $f$ dans $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} f^{i}(x) = \pi$. Voici comment j’ai procédé :

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} f^{i}(x) = 1 + f(x) + f^2(x) + f^3(x) + \dots = \pi$.

Donc : $\displaystyle \mathcal{J} = \frac{f(x) + f^2(x) + f^3(x) + \dots}{f(x)} = \frac{\pi - 1}{f(x)}$, dans la mesure où $f$ ne s’annule pas.

Puis, on remarque que $\displaystyle \mathcal{J} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^{n} f^{i}(x)$, il en vient : $\displaystyle \frac{\pi - 1}{f(x)} = \pi$.

Ainsi $\displaystyle \frac{\pi - 1}{\pi} = 1 - \frac{1}{\pi} = f(x)$ (On remarque par ailleurs, que $f$ ne s’annule en effet pas).

On trouve finalement :

Tout d’abord, y-a-t’il une erreur ? Car, j’ai eu pu voir que manipuler des sommations infinies pouvait demander d’infinies précautions.

Dans la mesure où il n’y aurait pas d’erreur(s) : J’ai eu pu vérifier numériquement et ça converge en effet bien. On remarque par ailleurs que l’on peut remplacer $\pi$ par tout $x$ vérifiant $\displaystyle \frac{|x - 1|}{|x|} < 1$ (Condition) (merci Wolfram|Alpha).

Mais ce n’est bien entendu pas intéressant de définir un nombre par une expression de lui-même. Mais pour autant, et en continuant sur l’exemple de $\pi$, je me demandais si, par récursion, il était possible d’établir cela :

Ou d’une manière plus générale, égal à ce que l’on veut. Ce qui est conceptuellement gênant, la même expression permet de générer tout nombre vérifiant (Condition). Au risque de dire une bêtise, peut-être faut-il démontrer la constructibilité ? (Ouhla, ça me paraît un peu gros comme bêtise, mais je laisse dans le doute, si jamais c’est faux, j’imagine que l’on me le dira.)

Respectueusement,

Garnier Mathias.

Bonjour/Bonsoir,

Ça me fait juste penser aux fractions continuées

Je pensais exactement à cela. Mais j’ai eu pu être plus qu’évasif à ce sujet (je l’ai intégralement été, je ne l’ai même pas écrit).

On aurait : $\displaystyle \pi = \sum_{i = 0}^{+\infty}[(1, - \sum_{i = 0}^{+\infty}[(1, - \sum_{i = 0}^{+\infty}[1, \dots])^i])^i]$ (par l’utilisation des notations des fractions continues infinies ($[a_0, a_1, a_2, \dots]$), et, j’ai la nette impression de m’être trompé dans la rédaction de l’expression). Nous arrivons-donc, de nouveau, à deux problèmes précédemment soulevés : l’utilisation des "$\dots$", et la composition infinie.

pour que ça le soit tu es obligé de t’arrêter à un moment donné et de dire ce que tu as au dénominateur.

Dans le cas d’un nombre fini de fois, je comprends parfaitement, mais ça m’a l’air plus "tricky" lorsque l’infini intervient et s’immisce dans le calcul.

Remarque que $\pi$ n’apparaît même pas dans ton terme de gauche.

Je viens de me rendre compte, après quelques recherches, que ce que je fais correspond à cela : https://dms.umontreal.ca/~rousseac/chapitre_fraction_continue.pdf (page 1)(à la différence près qu’intervient dans le calcul de $\pi$ des sommations infinies et des puissances).

Suite à cela, Adri1, je ne comprends pas pourquoi la composition n’a pas de sens (dans la mesure d’un nombre de composition fini, je comprends, mais lorsque c’est infini, ça me semble "acceptable").

Merci beaucoup Freedom, je tâcherai de faire attention à cela, et j’avoue n’être que partiellement familier des suites géométriques (j’ai eu dû en utiliser certaines fois, mais je n’ai pas suivi de cours à ce sujet). Je vais aller faire des recherches.

Merci pour vos réponses,

Respectueusement,

Garnier Mathias

Bonjour/Bonsoir,

C’est pareil avec tes sommes, la façon dont tu mets les trois points nous laisse avec une expression qui est une fonction, pas un scalaire.

Je comprends bien mieux désormais, désolé si j’ai pu avoir mis du temps pour saisir. Il faut vraiment que je fasse plus attention. Merci beaucoup.

Donc, techniquement, si je cherche $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n k^i = \pi$ à la place de $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n f^i(x) = \pi$, le problème de mon abus de langage, (à vrai dire c’est même une faute à part entière,) est réglé ? (Dans la mesure où $k$ est un scalaire, et que ce n’est finalement plus qu’une fraction continue sans composition de fonctions douteuse, comme j’eus pu le faire.)

Si jamais c’est acceptable, on en (re)vient au fait que $k = 1 - \frac{1}{\pi}$, en outre, $\pi$ serait défini par une infinité de somme élevée à la $i$-ème puissance d’une infinité de fraction continue ? (Tout comme ce fut mis dans le premier message, à la dernière formule.)

C’est comme si on partait de $1=0+1$, puis qu’on en "déduisait" que $1=0+0+0+\dots$.

J’ai vraiment fait cela ? Je ne pensais pas avoir aussi abusivement utilisé les "$\dots$". (Le dernier point est bien un point dû à la ponctuation.)

Si ça avait du sens, on pourrait en fait l’appliquer à tout nombre plus grand que 1/21/2 (ou quelque chose comme ça) et tous seraient égaux.

Exactement, d’où par ailleurs, le titre du topic : "Problème conceptuel sur des sommations infinies composées", outre le "composé" qui s’avère désormais fallacieux; si comme vous le dites, cela avait du sens, ce serait problématique. Petit à petit je vois ce qui ne va pas, mais il reste encore quelques zones d’ombres. Pour reprendre l’exemple du polycopié de mon précédent message, avec le passage d’une fonction ($f(x)$) à un scalaire ($k$), ça m’a l’air envisageable (et on en revient au problème conceptuel), à moins qu’il existe une propriété des sommations infinies de fractions continues. Ou que je sois simplement à côté de la plaque. Mais, pour autant, je reste perplexe.

J’espère vraiment ne pas avoir l’air d’un pur et dur obstiné.

Respectueusement,

Garnier Mathias.

Donc, techniquement, si je cherche $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n k^i = \pi$ à la place de $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n f^i(x) = \pi$, le problème de mon abus de langage, (à vrai dire c’est même une faute à part entière,) est réglé ? (Dans la mesure où $k$ est un scalaire, et que ce n’est finalement plus qu’une fraction continue sans composition de fonctions douteuse, comme j’eus pu le faire.)

Tu n’as que des scalaires, là. $f$ est une fonction, mais $f^i(x)$ est bien un scalaire.

Pour reprendre l’exemple du polycopié de mon précédent message, avec le passage d’une fonction ($f(x)$) à un scalaire ($k$), ça m’a l’air envisageable (et on en revient au problème conceptuel), à moins qu’il existe une propriété des sommations infinies de fractions continues. Ou que je sois simplement à côté de la plaque. Mais, pour autant, je reste perplexe.

Euh… $f(x)$, c’est un scalaire. C’est l’image de $x$ par $f$. C’est $f$ tout court la fonction.

J’ai l’impression que ton problème est surtout que tu tentes de manipuler des choses un peu plus compliquées que ce que tu devrais. Soit sûr de maîtriser les notions sur lesquelles tu t’appuies (fonctions et limites notamment) avant de tenter des manipuler des choses plus subtiles sans la rigueur qui va avec. C’est bien d’essayer de se détacher d’une formalité trop rigide, mais c’est inutile si ça ne s’appuie pas sur des notions solides.

Essaie réellement de réécrire ce que tu veux sans ces $\cdots$.

La relation $\sum_n^\infty \left[1-\frac{1}{\sum\cdots}\right]^n=\pi$ se réécrit $\lim_{n\rightarrow\infty}f\circ^{(k)}f(x)=\pi$ où $\circ^{(k)}$ dénote la composée $k$ fois, avec $f(x) = \sum_n^\infty\left[1-\frac{1}{x}\right]^n$ (intervalle de définition à préciser, je te laisse le faire pour t’exercer).

Or, cette somme se réécrit $f(x) = \sum_n^\infty\left[1-\frac{1}{x}\right]^n=\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{x}\right)}=x$. A partir de là, tu devrais voir que ta première relation (pour te donner une élément intermédiaire $\forall n,f\circ^{(n)}f=f$) se réécrit juste $x=\pi$.

Pas exactement, la différence est que le $0+0+0+\cdots$ a un sens évident (qui n’est pas $1$), alors que dans ce que tu as fait, ton expression n’est même pas définie. Peut-être qu’un meilleur exemple est de partir de $1-(1-2) = 2$ pour arriver à $2 = 1-(1-(1-(1-\cdots)))$.

Pour ton passage de $\sum_{i=0}^∞ f(x)^i$ à $\sum_{i=0}^∞ k^i$, c’est effectivement déjà plus sensé de ne pas introduire de dépendance en $x$ artificiellement dans l’équation dont tu es parti, mais ça n’a rien à voir avec le problème que tu rencontres.

J’espère vraiment ne pas avoir l’air d’un pur et dur obstiné.

Je crois que tu as juste l’air de ne pas comprendre quelque chose… mais c’est difficile de voir quoi.

Par ailleurs tu as oublié des limites devant toutes les sommes dans ton expression, car pour tout $n$, la seule solution de $x = ∑_{i=0}^n (1-1/x)^i$ est $x=1$ ?