Calcul d'une dérivée partielle à plusieurs variables

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Auteur du sujet

Bonjour.

J’ai besoin d’un coup de main pour l’exercice suivant :
Soit f:R3Rf : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R une fonction différentiable homogène de degré nn, c’est-à-dire que f(λr)=λnf(r)f(\lambda \vec r) = \lambda^n f(\vec r) pour tout rR3\vec r \in \mathbb R^3 et pour tout λ0\lambda \geq 0.

Calculer fx\dfrac{\partial f}{\partial x}.

D’après mes calculs, pour tout rR3\vec r \in \mathbb R^3 :

fx(r)=λnf(r)\dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec r) = \lambda^n f'(\vec r)

Je pense que c’est une mauvaise réponse parce que je n’ai pas dérivé l’argument de la fonction ff, or sa dérivée étant un vecteur, ce n’est mathématiquement pas possible. Je pense pourtant savoir comment dériver une composée de fonctions, sauf qu’ici la formule ne semble pas fonctionner.

Edit : Merci d’avance pour votre aide !

Édité par anonyme

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Quels sont les calculs menant à la relation que tu as donnée ?

Je pense que c’est une mauvaise réponse parce que je n’ai pas dérivé l’argument de la fonction ff, or sa dérivée étant un vecteur, ce n’est mathématiquement pas possible.

Je n’ai rien compris à cette phrase. :( Dériver l’argument d’une fonction ? Est-ce que ff' dans ton équation dénote la dérivée partielle de ff par rapport à xx ?

Peut-être que c’est plus clair en coordonnées : f(λx,λy,λz)=λnf(x,y,z)f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^n f(x,y,z). On dérive cette relation en xx, ça donne quoi ?

Je comprends pas exactement ce qui est attendu comme réponse à "calculer fx\frac{\partial f}{\partial x}".

Ceci est une signature tellement longue qu’elle devrait faire plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle devrait faire plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle fait plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle fait plus de deux vaches. Ceci est une signature tellement vache qu’elle mange de l’herbe. By the way, I love people so smart they can even understand bullshit.

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Auteur du sujet

Quels sont les calculs menant à la relation que tu as donnée ?

Je m’excuse si c’était confus, je reprends mon raisonnement pas à pas.
Première étape triviale, définir la fonction recherchée :

fx:R3R:ufx(u)\dfrac{\partial f}{\partial x} : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R : \vec u \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec u)

Ensuite, j’ai posé r:=uλ\vec r := \dfrac{\vec u}{\lambda}

fx(u)=fx(λr)=λnfx(r)\dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec u) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda \vec r) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec r)       car ff est une fonction homogène de degré nn.

On dérive cette relation en xx, ça donne quoi ?

f(λ,0,0)=λnfx(x,y,z)f(\lambda, 0, 0) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)
J’ai l’impression d’avoir écrit une énorme bêtise, du coup je pense que mon souci vient de là.

Je comprends pas exactement ce qui est attendu comme réponse à "calculer df/dx"

Il s’agit d’une étape contenue dans une démonstration qui cherche à montrer que :

xfx+yfy+zfz=nfx \dfrac{\partial f}{\partial x} + y \dfrac{\partial f}{\partial y} + z \dfrac{\partial f}{\partial z}= nf

…est toujours vraie sous les conditions de l’énoncé.

edit :

Si c’est possible. Si tu dérives un vecteur de position par rapport au temps … tu obtiens bien un vecteur (le vecteur vitesse).

Effectivement, je m’étais mal exprimé.
Du coup, je retire ce que j’ai dit.

Édité par anonyme

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Ensuite, j’ai posé r:=uλ\vec r := \dfrac{\vec u}{\lambda}

fx(u)=fx(λr)=λnfx(r)\dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec u) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda \vec r) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec r)       car ff est une fonction homogène de degré nn.

Tu as fait comme si fx\frac{\partial f}{\partial x} était homogène de degré nn, ici.

J’ai l’impression que tu as fait la chose suivante (enfin j’invente un peu puisque tu n’as pas donné beaucoup de détail).

fx(λx,λy,λz)=x[f(λx,λy,λz)]=x[λnf(x,y,z)]=λnfx(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \frac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] = \frac{\partial}{\partial x}[\lambda^n f(x, y, z)] = \lambda^n \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)

Mais la première égalité est fausse ! Il ne faut pas confondre.

On dérive cette relation en xx, ça donne quoi ?

f(λ,0,0)=λnfx(x,y,z)f(\lambda, 0, 0) = \lambda^n \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)
J’ai l’impression d’avoir écrit une énorme bêtise, du coup je pense que mon souci vient de là.

Désolé mais je ne vois pas comment tu arrives à ça. Pour le terme de droite c’est bon, mais selon toi, la dérivée en xx de f(λx,λy,λz)f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) est f(λ,0,0)f(\lambda, 0, 0) ? Ça ne dépend même plus de yy ni de zz ? Là on a une fonction composée. Il s’agit de la composée de xλxx ↦ \lambda x et de xf(x,λy,λz)x ↦ f(x, \lambda y, \lambda z) (on fixe λ\lambda, yy et zz). Comment dériver une fonction composée ?

Il s’agit d’une étape contenue dans une démonstration qui cherche à montrer que :

xfx+yfy+zfz=nfx \dfrac{\partial f}{\partial x} + y \dfrac{\partial f}{\partial y} + z \dfrac{\partial f}{\partial z}= nf

…est toujours vraie sous les conditions de l’énoncé.

Je ne trouve pas que ce soit une très bonne idée de formuler cette relation en coordonnée et je n’ai aucune idée du chemin indiqué par l’exercice en "calculant fx\frac{\partial f}{\partial x}".

Mon conseil serait de réécrire cette relation sans coordonnées. Si tu n’y arrives pas, tu peux dériver en λ\lambda la relation f(λx,λy,λz)=λnf(x,y,z)f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^n f(x,y,z).

Ceci est une signature tellement longue qu’elle devrait faire plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle devrait faire plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle fait plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle fait plus de deux vaches. Ceci est une signature tellement vache qu’elle mange de l’herbe. By the way, I love people so smart they can even understand bullshit.

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Auteur du sujet

Mais la première égalité est fausse ! Il ne faut pas confondre.
Comment dériver une fonction composée ?

Ah oui je me suis trompé… du coup si j’ai bien compris, un exemple facile :

Soit fC1(R,R):f \in C^1(\mathbb R, \mathbb R) :

ddx[f(λx)]=λ dfdx(λx)\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}[f(\lambda x)] = \lambda \ \dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}(\lambda x)

Maintenant, je reprends le membre de gauche f(λx,λy,λz)f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) :

x[f(λx,λy,λz)]=fx(λx,λy,λz).x[λx]=λ fx(λx,λy,λz)\dfrac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] = \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) . \dfrac{\partial}{\partial x}[\lambda x] = \lambda \ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z)

Mon conseil serait de réécrire cette relation sans coordonnées. Si tu n’y arrives pas, tu peux dériver en λ la relation…

Avant ça, pourrais-tu vérifier ce que j’ai écrit ci-dessus ?

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Ce que tu as écrit ci-dessus est correct ! :)

Tu peux en déduire l’homogénéité de fx\frac{\partial f}{\partial x} d’ailleurs, mais en fait je ne crois pas que ce soit utile à l’exercice.

Ceci est une signature tellement longue qu’elle devrait faire plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle devrait faire plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle fait plus de deux lignes. Ceci est une signature tellement longue qu’elle fait plus de deux vaches. Ceci est une signature tellement vache qu’elle mange de l’herbe. By the way, I love people so smart they can even understand bullshit.

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Auteur du sujet

Mon conseil serait de réécrire cette relation sans coordonnées. Si tu n’y arrives pas, tu peux dériver en λ la relation…

Merci, j’ai essayé de me lancer mais je bloque un peu sur le membre de gauche :

λ[f(λx,λy,λz)]=x[f(λx,λy,λz)].λ(λx)+y[f(λx,λy,λz)].λ(λy)+z[f(λx,λy,λz)].λ(λz)=xx[f(λx,λy,λz)]+yy[f(λx,λy,λz)]+zz[f(λx,λy,λz)]=xfx(λx,λy,λz).x(λx)+yfy(λx,λy,λz).y(λy)+zfz(λx,λy,λz).z(λz)=λ [xfx(λx,λy,λz)+yfy(λx,λy,λz)+zfz(λx,λy,λz)]\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \lambda}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] &= \dfrac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)].\dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda x) + \dfrac{\partial}{\partial y}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)].\dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda y) + \dfrac{\partial}{\partial z}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)].\dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda z) \\ &= x \dfrac{\partial}{\partial x}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)]+ y \dfrac{\partial}{\partial y}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] + z \dfrac{\partial}{\partial z}[f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] \\ &= x \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z).\dfrac{\partial}{\partial x}(\lambda x) + y \dfrac{\partial f}{\partial y}(\lambda x, \lambda y, \lambda z).\dfrac{\partial}{\partial y}(\lambda y) + z \dfrac{\partial f}{\partial z}(\lambda x, \lambda y, \lambda z).\dfrac{\partial}{\partial z}(\lambda z) \\ &= \lambda \ [x \dfrac{\partial f}{\partial x}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) + y \dfrac{\partial f}{\partial y}(\lambda x, \lambda y, \lambda z) + z \dfrac{\partial f}{\partial z}(\lambda x, \lambda y, \lambda z)] \end{aligned}

J’ai pas l’impression que c’est ça.

Pour le membre de droite :

λ(λn f(x,y,z))=n λn1f(x,y,z)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda ^n \ f(x, y, z)) &= n\ \lambda ^{n-1} f(x, y, z) \end{aligned}

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