Expression mathématique et appartenance à un ensemble

Salut à tous.

D’avance j’invite chacune et chacun d’entre vous à corriger toute assertion qui se révélerait fausse dans mes propos. Nous sommes entre amateurs de mathématiques et je tiens à affirmer la justesse de mes propos et de mes connaissances.

Quand on veut exprimer mathématiquement que « a est un nombre réel », je pense avoir compris qu’il faut écrire :

$a \in \mathbb R$

Littéralement : « a appartient à l’ensemble des nombres réels ».

Je vois ensuite des choses comme « a et b sont deux nombres réels, et là, je vois ça :

$(a,b) \in \mathbb R²$

Littéralement, est-il correct de dire « a et b appartiennent à l’ensemble des réels » ? D’un point de vue de programmeur (déformation professionnelle oblige), je comprends « le tuple (a, b) appartient à l’ensemble des 2-tuples de réels » mais je cherche peut-être la m***e en disant ça ?

Et donc, quand je vois des notations comme $a,b \in \mathbb R$, que dois-je penser ? Que leur auteur a omis le $²$ par négligence ? Que cela signifie tout autre chose ?

Merci à vous,

(Mention spéciale à @adri1 et son tutoriel sur « Comment rédiger des maths sur Zeste de Savoir ? » qui est vraiment très bon.)

Tout à fait d’accord avec c_pages : les deux notations cohabitent en signifiant la même chose.

Cependant je réagit à l’ajout :

Tu as tout à fait raison, avec $\mathbf R^2$ il faut toujours se méfier : c’est un espace vectoriel avec une base canonique !

Pour ma part, je n’aime pas du tout la notation $(a,b)\in\mathbf R^2$, je la trouve inutilement plus lourde à écrire et lire … mais c’est une affaire de goût

Donc on ne peut pas considérer $\mathbf R^2$ comme un ensemble ?

Est-ce qu’un espace vectoriel est un ensemble ?

Je peux aller très loin dans les questions qui sembleront totalement stupides, mais si j’en suis rendu à utiliser le forum de Zeste de Savoir, c’est bien parce qu’on se perd facilement sur Wikipédia et qu’on trouve aussi un peu tout et n’importe quoi sur Internet.

Merci à tous pour vos réponses excellentes.

J’ai marqué le sujet en résolu mais cela ne ferme pas la discussion, au contraire. J’ai d’ailleurs été surpris par @Holosmos lorsqu’il a dit que tout ce que je connais en maths est un ensemble.

Est-ce que ça veut dire que, par exemple, $3$ est un ensemble qui ne contient que le chiffre 3 ?

Qu’en est-il de l’objet $\infty$ ?

Je pense qu’il va chercher un peu compliquer mais j’ai effectivement déjà vu un truc comme quoi. $\{\} = 0$, $\{\{\}\} = \{0\} = 1$, (l’ensemble de l’ensemble vide), $\{\{\}, \{\{\}\}\} = \{0, 1\} = 2$ et on continue à compter comme ça.

Voir Construction des entiers naturels sur Wikipédia. Holosmos aura certainement une meilleur réponse à t’apporter, sur à quoi ça sert (qui s’en sert ?), ou si c’est juste un jeu mathématique ? Et comment sont définit certains éléments particuliers.

D’un point de vue de programmeur (déformation professionnelle oblige), je comprends « le tuple (a, b) appartient à l’ensemble des 2-tuples de réels » mais je cherche peut-être la m***e en disant ça ?

En fait c’est aussi le point de vue du mathématicien : $2 \in \{2,3,4\}$ mais $\{2,3\} \notin \{2,3,4\}$. Pourtant, pour les raisons explicitées au-dessus, on s’autorise parfois des abus de notation (auxquels j’adhère également pour alléger un peu les compositions).

J’ai d’ailleurs été surpris par @Holosmos lorsqu’il a dit que tout ce que je connais en maths est un ensemble.

On peut raisonnablement se refuser à faire ici une théorie complète des ensemble. Tu peux voir un ensemble comme un sac contenant des objets (les éléments). On peut tout à fait construire un ensemble avec un seul élément (il me semble que ça s’appelle un singleton) : $\{3\}$ est un ensemble, mais aussi $\{\{1,2,3\}\}$ (c’est un ensemble qui contient un objet, qui est lui-même un ensemble !).

Je ne suis pas sûr que ta question ait un sens (j’y reviens plus bas). Pour la question de savoir si « tout est ensemble », @Holosmos et @ache ont apporté des éléments de réponses. Mais au quotidien, quand on manipule les objets « élémentaires » des mathématiques (nombres, fonctions, points du plan, etc.), ce n’est pas important que ces objets soient des ensembles. Je ne suis pas dans mon domaine de compétences, mais à ma connaissances, à part les logiciens et les gens qui font de l’informatique théorique, ces préoccupations passent un peu au second plan quand on fait des maths.

Quant à l’objet $\infty$, je ne suis pas certain d’avoir compris la question. D’abord parce que ce symbole peut recouvrir de multiples significations. C’est typiquement le cas dans les phrases « un ensemble est infini », « une fonction réelle tend vers $+\infty$ » et « telle fonction positive admet une intégrale infinie ». Formellement, dans tous les cas, on peut revenir aux fondements, et tout réécrire avec constructions d’ensembles. Mais personne n’a envie de faire cela, parce que cela ne sert… à rien.

Pour revenir sur ce que disait Holosmos : « Tout ce que tu connais en maths est un ensemble ». C’est vrai mathématiquement, mais dans la vraie vie, j’aurais plutôt tendance à dire : « Tout ce que tu connais en maths peut s’écrire comme un ensemble ».

Comme le dit ache, il y a par exemple des constructions explicites pour les entiers.

Ce qu’il faut savoir c’est qu’en théorie des ensembles (comme axiomatisée par ZFC) tout est ensemble ce qui permet de décrire les règles logiques de façon uniforme sur toutes les mathématiques en question. C’est une motivation logique très forte et très légitime.

La théorie des ensembles ZFC c’est là où vivent 90–95% des mathématiciens.

Quand on ne fait pas de la logique on n’y pense pas. Tout comme on pense rarement aux axiomes de Peano. Mais dans le contexte classique, ça prévaut et ça permet de faire des mathématiques même si c’est indirectement observable.

Un autre exemple comparable c’est la construction des réels par les coupures de Dedekind. C’est pas utilisable ailleurs que dans la construction, mais la construction est bien sûr nécessaire aux mathématiques des nombres réels (qui, disons le, sont importants)

Edit : un parallèle peut-être plus parlant est le suivant. En informatique tout est codé en bits. Pas besoin de savoir ça pour utiliser word, mais c’est un fait important pour l’existence même de l’ordinateur et des programmes. En maths c’est un peu ça : on a pas toujours besoin de savoir que tout est ensemble, mais c’est le cas

Je ne vois pas pourquoi on considèrerait que la notation $a, b \in \mathbb{R}$ serait "moins rigoureuse". Elle est tout aussi rigoureuse qu’une autre du moment qu’elle est clairement comprise comme une notation dont on connaît la signification: on peut écrire $x_1, \dots, x_n \in S$ pour dire que tous les objets $x_1, \dots, x_n$ appartiennent à l’ensemble $S$. On pourrait éventuellement dire qu’elle est moins standard, et qu’on préfère n’utilier que des notations standards pour éviter les particularismes locaux, mais en fait elle est tout à fait standard.

Tout ce que tu connais en maths est un ensemble (à moins que tu aies vu des choses très pointues).

Attention, je ne pense pas que ce soit la bonne façon de voire les choses. La question n’est pas de savoir si un objet "est un ensemble" (c’est toujours le cas quand on utilise des fondations ensemblistes comme ZFC, mais pas forcément pertinent et ça peut même donner lieu à des choses qui sont des erreurs conceptuelles en mathématiques usuelles, si on écrit $0 \in 3$ par exemple), mais si un objet "peut se voir comme un ensemble" et de quel "point de vue" précisément il est question dans le document qu’on lit, ce qui est généralement évident d’après le contexte.

Par exemple, on définira souvent une structure algébrique (un groupe, espace vectoriel, etc.) comme, techniquement, un n-uplet contenant un ensemble support et aussi quelques opérations sur cet ensemble. Mais on écrit $x \in G$, ou $x \in \mathbb{R}^2$, on ne pense évidemment pas à $G$ comme un n-uplet qui "est" un ensemble dans ZFC, mais au fait qu’on peut "voir" le groupe comme son ensemble de support (et donc utiliser le même nom pour les deux objets). Ces "visions" sont généralement cohérentes: on peut "voir" l’espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ comme un ensemble, ou bien on peut "voir" l’espace vectoriel $\mathbb{R}$ comme un ensemble et faire ensuite l’opération ensembliste $\_ ^ 2$, et dans tous les cas on "voit" le même ensemble au final.

Attention, je ne pense pas que ce soit la bonne façon de voire les choses. La question n’est pas de savoir si un objet "est un ensemble"

C’était pourtant bien la question.

mais si un objet "peut se voir comme un ensemble" et de quel "point de vue" précisément il est question dans le document qu’on lit, ce qui est généralement évident d’après le contexte.

Je ne comprends pas ce que tu dis là. Il n’est que très rarement question (i.e. quand on fait des choses plus fines que des ensembles) de savoir si tel machin est un ensemble ou non : parce que c’est toujours le cas !

Merci pour l’éclaircissement @gasche.

C’est parce que tu as introduit une confusion qui ne dépend pas de ZFC ou non. Quand tu parles du groupe G, il est toujours sous-entendu qu’on parle du triplet en question qui est un groupe. Quand on demande si G est un groupe, on oublie la structure de groupe mais ça n’est pas une question de ZFC ou non, mais seulement du sous-entendu que tu produis.