J’ai commencé (il y a 11 heures) la rédaction d’un tutoriel au doux nom
de « Les ensembles : les bases » et j’ai pour objectif de proposer en validation
un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans
limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos
du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à
l’adresse suivante :
edit (29/10/2021 à 00:30) : Il manque plein de choses :
les graphiques
correction de typographie
la fin
la partie sur l’ensemble vide (je viens de me rendre compte que j’ai même pas créé la section)
Peut-être une dernière partie d’exercices
Peut-être une partie un peu brainfuck avec des ensembles dont les éléments sont des ensembles
Néanmoins, comme ce tutoriel est tout de même à un stade plus avancé qu’une simple esquisse, je me suis permis de le mettre en bêta-test afin d’avoir vos retours sur la structure et l’approche utilisée.
Je suis ouvert à toutes les critiques, du moment qu’elles sont constructives, ce dont je ne doute pas vu l’ambiance générale ici.
Deux points tout de même :
Je n’ai pas mis l’ensemble des nombres décimaux, volontairement. Il est connu en France car il est inclus dans le programme scolaire français de seconde, mais il dépend de la représentation des nombres (décimale, hexadécimale, etc.)
Je compte faire une suite, Notions avancées, qui traitera de l’ensemble des parties, des paires, du produit cartésien (liste non-exhaustive). Mais je suis incapable d’écrire de gros cours d’une traite, donc je vais découper ça en plein de petits tutos !
A vos commentaires !
PS : D’ailleurs, il y a plein de typo au niveau des « et des ». Ils sont souvent pas remplacés, et l’espace insécable n’est jamais mis et il me semblait qu’ils étaient mis tout seul ?
En l’état, il s’agit d’ensembles numériques.
Peut être dire vers le début qu’on va se restreindre à ce domaine.
On peut citer par exemple l’ensemble des lettres de l’alphabet, l’ensemble des élèves d’une classe, et ainsi de suite.
Pour moi, la partie sur les ensembles numériques est un peu une distraction. Découvrir la notion abstraite d’ensemble est intéressant, voir des constructions précises des nombres est intéressant, mais ce sont deux sujets séparés qu’on gagne à traiter dans deux cours différents. J’aurais mieux vu des exemples (finis ou infinis) tirés de la vie courante, comme propose @etherpin (j’ajouterais: l’ensemble (infini) des années, l’ensemble des coups possibles dans une partie d’échec, l’ensemble des séquences de N coups possibles, l’ensembles des séquences de coups possibles, l’ensemble des paires au poker, etc.).
Des notions ensemblistes qu’il me semblerait intéressant de mentionner serait les propriétés des fonctions sur les ensembles: injections, surjections, bijections.
Et si on voulait aller plus loin: un peu de logique formelle. (Tous les x∈E ont la propriété P(x), il existe un x∈E tel que P(x), etc.)
(En fait c’était le programme des "maths modernes" au collège dans les années 70.)
En l’état, il s’agit d’ensembles numériques.
Peut être dire vers le début qu’on va se restreindre à ce domaine.
On peut citer par exemple l’ensemble des lettres de l’alphabet, l’ensemble des élèves d’une classe, et ainsi de suite.
Absolument, il s’agit d’ensembles numériques. Mon but est plus ou moins de faire un point avec les notions probablement vus en cours de mathématiques dans les différents milieux scolaires.
Néanmoins, je note tes exemples, et en intégreraient certainement certains !
Pour moi, la partie sur les ensembles numériques est un peu une distraction. Découvrir la notion abstraite d’ensemble est intéressant, voir des constructions précises des nombres est intéressant, mais ce sont deux sujets séparés qu’on gagne à traiter dans deux cours différents. J’aurais mieux vu des exemples (finis ou infinis) tirés de la vie courante, comme propose @etherpin (j’ajouterais: l’ensemble (infini) des années, l’ensemble des coups possibles dans une partie d’échec, l’ensemble des séquences de N coups possibles, l’ensembles des séquences de coups possibles, l’ensemble des paires au poker, etc.).
Des notions ensemblistes qu’il me semblerait intéressant de mentionner serait les propriétés des fonctions sur les ensembles: injections, surjections, bijections.
Et si on voulait aller plus loin: un peu de logique formelle. (Tous les x∈E ont la propriété P(x), il existe un x∈E tel que P(x), etc.)
(En fait c’était le programme des "maths modernes" au collège dans les années 70.)
Mon but avec les ensembles numériques étaient de tirer des exemples de la vie mathématique que les gens ont pu avoir. Je prends en compte les exemples.
La construction des ensembles de nombres va bien au-delà de ce cours. Tout juste ai-je hésité à parler des fractions de Weierstrass (première tentative historique de formalisation pour passer de Q à R).
De toute façon, cela n’a un sens de vouloir chercher à formaliser cette construction, que si le formalisme part de la base. Donc il faudrait sortir de la théorie naïve des ensembles.
Les notions de fonctions vont bien au-delà pour le moment. Pour faire ça proprement, il faudrait que j’arrive au produit cartésien au moins.
Tout comme les phrases logiques que je m’évertue à éviter.
Dans tous les cas, il s’agit de sujets que je souhaite traiter. Mais je ne parvenais pas à avancer dans un gros cours a priori, donc j’ai préféré tout diviser en mini-tuto qui se suivront.
edit du 29 Octobre 2021 à 17:30 J’ai rajouté les inclusions, et rajouté des exemples d’ensembles. Je pense que je ferai toutes les infographies à la toute fin quand il ne manquera plus que ça. En terme de contenu mathématique, je suis pas loin de la fin. Je pense proposer plusieurs propriétés des ∩ et ∪ en exercices. Ainsi qu’une partie "aller plus loin" avec des ensembles contenant des ensembles (et des ensembles transitifs en exercice direct d’application).
Mon but avec les ensembles numériques étaient de tirer des exemples de la vie mathématique que les gens ont pu avoir.
Je comprends l’idée, mais je pense que parler de rationnels et de réels est quand même une distraction. Personellement j’utiliserais seulement N ou Z; pour des exemples de sous-ensembles, on peut prendre "l’ensemble des nombres pairs", "l’ensemble des nombres de la forme 3k+2", "l’ensemble des nombres entre 0 et 99".
(La construction des fractions par exemple est un peu bizarre parce qu’elle est à la fois présentée de manière précise, mais sans le quotient de la "vraie" définition, avec en même temps une introduction très informelle, mais aussi des exemples pointus de différence rationnels/irrationnels.)
(La construction des fractions par exemple est un peu bizarre parce qu’elle est à la fois présentée de manière précise, mais sans le quotient de la "vraie" définition, avec en même temps une introduction très informelle, mais aussi des exemples pointus de différence rationnels/irrationnels.)
Remarque tout à fait pertinente ! Je vais lisser tout ça, inutile d’y passer trop de temps dans ce tutoriel, tu as tout à fait raison ! Merci pour ta remarque !
edit du 30/10/2021 à 16h30 J’ai modifié la présentation des ensembles de nombres histoire de ne pas m’attarder sur les détails techniques rationnels/irrationnels. J’ai rajouté la présentation de l’ensemble vide dans une section nouvellement créée traitant des conséquences du principe d’extensionnalité. La réunion et l’intersection ont aussi fait leur apparition. Il manque un paragraphe de propriétés assez faciles/immédiates.
*la crise des fondements qui survit durant la deuxième moitié du 19ème siècle, surtout dans les universités allemandes (Berlin et Göttingen en tête).
Je trouve ça bizarre de parler de ça sans étoffer. Je trouve que tu devrais soit ne pas en parler, soit expliquer en quelques mots ce qu’est cette crise et pourquoi elle a amené les ensembles à devenir l’un des concepts les plus utilisés en mathématiques.
Ainsi, «1 est plus petit que 2» peut s’écrire symboliquement 1 ≤ 2.
Bon, c’est du pinaillage mais ≤ signifie "plus petit que ou égal à"
Plutôt que de les écrire sous forme de diagramme patate (officiellement appelé diagramme de Venn)
Il me semble que cette affirmation est fausse. Les diagrammes de Venn sont des diagrammes particuliers qui montrent les relations (et intersections) entre plusieurs ensembles. Mais des gens plus érudits mathématiquement que moi pourront confirmer / infirmer.
Ici, je vais raconter des choses un peu fausses, mais pas totalement. L’idée est de vous présenter un ensemble un peu inattendu : ∅
Une petite astérisque ou note ou quelque chose pour expliquer en quelques mots pourquoi ce qui est expliqué est faux serait utile.
Le y nous embête un peu, on va le mettre dans les voyelles même si c’est en réalité plus compliqué
À ma connaissance, y est une voyelle et ce n’est pas plus compliqué. Et même si ce n’est pas le cas, cette petite parenthèse me semble plus distraire du sujet qu’autre chose donc je pense que ce serait mieux de l’enlever.
J’ai décidé de noter les noms de couleurs avec une police un peu bizarre pour augmenter la lisibilité, ça n’a aucune incidence sur le sens mathématique de C;
Idem ici, je pense que personne ne va se demander pourquoi la police est différente donc je ne vois pas trop l’intérêt de cette note.
Le seul défaut étant qu’on doit utiliser des …\ldots… parce qu’il y a <<beaucoup>> d’entiers naturels, m’voyez ?
Je comprends que c’est difficile d’en parler dans un tutoriel sur les bases des ensembles mais ce serait pas mal d’introduire rapidement le fait que les ensembles puissent être infinis. Je sais que c’est mentionné plus haut mais je trouve que ce serait bien de le rappeler ici quand on présente le premier ensemble infini du tutoriel.
En particulier, je trouve intéressant plus loin dans le tutoriel de remarquer que bien que N est un sous-ensemble de R, N est bet et bien infini.
Maintenant, nous allons passer du côté obscur de la force ! Nous allons passer du côté des nombres négatifs !
Ne partez pas ! Nous n’allons même pas faire de calculs avec ! Reprenons notre représentation de N. Nous partons de 0 et telle une puce, nous sautons vers la droite d’entiers en entiers. Sauf que notre puce n’est pas comme les autres ! Et elle aime bien tester de nouvelles choses, et pouvoir faire des sauts de puce … vers la gauche
Encore du pinaillage ici mais je pense que de nos jours, personne n’est choqué d’entendre parler de nombres négatifs et je trouve que ce passage sonne un peu bizarre (prend le lecteur pour quelqu’un d’un peu bête). Mais ce n’est qu’un ressenti personnel donc je suis peut-être le seul à penser ça.
Dans natürliche Zahlen, il y a natürlich qui signifie naturels et Zahlen qui signifie nombres. Et comme les entiers négatifs.
Je pense que la seconde phrase n’est pas terminée / est incorrecte.
On appelle les chiffres après la virgule la mantisse. Ainsi, 3.0 a une mantisse de 0 et 2.1 a une mantisse de 0.1 ou de 1 (ça dépend des conventions).
Je trouve que cette note n’ajoute rien au contenu.
Il y a une caste de nombres réels particuliers […] qu’on appelle les nombres rationnels.
Je trouve l’organisation bizarre. On introduit d’abord les naturels puis les entiers dans l’ordre puis on parle des réels pour en fait revenir sur les rationnels. Pourquoi ne pas parler des rationnels avant de parler des réels pour continuer l’ordre logique ?
Evidemment, tous les nombres entiers sont des nombres rationnels puisqu’on peut les diviser par 1 et retomber sur eux (par exemple 4÷1=4, donc 4 est un nombre rationnel).
En utilisant cette logique, π est rationnel car π÷1=π
Dans ce cas, on note E⊂F.
Précédemment, on a introduit la notation ∈. Il serait bon d’explique quelle est la différence entre ∈ et ⊂.
Evidemment, tous les nombres entiers sont des nombres rationnels puisqu’on peut les diviser par 1 et retomber sur eux (par exemple 4÷1=4, donc 4 est un nombre rationnel).
En utilisant cette logique, π est rationnel car π÷1=π
J’ai pris en compte certaine de tes remarques (elles sont pour la plupart pertinentes). J’y réponds quand c’est nécessaire.
*la crise des fondements qui survit durant la deuxième moitié du 19ème siècle, surtout dans les universités allemandes (Berlin et Göttingen en tête).
Je trouve ça bizarre de parler de ça sans étoffer. Je trouve que tu devrais soit ne pas en parler, soit expliquer en quelques mots ce qu’est cette crise et pourquoi elle a amené les ensembles à devenir l’un des concepts les plus utilisés en mathématiques.
Ainsi, «1 est plus petit que 2» peut s’écrire symboliquement 1 ≤ 2.
Bon, c’est du pinaillage mais ≤ signifie "plus petit que ou égal à"
Pris en compte, ça apparaîtra lors de la prochaine bêta !
Plutôt que de les écrire sous forme de diagramme patate (officiellement appelé diagramme de Venn)
Il me semble que cette affirmation est fausse. Les diagrammes de Venn sont des diagrammes particuliers qui montrent les relations (et intersections) entre plusieurs ensembles. Mais des gens plus érudits mathématiquement que moi pourront confirmer / infirmer.
La notion de diagramme de Venn est flou en réalité. Mais d’une part, dans l’idée, diagramme patate et diagramme de Venn constitue une même approche, et d’autre part, tous mes cours de maths qui ont un jour utilisé le mot "diagramme patate" ont un jour précisé que leur vrai nom était "diagramme patate".
Peut-être serait-il plus précis de dire que "les diagrammes patate sont des diagrammes de Venn et pas forcément l’inverse", mais d’une part pas sûr que ce soit juste, et d’autre part, je pense que c’est à un degré de pinaillage un peu trop élevé.
Ici, je vais raconter des choses un peu fausses, mais pas totalement. L’idée est de vous présenter un ensemble un peu inattendu : ∅
Une petite astérisque ou note ou quelque chose pour expliquer en quelques mots pourquoi ce qui est expliqué est faux serait utile.
Bétâ-ifié aussi !
Le y nous embête un peu, on va le mettre dans les voyelles même si c’est en réalité plus compliqué
À ma connaissance, y est une voyelle et ce n’est pas plus compliqué. Et même si ce n’est pas le cas, cette petite parenthèse me semble plus distraire du sujet qu’autre chose donc je pense que ce serait mieux de l’enlever.
Non, justement, on nous enseigne que y est une voyelle, mais c’est genre absolument faux. C’est une semi-consonne dans 99% du temps en réalité. yaourt, yack etc. sont des mots où le y joue le rôle de demi-i.
Sauf qu’on le considère historiquement comme une voyelle car c’est l’écriture de upsilon, qu’il s’est dit u dans beaucoup de langues, etc. Bref, en fait, le y n’est ni une voyelle ni une consonne.
Je persiste et signe sur mon aparté, mais je peux la rendre plus lisse.
Le seul défaut étant qu’on doit utiliser des …\ldots… parce qu’il y a <<beaucoup>> d’entiers naturels, m’voyez ?
Je comprends que c’est difficile d’en parler dans un tutoriel sur les bases des ensembles mais ce serait pas mal d’introduire rapidement le fait que les ensembles puissent être infinis. Je sais que c’est mentionné plus haut mais je trouve que ce serait bien de le rappeler ici quand on présente le premier ensemble infini du tutoriel.
En particulier, je trouve intéressant plus loin dans le tutoriel de remarquer que bien que N est un sous-ensemble de R, N est bet et bien infini.
Je vais y réfléchir. Introduire des ensembles demande déjà du doigté. Et en fait, c’est précisément ce que je fais en disant que j’utilise des … et qu’on peut pas faire autrement. Je vais voir.
Encore du pinaillage ici mais je pense que de nos jours, personne n’est choqué d’entendre parler de nombres négatifs et je trouve que ce passage sonne un peu bizarre (prend le lecteur pour quelqu’un d’un peu bête). Mais ce n’est qu’un ressenti personnel donc je suis peut-être le seul à penser ça.
Je me suis posé la question. Pour avoir enseigné en seconde (et à de très bons secondes même), je peux t’affirmer que les nombres négatifs sont très loin d’être compris. Mais je m’étais déjà noté quelque part qu’il fallait que je parle d’exemples plus concrets à base de température par exemple.
Je pense que la seconde phrase n’est pas terminée / est incorrecte.
Woops. Oui.
On appelle les chiffres après la virgule la mantisse. Ainsi, 3.0 a une mantisse de 0 et 2.1 a une mantisse de 0.1 ou de 1 (ça dépend des conventions).
Je trouve que cette note n’ajoute rien au contenu.
J’y ai réfléchi, et j’y reréfléchirai.
Il y a une caste de nombres réels particuliers […] qu’on appelle les nombres rationnels.
Je trouve l’organisation bizarre. On introduit d’abord les naturels puis les entiers dans l’ordre puis on parle des réels pour en fait revenir sur les rationnels. Pourquoi ne pas parler des rationnels avant de parler des réels pour continuer l’ordre logique ?
ALORS. Dans la première version du cours, je suivais l’ordre d’inclusion. Sauf que pour parler de nombres rationnels. Il faut diviser. Pour pouvoir diviser, il faut parler de nombres à virgules (idée auxquels les gens peuvent se raccrocher). Et j’ai décidé de donner un cadre aux nombres à virgules.
Sinon, il faut passer par les fractions, et comme le faisait à juste titre remarquer quelqu’un plus haut (ma réponse ici : https://zestedesavoir.com/forums/sujet/15811/les-ensembles-les-bases/#p238672 ), je passais trop de temps à introduire les fractions pour un tutoriel sur les ensembles. Donc j’ai préféré aller au plus direct, et je pense a posteriori que c’est la meilleure approche pour un cours sur les ensembles.
Mais il faudrait que je dise qu’on les voit avant dans le cursus scolaire d’habitude (bref, que je fasse une note qui explique le cheminement pédagogique dans le cours). J’y réfléchis.
Précédemment, on a introduit la notation ∈. Il serait bon d’explique quelle est la différence entre ∈ et ⊂.
What a point ! C’est pertinent. Mais comme tu l’as sans doute remarqué, la fin se termine encore un peu en eaux de boudin. Je vais certainement en parler un peu à la fin. Mais comme dans le prochain "Les ensembles : Notions avancées" ça va commencer par "des ensembles d’ensembles", 'jaurais tout le temps d’y revenri à ce moment-là
edit du 10 Nov 2021 à 21h30 : j’ai essentiellement rajouté ce que je voulais rajouter (j’avais oubié le complémentaire). Il n’y aura pas de nouvelles parties. Il reste à relire, lisser, les exos de la fin, et tous les dessins !
Historiquement, les nombres négatifs sont arrivés assez tardivement en Occident (15ème-16ème siècle) et étaient largement considérés comme contre-nature et comme des nombres impossibles et qui ne devraient pas exister car ils n’avaient pas de sens.
Je suppose que le -a est en trop.
Il faudrait justifier en quoi les nombres négatifs sont "impossibles". Par exemple :
Historiquement, les nombres négatifs sont arrivés assez tardivement en Occident (15ème-16ème siècle. Ce qui gêne avec les nombres négatifs, c’est qu’il n’y a pas d’ensemble qui ait moins d’élément que l’ensemble vide : les nombres négatifs sont en quelque sorte impossibles, contre nature.
Absolument pas ! C’est un schwa ( /ə/ , qui est le symbole pour représenter la voyelle inarticulée ou un le e-prépausal), une blagounette en référence à https://www.youtube.com/watch?v=gjW3SImrdc4
Il faudrait justifier en quoi les nombres négatifs sont "impossibles". Par exemple :
Historiquement, les nombres négatifs sont arrivés assez tardivement en Occident (15ème-16ème siècle. Ce qui gêne avec les nombres négatifs, c’est qu’il n’y a pas d’ensemble qui ait moins d’élément que l’ensemble vide : les nombres négatifs sont en quelque sorte impossibles, contre nature.
Les images sont bien trop grosses à mon goût. Pour mes tutoriels, sur des images avec les proportions que tu as, je pars en général sur des hauteurs de l’ordre de 150–200 px (voir par exemple ici ou là).
La taille exacte dépend de le détail d’information que tu veux. Moins il y en a, plus tu peux mettre petit (pas trop quand même), qui à grossir l’information. Dans ton cas, ça voudrait dire faire des points plus gros et une patate aux bords un peu plus épais.
L’image ci-dessous fait 160 px de haut par exemple et je trouve ça lisible.
Ce court tutoriel a pour but de vous présenter les ensembles, certainement l’un des concepts les plus utilisés en mathématiques, depuis un grand événement mathématiques appelé la crise des fondements qui survint durant la deuxième moitié du 19ème siècle, surtout dans les universités allemandes (Berlin et Göttingen en tête). Cette crise s’attacha à répondre aux fondements : «Qu’est-ce qu’un nombre ?», «qu’est-ce qu’une droite ?», «qu’est-ce que l’infini ?», «qu’est-ce qu’un raisonnement ?» furent autant de questions qui intéressèrent les mathématiciens d’alors.
C’est quand même factuellement pas très juste, et du moins très maladroit. On pourrait se passer de ce commentaire.
théorie naïve des ensembles.
ça n’est naïf que de nom
La « vraie » théorie des ensembles consistent en un ensemble d’axiomes nécessitant une compréhension aiguë du formalisme mathématique, alors que ce cours se veut accessible au tout-venant.
Du coup la référence à la crise des fondements est sans intérêt.
dire que « 1 est un élément de E » signifie la même chose que de dire « 1∈E » ou « E contient 1 ».
J’aurais plutôt tendance à dire qu’un ensemble contient des sous-ensembles, mais pas des éléments. La contenance ⊂ est différente de l’appartenance ∈.
Mais la définition donnée au début de cette section demeure : « un ensemble est un truc qui contient des trucs »
Ce qui malheureusement contredit l’intérêt de définir les ensembles, puisqu’on veut exactement éviter les paradoxes à base de "l’ensemble qui contient les ensembles".
Considérons deux ensembles E={1;2} et F={2;1}
C’est pas commun les points-virgules, les virgules sont plus usuelles.
Les ensembles ne sont qu’un container, et l’écriture de E n’est qu’une écriture un peu bizarre.
C’est peu compréhensible
Pourquoi ce que j’ai dit ici est un peu faux ? Car le principe d’extensionnalité affirme qu’un ensemble est caractérisé par ses éléments. Cela signifie donc que si il existe plusieurs ensembles qui n’ont aucun ensemble, alors ils sont tous égaux.
Maintenant question : qu’est-ce qui nous permet d’affirmer que de tels ensembles existent ? En réalité, absolument rien. En théorie non-naïve des ensembles, on s’attarderait sur ce problème. Ici, nous allons l’ignorer. L’ensemble existe. Point. J’ai juste profité d’un coin de cours pour vous faire voir les limites de notre approche naïve.
Je vois pas l’intérêt de ce commentaire si on ne fait pas complètement l’approche axiomatique.
En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées, les plus grandes écoles de mathématiques étaient allemandes, et l’allemand était de fait la langue des plus grands mathématiciens de l’époque.
À moins d’être nationnaliste allemand, je vois pas pour quoi dire un truc aussi faux.
Si l’école de logique est en bonne partie allemande, c’est aller un peu vite en besogne en disant que les allemands avaient les plus grandes écoles de mathématiques et les plus grands mathématiciens.
Historiquement, les nombres négatifs sont arrivés assez tardivement en Occident (15ème-16ème siècle) et étaient largement considérés comme contre-nature et comme des nombres impossibles et qui ne devraient pas exister car ils n’avaient pas de sens. En effet, les nombres servaient à compter des quantités, mais que donc représentent ces quantités négatives ?
C’est plus discutable que ça. Le problème avec ce commentaire c’est qu’il n’est pas historique mais contemporain. Les nombres négatifs tels qu’on les voit aujourd’hui n’existaient pas tels quels mais on a pas attendu des siècles pour faire des soustractions …
Jusqu’ici nous n’avons vu que des nombres entiers. «Être un nombre entier» signifie «n’avoir aucun chiffre après la virgule (ou n’avoir que des 0, c’est pareil)».
Par exemple, 3.0=3 est un nombre entier. Alors que 2.1 n’est pas entier.
Du coup c’est dommage d’écrire des virgules comme des points.
qu’on appelle les nombres rationnels. Ce sont ceux qui s’expriment comme le résultat de la division entre deux entiers.
entiers relatifs
Autrement dit, ⊂ se fait toujours entre deux ensembles, alors que ∈ se fait entre un élément et un ensemble.
Ce commentaire me gène beaucoup, car toute la force de la notion d’ensemble est quelle fait disparaître tout le reste : tout est ensemble (sauf si on fait des catégories, mais bon, qui ici en fait?). Ça n’a pas de sens sémantique de distinguer un élément d’un ensemble.
C’est quand même factuellement pas très juste, et du moins très maladroit. On pourrait se passer de ce commentaire.
Très maladroit, oui, le reste, on pourrait ergoter.
théorie naïve des ensembles.
ça n’est naïf que de nom
Oui et non. Sans cadre de théorie des modèles ou au moins d’univers cadre, cela demeure naïf. Le paradoxe de Russel typiquement.
La « vraie » théorie des ensembles consistent en un ensemble d’axiomes nécessitant une compréhension aiguë du formalisme mathématique, alors que ce cours se veut accessible au tout-venant.
Du coup la référence à la crise des fondements est sans intérêt.
A terme, présenter le paradoxe de Russel est dans ma todo list. Impossible de comprendre ce qu’il est vis-à-vis de ce cours si on ne dit pas que cette théorie n’est qu’une première approximation très pratique.
dire que « 1 est un élément de E » signifie la même chose que de dire « 1∈E » ou « E contient 1 ».
J’aurais plutôt tendance à dire qu’un ensemble contient des sous-ensembles, mais pas des éléments. La contenance ⊂ est différente de l’appartenance ∈.
Pas d’accord. Mais c’est une question de vocabulaire.
Mais la définition donnée au début de cette section demeure : « un ensemble est un truc qui contient des trucs »
Ce qui malheureusement contredit l’intérêt de définir les ensembles, puisqu’on veut exactement éviter les paradoxes à base de "l’ensemble qui contient les ensembles".
Il faut malheureusement commencer quelque part. Et on ne peut malheureusement pas éviter ce genre de paradoxes sans introduire les schémas d’axiome qui permettent de dire à quelle condition on peut définir un ensemble.
Considérons deux ensembles E={1;2} et F={2;1}
C’est pas commun les points-virgules, les virgules sont plus usuelles.
J’ai décidé d’adopter cette convention suite à des élèves qui ont été très confus sur l’utilisation de virgule. De même, j’utilise des points plus loin. Je suis sûr qu’il n’y aura pas de confusion.
Les ensembles ne sont qu’un container, et l’écriture de E n’est qu’une écriture un peu bizarre.
C’est peu compréhensible
D’accord.
Pourquoi ce que j’ai dit ici est un peu faux ? Car le principe d’extensionnalité affirme qu’un ensemble est caractérisé par ses éléments. Cela signifie donc que si il existe plusieurs ensembles qui n’ont aucun ensemble, alors ils sont tous égaux.
Maintenant question : qu’est-ce qui nous permet d’affirmer que de tels ensembles existent ? En réalité, absolument rien. En théorie non-naïve des ensembles, on s’attarderait sur ce problème. Ici, nous allons l’ignorer. L’ensemble existe. Point. J’ai juste profité d’un coin de cours pour vous faire voir les limites de notre approche naïve.
Je vois pas l’intérêt de ce commentaire si on ne fait pas complètement l’approche axiomatique.
Introduire la notion d’existence et d’unicité. Et ne pas vouloir passer par l’approche entièrement axiomatique ne veut pas dire ne pas y jeter un œil de temps à autre.
En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées, les plus grandes écoles de mathématiques étaient allemandes, et l’allemand était de fait la langue des plus grands mathématiciens de l’époque.
À moins d’être nationnaliste allemand, je vois pas pour quoi dire un truc aussi faux.
Si l’école de logique est en bonne partie allemande, c’est aller un peu vite en besogne en disant que les allemands avaient les plus grandes écoles de mathématiques et les plus grands mathématiciens.
Weierstrass, Cantor, Dedekind, Kummer, Kronecker, Dirichlet, Hurwitz, Zermelo, Fraenkel, Löwenheim … La plupart des mathématiciens qui ont participé à l’axiomatisation des réels (1870~1910) et de la théorie des ensembles étaient des écoles allemandes : Berlin, Göttingen, Könnigsberg en tête (sauf Skolem qui est norvégien). Je ne néglige pas l’importance de Bolzano ou de de Méray, mais ils sont antérieurs aux autres. (Source : Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse par Jacqueline Boniface)
C’est plus discutable que ça. Le problème avec ce commentaire c’est qu’il n’est pas historique mais contemporain. Les nombres négatifs tels qu’on les voit aujourd’hui n’existaient pas tels quels mais on a pas attendu des siècles pour faire des soustractions …
J’ai mémoire d’avoir vu des articles d’Euler qui étaient assez virulents contre les nombres négatifs.
qu’on appelle les nombres rationnels. Ce sont ceux qui s’expriment comme le résultat de la division entre deux entiers.
entiers relatifs
Inutile de préciser, ce n’est pas le propos :-)
Autrement dit, ⊂ se fait toujours entre deux ensembles, alors que ∈ se fait entre un élément et un ensemble.
Ce commentaire me gène beaucoup, car toute la force de la notion d’ensemble est quelle fait disparaître tout le reste : tout est ensemble (sauf si on fait des catégories, mais bon, qui ici en fait?). Ça n’a pas de sens sémantique de distinguer un élément d’un ensemble.
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Ne partez pas ! Nous n’allons même pas faire de calculs avec ! Reprenons notre représentation de N. Nous partons de 0 et telle une puce, nous sautons vers la droite d’entiers en entiers. Sauf que notre puce n’est pas comme les autres ! Et elle aime bien tester de nouvelles choses, et pouvoir faire des sauts de puce … vers la gauche 
