Que voudriez-vous voir dans un tuto sur les pourcentages ?

Salut les agrumes,

Une ènième erreur sur un calcul de pourcentage¹ a achevé de me convaincre que le monde francophone a besoin d’un tuto, si possible court et didactique, pour expliquer les pièges des pourcentages et comment éviter de se planter dans les calculs – c’est beaucoup trop facile.

J’aimerais donc savoir s’il y a des points particuliers que vous aimeriez lire dans un tel tuto, ou ce qui vous ferait lire un tel tuto. Ça me permettrait d’être plus efficace.

De même, si vous voulez donner un coup de main, n’hésitez pas !

Là comme ça je dirais :

• différence entre % et point, quand utiliser l’un ou l’autre et repérer quand les journaux se sont plantés là-dessus,
• la fait qu’une expression telle que $x + 42 \%$ pour exprimer en réalité $x·1,42$ est problématique et sujette à confusion,
• comment ajouter ou enlever $x\%$ avec des simples multiplications (rappels de collège).

Je pense qu’un point important à aborder est celui des opérations possibles sur les pourcentages.

Par exemple on sait qu’on peut les multiplier parce qu’on voit à quoi ça se rapport (x × y%)

Mais qu’en est-il de l’addition (x + y%, y% + z%), quel sens on peut lui donner, quand est-ce que ça en a, etc.
Pour ça je pense qu’il est aussi inévitable de s’abstraire à un moment de la notation de pourcentage pour formaliser avec des opérations simples et ensuite définir ce que peut signifier ce % selon le contexte.

Salut,

J’ai l’impression que l’erreur que tu lèves est un problème des langages humains plutôt qu’une erreur de calcul. Quand on dit "le prix a augmenté d’un facteur 3", c’est pas pareil que "le prix a augmenté de 300%" alors que 300% est juste une manière compliquée d’écrire "facteur 3". Le fait que le premier signifie que le prix a été multiplié par 3 et que le second signifie que le prix a été multiplié par 4 est une bizarrerie du langage humain qui fait qu’on réserve en général les pourcentages à une différence relative plutôt qu’un truc fondamentalement mathématique.

Il y a des cas où ça se casse la gueule d’ailleurs. Si on imagine qu’un article en solde est passé d’une réduction de 10% à une réduction de 20%, est-ce qu’on doit dire que la réduction a augmenté (!) de 10%, ou bien de 100% ? Similairement, si une part de marché est passée de 1/5 à 3/5, est-ce qu’elle a augmentée de 2/5, de 40%, de 200%, d’un facteur 3 ? Toutes ces formulations peuvent être interprétées correctement ou non suivant le contexte, et c’est une limite du langage humain qui est trop imprécis pour représenter de façon univoque beaucoup de calculs simples.

Je pense que c’est le genre de réflexion que j’aimerais voir plus souvent que de prétendre que le problème est forcément une mauvaise compréhension de comment les pourcentages fonctionnent (ce qui n’est pas non plus un combat gagné, c’est sûr).

Les 5 erreurs que je rencontre le plus souvent :

• multiplier deux pourcentages (A possède 50 % d’une maison et me donne 10 % de ce qu’il possède) ;
• confusion % et point ;
• calcul des pourcentage quand c’est supérieur à 100 %. +10 %, tout le monde s’en sort, mais +200 %, c’est la catastrophe ;
• l’absence de symétrie entre +50 % et -50 % (ça ne revient pas à la valeur de base);
• symétrie dans le fait de faire +50 % puis -50 %, ou -50 % puis +50 %.

Bonus vie quotidienne : différence entre « 3 + 1 gratuit » et « 3 dont 1 gratuit » (ce qui revient à mon point 4).

Déjà, faire un point sur l’Orthographe : on doit écrire "pour cent" et non pas "pourcent"
Voir à ca sujet l'académie française :

La locution pour cent, précédée d’un nombre cardinal, indique que le rapport entre deux grandeurs dénombrables est exprimé par une fraction ayant cent pour dénominateur. La réduction à cent de ce dénominateur permet de se faire beaucoup plus facilement une idée de ce rapport qu’avec les chiffres originaux. On se représente mieux 51,64 % des voix que 18 000 668 voix sur 34 861 353. Mais, si on l’écrit en toutes lettres, il convient de ne pas faire de faute d’orthographe dans cette locution, que l’on doit orthographier, en séparant les deux mots, pour cent et non, sans doute par analogie avec le nom pourcentage, pourcent. Cette remarque vaut également pour le tour moins employé pour mille.

Cette définition permet, au passage, de voir que la notion de "pour cent" a un étroit rapport avec la règle de trois. Je pense que ce point, vu au collège, est souvent mal assimilée. J’ai ainsi le souvenir d’un agent immobilier qui, pour s’en sortir, devait évoquer "le produit en croix".

Dans la mesure où un pourcentage est une fraction, on se heurte aux difficultés bien connues des calculs fractionnaire, avec l’incontournable " il faut réduire au même dénominateur".

Le vocabulaire relatif aux fractions est souvent mal assimilé, les mots "numérateur" et "dénominateur" sont trop abstraits.
A contrario, les "nombres avec virgule" sont souvient bien compris du fait de l’usage courant d’un mètre ruban ou d’une règle graduée.

L’utilisation de calculettes (pour éviter de faire les calculs à la main) embrouille aussi les pistes, dans la mesure où elles donnent un résultat sans que la méthode de calcul sous jacente soit explicite.

Au final, je pense qu’un tel tuto doit rester très simple dans son vocabulaire, sachant qu’en France, le programme de CM2 contient la notion de pourcentage.

J’ai donc regardé si il y avait des contenus pertinents sur le thème " "enseigner les pourcentages", malheureusement, je n’ai rien trouvé de très convaincant. De nombreux contenus sont à mon avis trop théoriques, trop abstraits, faisant l’usage de "tableaux de proportionnalité" de manière assez brutale, ou en utilisant directement les mots "numérateur" et "dénominateur".

Serait-il judicieux de s’appuyer sur cet exercice : https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/mathematiques/enseignement/groupe-de-recherche/actions-nationales-2013–2015/un-journaliste-parle-de-pourcentages-783266.kjsp?RH=PEDA où un expert en économie explique que 5 augmentations de 6%, ça fait 30% ?

@adri1 : 100 % (gag) d’accord, j’avais prévu de commencer par ça : faire comprendre que parler en pourcentage, c’est d’abord parler de manière floue et donc réussir à extraire la « véritable » information mathématique qui se cache derrière. Ceci fait, le gros du boulot l’est.

@etherpin : l’usage « pourcent » est attesté par le Larousse, par le Wiktionaire et par le CNRTL depuis au moins 1924. Je ne reprendrai donc pas les réflexions non sourcées d’une institution qui n’a aucune légitimité réelle en ce domaine. Je suis cependant complètement d’accord avec le reste du message. Mon idée était plutôt de présenter les pourcentages comme des multiplications par un nombre à virgule – ça permet d’éviter facilement presque tous les problèmes, la seule difficulté qui reste, c’est de retrouver le facteur multiplicatif correct. Ça part un peu du principe que tout le monde a une calculette dans sa poche pour faire les calculs, mais de nos jours, c’est vrai.

(PS : mon but n’est pas non plus de promouvoir l’orthographe « pourcent », mais simplement de ne pas du tout parler de l’orthographe dans ce contenu).

Sgble parle de la différence entre % et point ; il met la barre très haut, c’est éventuellement le dernier paragraphe. Quand on en arrive là, ça veut dire qu’on a déjoué déjà pas mal de pièges.

Je pense qu’il faut insister sur le fait que pourcentage rime avec piège. Un pourcentage, c’est une fraction, et il faut en permanence se poser la question : qu’y a-t-il au numérateur de cette fraction (ça, en général, c’est clair), et qu’y a -t-il au dénominateur. C’est toujours des confusions sur le dénominateur qui entraînent des erreurs.

Et il faut aussi différencier les 2 cas d’utilisation :

• l’univers A représente X% du total.
• tel groupe a augmenté (ou diminué) de x%

Présenter les cas où c’est pertinent d’utiliser des pourcentages et ceux il ça ne l’est pas du tout ?

En général n’utiliser pas les pourcentages, ou si vous le faites, ne vous trompez surtout pas. Lorsque c’est pertinent, c’est pour parler de sujets techniques précis (ce serait dommage de se tromper là-dessus !). Si ce n’est pas le cas, juste n’utilisez pas les pourcentages.

Merci tout le monde !

Autre question : quelles sont les opérations que vous utilisez avec les pourcentages ? Vos réponses précédents ont un peu répondu à ça, mais il me semble utile d’avoir une inventaire le plus complet possible.

Je recense :

• 42 % de x
• x a augmenté/diminué de 42 % (et en particulier la différence avec le précédent)
• Les pourcentages de pourcentages : « Je paie 42 % d’une part de 27 % du prix d’origine »
• Les applications successives (le fameux « 5 augmentations de 6 % » qui ne font pas 30 %)
• Les calculs de pourcentages à partir de valeurs (« J’ai les valeurs avant/après, comment est-ce que j’exprime l’évolution en pourcentage si je part de la valeur "avant" ? De celle "après" ? Et pourquoi le pourcentage obtenu n’est pas le même ? »)
• Les calculs qui permettent d’obtenir une différence en pourcentage à la fin (les très piégeux : « quel doit être le prix TTC/HT étant donné le taux de taxe et le prix HT/TTC »)

Vous voyez autre chose ?

pour la partie des "ajouts successifs" j’ajouterai aussi qu’il faut faire attention aux retraits : +6%-5% != +1%

Je n’utilise pas les pourcentages dans ma communication personnelle habituelle. Je les subis. Essentiellement des messages marketing au moment des soldes, du style 40% et 20% supplémentaires si vous achetez 3 articles.
Du coup, je fais un calcul mental : réduction de 30%, je dois multiplier le pris d’origine par 0,7. En effet, ce qui compte de mon point de vue, c’est le prix payé et non pas la réduction.
Ou alors dans les magasins "office dépôt" qui affichent des pris Hors Taxe (sous prétexte que ce serait du matériel professionnel).
Il y a aussi les "TVA offerte".
Pour les promotions du type "3e gratuit", je calcule le prix de l’article unitaire qui en résulte. Parfois je convertis cela en pourcentage, en particulier avec la variante "c’est le moins cher qui est gratuit".

Vous voyez autre chose ?

Se méfier des dits journalistes (en partant du principe que ce sont des pros et que c’est relu et corrigé par des équipes qualifiées, l’augmentation de 300% qui en fait en est beaucoup moins est un clicbailt et une fakenews…) et du marketing (dans les deux cas il y a tentative de manipulation…)

Ne pas hésiter à sortir sa calculette (vu que très peu de gens savent faire des calculs simples de tête) au lieu de fier à une fausse intuition (ce n’est pas la faute de l’intuition mais c’est un autre débat.)