Série de Dirichlet : abscisse de convergence absolue ?

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Bonjour à tous !

Je m'intéresse en ce moment aux séries de Dirichlet (pas les séries de Dirichlet générales, juste celles de la forme $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^s}$). J'ai deux questions portant sur la convergence absolue de ces séries.

Prenons deux fonctions arithmétiques $f$ et $g$ dont les séries de Dirichlet associées ($\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^s}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{g(n)}{n^s}$) convergent absolument en un point au moins. Notons $\alpha_f$, $\alpha_g$ leurs abscisses de convergence absolue respectives. Alors on a $\alpha_{f*g} \leq \max(\alpha_f, \alpha_g)$$f*g$ est la convolution de Dirichlet de $f$ et $g$. Ma question est de savoir sous quelles hypothèses on peut affirmer qu'il y a égalité.

Maintenant, la deuxième question. On prend $f$ inversible pour la convolution de Dirichlet (i.e $f(1) \neq 0$). Alors est-il vrai que si la somme de la série de Dirichlet associée à $f$ ne s'annule pas dans le demi-plan $\Re(s) > \sigma$ (avec $\sigma \geq \alpha_f$), la série de Dirichlet associée à $f^{-1}$ converge aussi absolument dans ce demi-plan ?

Merci d'avance.

Édité par gwerxoixowis

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