Calcul approché d'intégrales

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Bonjour à tous,

J'ai commencé (il y a 4 heures) la rédaction d'un tutoriel dont l'intitulé est Calcul approché d'intégrales.

J'aimerais obtenir un maximum de retour sur celui-ci, sur le fond ainsi que sur la forme, afin de proposer en validation un texte de qualité.

Si vous êtes intéressé, cliquez ci-dessous

Merci d'avance pour votre aide

EDIT : Il me faut terminer la partie sur Simpson. Et je me demandais si je devais traiter la preuve de la convergence et le calcul de l'erreur.

Édité par Karnaj

Assez des salamis, je passe au jambon — Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! — Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

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EDIT : Voilà, ça a été compliqué d'écrire tous les calculs.

Vas tu parler des méthodes statistiques ?

Je ne parlerais que des rectangles, des trapèzes et de Simpson. Je comptais parler un peu de Gauss, mais je préfère me limiter à ces trois là.

Édité par Karnaj

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Coucou,

Sujet intéressant. C'est vrai que je m'attendais à voir des méthodes statistiques (qui sont très efficaces) mais ce que tu proposes est pas inintéressant.

En revanche je trouve qu'il y a un manque important dans ce tuto : l'encadrement de l'erreur commise ! C'est central de savoir à quel point on peut se tromper quand on utilise telle ou telle méthode. Tu hésites à faire la preuve de convergence et d'encadrement de l'erreur, tu devrais pas !

Sinon je connaissais pas l'appellation théorème des bornes. Elle est reconnue ?

Édité par Holosmos

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Auteur du sujet

En revanche je trouve qu'il y a un manque important dans ce tuto : l'encadrement de l'erreur commise ! C'est central de savoir à quel point on peut se tromper quand on utilise telle ou telle méthode. Tu hésites à faire la preuve de convergence et d'encadrement de l'erreur, tu devrais pas !

très bien, je me lance dedans alors :)

Sinon je connaissais pas l'appellation théorème des bornes. Elle est reconnue ?

C'est comme ça que je l'ai appris. Et de nombreux cours sur Internet et Wikipédia le nomment ainsi.

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EDIT : juste des petites corrections et la mise en place du plan avec les sous-parties pour les calculs des erreurs.

Édité par Karnaj

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Tu vas devoir introduire du formalisme. Dommage que je n'arrive pas à écrire mon tuto d'analyse locale, t'aurais pu te reposer dessus.

Je ne sais pas ce que tu as comme preuves mais il va falloir jouer avec des développements limités et les restes d'après mes souvenirs.

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EDIT : J'ai commencé les preuves et pour le moment, j'ai pu me débrouiller pour ne pas introduire trop de notions (en fait, je suis resté sur le théorème des bornes). Pour Simpson, ça va être plus compliqué…

Édité par Karnaj

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Voilà mes remarques en première lecture de la première preuve :

  • on dit de classe $C^1$ et pas $C_1$ ;
  • oublie pas de dire $|f'(x)| \leq k$ pour un certain $k$ réel fixé parce qu'on a toujours $|f'(x)|\leq +\infty$ ;
  • il manque des quantificateurs pour $x$ ;
  • tu mets $f$ au lieu de $f'$ dans l'ipp ;
  • $h_i$ ne s'annule pas sur les bornes, sur l'une des deux seulement, pour l'autre c'est $f(x)-f(x_i)$ qui fait l'affaire ;
  • tu passes pas en valeur absolue, tu majores la valeur absolue ;
  • tu as intégré selon $x_{i+1}$ au lieu de $x$ ;
  • le passage à $k/2n^2$ est pas très clair ;
  • évite de noter $e$ l'erreur, c'est usuellement la lettre utilisée pour la fonction exponentielle, préfère par exemple $\xi$ ;
  • tu dis qu'il y a convergence en $O(1/n)$ mais a priori on sait pas ce que ça veut dire ;
  • même remarque pour $k$-lipschitzienne.
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Voilà mes remarques en première lecture de la première preuve :

Merci d'avoir pris le temps de lire.

  • on dit de classe $C^1$ et pas $C_1$

Oups, j'avais même pas vu l'erreur en relisant.

  • oublie pas de dire $|f'(x)| \leq k$ pour un certain $k$ réel fixé parce qu'on a toujours $|f'(x)|\leq +\infty$
  • il manque des quantificateurs pour $x$ ;
  • tu mets $f$ au lieu de $f'$ dans l'ipp ;
  • $h_i$ ne s'annule pas sur les bornes, sur l'une des deux seulement, pour l'autre c'est $f(x)-f(x_i)$ qui fait l'affaire ;
  • tu passes pas en valeur absolue, tu majores la valeur absolue ;
  • tu as intégré selon $x_{i+1}$ au lieu de $x$ ;

J'ai réglé tout ça.

  • le passage à $k/2n^2$ est pas très clair ;

C'est vrai et là en relisant, je vois que j'ai oublié un $(b - a)$ en chemin.

  • évite de noter $e$ l'erreur, c'est usuellement la lettre utilisée pour la fonction exponentielle, préfère par exemple $\xi$ ;

OK, c'est changé

  • tu dis qu'il y a convergence en $O(1/n)$ mais a priori on sait pas ce que ça veut dire ;
  • même remarque pour $k$-lipschitzienne.

Holosmos

Je vais donner juste une indication de ce que c'est et rajouter un lien.

Voilà, je mets tout ça dans la prochaine mise à jour de la beta.

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Ça me semble beaucoup plus intéressant d'avoir une preuve qui passe par une majoration "lipschitzienne".

Tu peux démontrer cette inégalité en utilisant le théorème des accroissements finis. C'est un outil vraiment élémentaire d'analyse donc soit tu peux en profiter pour en parler (ce qui est intéressant), soit tu supposes que c'est connu. Mais dans les deux cas, personnellement, je préfère une preuve qui utilise des outils généraux plutôt qu'un calcul un petit peu long.

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Sinon j'ai pensé à une autre preuve possible pour le calcul de l'erreur. En fait ça ne donne qu'un équivalent, mais ça suffit puisque c'est ce qui nous intéresse.

Pour simplifier l'écriture ici, je regarde juste $f(x)$ entre $0$ et $1/n$ (un seul morceau de ta somme), je te laisse faire les changements de variables adéquats.

Ça demande de rappeler une autre définition (totalement équivalente et évidente) de la dérivabilité. $f$ est dérivable en $0$ si, et seulement si,

$$ f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x).$$

À partir de là on prend $1/n$ avec $n$ assez grand et on calcule tout bêtement :

$$\left| \int_0^{1/n} [f(x) - f(0)] {\rm d}x \right| = \left| f'(0) \frac{1}{2n^{2}} + o(1/n^2) \right| $$

et donc l'erreur locale est équivalente à

$$ \left| \frac{f'(0)}{2n^2}\right| \leq \frac{M_{f'}}{2n^2} $$
$M_{f'}>0$ majore $f'$.

Cette méthode se transpose très facilement aux trapèzes :

$$ \left| \int_0^{1/n}[f(x) - f(0) - xf'(0)] {\rm d}x \right|= \left| \frac{f''(0)}{2}\frac{1}{3n^3} + o(1/n^3) \right| $$
et donc l'erreur locale est équivalente à
$$\left| \frac{f''(0)}{6n^3} \right| \leq \frac{M_{f''}}{6n^3} $$

Et la magie opère aussi pour extraire des méthodes qui convergent à tout ordre. C'est théoriquement utile de savoir que ça existe.

Édité par Holosmos

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J'aurais jamais pensé à faire comme ça, et pourtant c'est très efficace et très rapide. Encore faut-il que le lecteur sache qu'on peut définir la dérivabilité (plutôt la différentiabilité) comme ça.

Je pense que le mieux que je puisse faire, c'est laisser la première méthode qui est compréhensible sans trop de prérequis et faire une annexe pour le reste.

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Encore faut-il que le lecteur sache qu'on peut définir la dérivabilité (plutôt la différentiabilité) comme ça.

Karnaj

Il s'agit bien de la dérivabilité. De toute façon la différentiabilité à une variable … autant dire $C^1$.

Le problème est pas tellement de définir la dérivabilité de cette façon (ça se fait en trois lignes). C'est plutôt d'expliciter les $o$ et les opérations qu'on peut faire dessus. Et ça, ça prend un tuto … que j'aurais du finir.

Édité par Holosmos

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Je pense qu'il me faut des retours sur l'ensemble. Sur le contenu mais aussi sur la langue (est-ce que le discours n'est pas trop haché par exemple). Merci d'avance.

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Introduction

Cependant, il existe des fonctions dont, même si on sait qu'elles admettent une primitive (parce qu'elles sont continues par exemple), on ne sait pas exprimer leurs primitives à l'aide des fonctions usuelles.

La phrase est un peu lourde. Plutôt :

Cependant, il existe des fonctions dont on est incapable d'exprimer les primitives à l'aide des fonctions usuelles, même si on sait qu'elles en admettent une (parce qu'elles sont continues par exemple).

L'un des exemples qui est le plus connu et celui-ci

est

On peut faire plus simple :

L'un des exemples le plus connu

Ce tutoriel requiert quelques notions en mathématiques.

Mathématiques

M'enfin bon, ça n'aide pas trop le lecteur. Il faudrait expliciter lesquelles.

Principe général

Considérons deux réels a et b tel

tels

une fonction f continue de [a,b]

sur [a, b]

par f est un intervalle fermé borné. Nommons le [m,M]

par f est un intervalle fermé borné [m,M]

« parte pas vers l'infini »

part

car l'intégrale de f correspond

Je ne comprends pas le "car".

sous la courbe ne

sous la courbe, ne

xi+1=xi+δ(∀i∈[[0,n−1]])

Autant mettre le $\forall$ avant. Là, on dirait que $\delta$ est une fonction.

nous pouvons utilisé la relation de Chasles

utiliser

Et pour être plus précis, plus on choisira un petit pas (et donc plus on choisira un grand nombre de tranches), plus cette approximation sera précise.

Si je prends mes $g_i$ nulles et $f$ la fonction de l'introduction, j'aurai de la merde dans tous les cas.

Il faut maintenant savoir par quelles fonctions nous allons utiliser

Le "par" est de trop.

Nous allons voir trois méthode les utilisant

méthodes

donc de la forme ax+b

donc de la forme $x \mapsto ax+b$

donc de la forme ax2+bx+c

donc de la forme $x \mapsto ax^2+bx+c$

la différence entre la valeur approchée en coupant l'intervalle en n (o l'appelle In(f) et la valeur attendue

Le "en coupant l'intervalle en n (o l'appelle In(f)" fait long :

la différence entre la valeur approchée $I_n(f)$ et la valeur exacte $I(f)$

On peut rassembler le tout en une seule somme et en une seule intégrale :

Il manque une parenthèse dans la formule.

Et finalement, toujours selon l'inégalité triangulaire :

Parce que les bornes de l'intégrale sont dans le bon ordre ($x_{i+1} \geq x_i$).


Cet extrait est très clair, mais je connais le sujet ; je crains qu'il apparaisse abstrait aux débutants. Notamment, il faudrait des graphes pour illustrer :

  • Ce qu'est une subdivision ;
  • Pourquoi diminuer le pas augmente généralement la précision ;
  • Comment on lit l'erreur sur le graphe.

Le problème c'est qu'il te faut, pour les deux derniers points, un exemple d'approximation.

Ainsi, il serait, je pense, préférable de fusionner les deux premiers extraits : tu utiliserais la méthode des rectangles pour bien poser les notions, le principe et les notations, comme tu le fais dans le premier extrait actuellement.

Édité par Vayel

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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Merci pour le retour.

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Mathématiques

M'enfin bon, ça n'aide pas trop le lecteur. Il faudrait expliciter lesquelles.

C'est vrai qu'il me reste à les préciser, mais dès qu'on sait ce qu'est une intégration par partie, le reste est accessible (à part peut-être les polynômes de Lagrange mais ils ne sont pas trop compliqués à appréhender).

Cet extrait est très clair, mais je connais le sujet ; je crains qu'il apparaisse abstrait aux > débutants. Notamment, il faudrait des graphes pour illustrer :

Ce qu'est une subdivision ; Pourquoi diminuer le pas augmente généralement la précision ; Comment on lit l'erreur sur le graphe.

Le problème c'est qu'il te faut, pour les deux derniers points, un exemple d'approximation.

Ainsi, il serait, je pense, préférable de fusionner les deux premiers extraits : tu utiliserais la méthode des rectangles pour bien poser les notions, le principe et les notations, comme tu le fais dans le premier extrait actuellement.

C'est drôle, au départ c'est justement ce que je comptais faire et je me suis dis que c'était plus clair de séparer l'aspect théorique des trois méthodes ; mais maintenant que tu le dis c'est vrai que réunir les deux premiers extraits permettrait d'ajouter des images et de ne pas laisser le lecteur qui découvre la notion dans le flou. Je vais voir comment tourner tout ça bien.

PS : Merci pour les corrections d’orthographes. Autant pour certaines fautes je sais d'où ça vient (généralement un changement de tournures de phrases sans faire toutes les corrections), autant pour d'autres je me demande où j'avais la tête. ^^

Édité par Karnaj

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Merci pour vos relectures.

Ainsi, il serait, je pense, préférable de fusionner les deux premiers extraits : tu utiliserais la méthode des rectangles pour bien poser les notions, le principe et les notations, comme tu le fais dans le premier extrait actuellement.

Finalement après réflexion et demande auprès d'autres personnes, j'ai décidé de les garder séparées, mais de rajouter des images dans le premier extrait. Ces images pourront par contre être des exemples de la méthode des rectangle.

Édité par Karnaj

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