Approche du sujet/Introcution :
on va aborder
"nous allons", non ?
les outils qui nous serons utile
Petite faute.
On va commencer par rappeler
"Nous" ?
terme "voisinage" que l'on utilisera
Plutôt : "terme "voisinage", que nous utiliserons".
avant de passer à a la suite
Approche du sujet/Conclusion :
Maintenant que vous connaissez la continuité, la dérivation et les voisinages. On peut commencer à construire de nouveaux objets : les développements limités.
Le point ne va pas. 
De même que le "on" je pense. Plutôt un "nous".
Approche du sujet/Pourquoi des développements limités :
Que va permettre un "développement limité" ?
Je ne pense pas que les guillemets soient nécessaires ici.
continuité. Mais avant celle-là rappelons
Plutôt : "continuité. Mais avant celle-là, rappelons".
existe, est finie et elle est alors nécessairement égale à
Plutôt : "existe et est finie. Elle est alors nécessairement égale à".
En bleu nous avons la courbe représentative de x↦|x| et en rouge x↦0 l'application identiquement nulle.
Je suis daltonien et je vois très peu la courbe rouge sur le noir de l'axe. 
C'est le nombre dérivé en a.
"de f en a", non ?
∀x∈I,f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+(x−a)ϵ(x−a)
Toutes ces parenthèses peuvent perturber les novices je pense. Je rajouterais des "x".
En effet, si on suppose cette égalité, on a pour tout x de I
Si x vaut a, on a aussi un problème je crois.
mais comme ϵ(x−a) tend vers 0
Une majuscule à "mais" ?
Graphiquement, on peut tracer l'application x↦f(a)+f′(a)(x−a) c'est
Il manque un point.
un tas d'application dérivable
Un tas d'un élément est-il un tas ?
a un nom particulier, c'est la tangente
Je mettrais un double point plutôt qu'une virgule.
Dans l'exemple de la valeur absolue, on verra toujours une différence entre les deux courbes, même en prenant des x petits.
Je serais curieux de voir une illustration.
Je serais également curieux d'avoir un graphe de contre-exemple à la continuité.
Un voisinage V de +∞ est une partie de R tel qu'il
"telle"
En d'autres termes, ∀x∈Vb,f(x)∈Va.
Tu ne reprends pas le "pour tout voisinage, Va, de a il existe un voisinage, Vb, de b" ?
il existe un voisinage, Vb, de b inclus dans E
Soit j'ai mal compris, soit tu n'as pas défini la notion de voisinage de a dans I (intersection d'un voisinage de a avec I).
Par rapport à la partie sur les voisinages, on a un peu de mal à voir en quoi c'est relié au sujet. Certes on utilise la notion de limite pour définir la continuité et la dérivabilité, mais pourquoi s'embêter avec des voisinages ?
En tout cas, j'aime beaucoup la manière dont tu formules les choses.
