Lier séries temporelles et processus stochastiques

Pour déterminer si stationnarité il y a

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Auteur du sujet

Bonjour,

Page 33 de ce PDF, l'auteur introduit une notion qui semble fondamentale dans l'étude des séries temporelles : la stationnarité.

Pour cela, il explique que notre série temporelle $\lbrace x_{t} \rbrace$ est en fait une réalisation d'un processus stochastique $\lbrace X_{t} \rbrace$, c'est-à-dire d'une suite de variables aléatoires. $x_{t}$ est juste une valeur prise par $X_{t}$ lors d'une expérience aléatoire.

Puis il déclare que la stationnarité est une propriété du processus stochastique, pas de la série temporelle :

Thus a process is second-order stationary if E [ X t ] is a finite constant, say μ , for all t ,if Var[ X t ] is a finite constant, say σ 2 , for all t , and, more generally, if the autocovariance function depends only on the lag, k , so that Cov [ X t ,X t + k ] = E [( X t − μ )( X t + k − μ )] = γ k (2.4.1) for all t .

Mais du coup, quand j'ai simplement une suite de valeurs en fonction du temps (ou : une série temporelle), comme je fais pour analyser cette stationnarité ?

Merci !

Édité par Vayel

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Staff

Salut,

Mais du coup, quand j'ai simplement une suite de valeurs en fonction du temps (ou : une série temporelle), comme je fais pour analyser cette stationnarité ?

Je ne comprends pas ton problème, qu'est-ce qui t'empêche d'estimer sur différentes fourchettes de temps les différents moments du processus $X$ à partir des valeurs $x$ et de vérifier si ils sont finis et constants ?

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

Apparemment, j'ai pas compris les notions exposées dans le premier message… ^^'

Dans la stationnarité, il est question d'espérance, donc il me faut une variable aléatoire. Sauf que la série temporelle ne m'en donne pas, si ?

Merci et désolé pour l'amateurisme.

Edit : par exemple, sur cette page, il est dit :

A stationary time series is one whose statistical properties such as mean, variance, autocorrelation, etc. are all constant over time.

Mais ça signifie quoi over time pour une suite de valeurs (dans mon cas, production relevée par jour) ?

Édité par Vayel

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Cela veut dire que l'esperance du processus est independante du temps initial.
Lorsque tu as cette hypothese, tu peux caracteriser ton processus simplement en observant une trajectoire particuliere car, sous reserve d'ergodicite, les moyennes temporelles sont egales au moyennes spatiales.

C'est improuvable en pratique, stationnarite comme ergodicite, surtout si comme toi, tu ne disposes pas d'autres trajectoires pour inferer sur l'esperance du processus sous-jacent.

Édité par KFC

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Auteur du sujet

C'est improuvable en pratique, surtout si comme toi, tu ne disposes pas d'autres trajectoires pour inferer sur l'esperance du processus sous-jacent.

Höd

Si la stationnarité se prouve à partir du processus et que je ne peux pas récupérer ce dernier à partir de ma série temporelle, comment je fais pour vérifier que ma série est stationnaire (condition nécessaire pour utiliser ARMA et Cie) ?

J'ai déniché ça. Et ça. Je jette un coup d'oeil. ^^

Édité par Vayel

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Tu ne peux pas, tu peux juste te contenter d'etude a posteriori montrant la deviation de ton modele avec la pratique.

En pratique on blablate un peu et voila, hypothese consideree comme vraie jusqu'a preuve du contraire.

EDIT: Ou des tests statistiques, effectivement. Mais sur une seule trajectoire… voila. Normalement avec l'experience cela se voit a l'oeil, tout comme l'oeil guide le choix du model statistique a adopter.

Édité par KFC

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Auteur du sujet

Mais du coup, si on ne peut constater qu'une série n'est pas stationnaire, les techniques du genre detrending et differencing (ayant pour but de rendre une série stationnaire) servent à quoi ?

Edit : d'accord, merci. ^^

Édité par Vayel

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Mais du coup, si on ne peut constater qu'une série n'est pas stationnaire, les techniques du genre detrending et differencing (ayant pour but de rendre une série stationnaire) servent à quoi ?

Edit : d'accord, merci. ^^

Vayel

Attention, tu peux montrer empiriquement qu'elle ne l'est pas (et l'inverse). Mais tu ne peux pas prouver formellement que le processus sous-jacent est stationnaire. C'est une hypothese que tu verifies ou non, statistiquement, et que tu peux corriger eventuellement.

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