La saga des nombres II - Au-delà du réel

Salut à tous,
J'avais commencé un tuto sur les ensembles de nombres, que j'ai décidé de couper en plusieurs morceaux, pour plus de modularité. N'ayant pas trop avancé sur les premières parties, je me suis motivé pour faire la partie sur les complexes, qui constitueront un tuto à part. (Le premier chapitre était déjà présent sur l'ancienne bêta).

Mon objectif est toujours le même, faire un tuto de découverte (ou redécouverte) des maths. Avec ici comme prérequis le premier tuto qui ira jusqu'aux nombres réels.

Bonjour ! J'ai pris beaucoup de plaisir à lire le tuto ! Je ne m'y connais pas assez en histoire des maths pour faire des remarques sur le fond, donc je critique la forme.

Une torture mentale

Déterminant ou discriminant ? Pour moi dans les équations du second degré on m'a toujours dit "discriminant" et non "déterminant".

Solutions, vraiment ? Voyons voir : prenons x1 et calculons…

Police plus petite

A moins de pouvoir mesurer une logueur de (5+−15−−−−√)m… Si vous y arrivez, appelez-moi…

=> À moins de pouvoir mesurer une longueur de …

Mais voilà, l'histoire est légèrement différente de celle du second dégré… Voyons pourquoi sur un exemple historique

=> manque un point à la fin.

Il part de l'équation suivante:

=> manque un espace avant le ":"

Or il se trouve que si on prend a = 2

=> le "a=2" n'est pas en format équation inline, mais par la suite b=1 l'est.

Je vous laisse le plaisir de trouver l'expression de p et q en fonction de a1,a2 et a3, c'est de l'algèbre élémentaire.

=> le "et" est en texte dans l'équation donc en gras.

Où sont-ils ?

Ainsi, hormis cette propriété qui le caractérise, ce nombre peut se manipuler comme n'importe quel autre nombre, sans difficultés particulières.

=> s'il n'y a pas de difficulté, est-ce qu'il y a un "s" ? (vrai question)

Pour l'image du plan complexe, il y a un "->" qui traine devant l'image.

Comment est-elle calculée ? Si vous regardez bien le schéma, vous pouvez voir apparaître un triangle rectangle, de côtés a et b, et dont l'hypoténuse est le côté dont on aimerait calculer la longueur. Donc un bon vieux Pythagore va nous aider ! (Quand on vous disait que vous le retrouveriez partout, celui-là :)).

=> du fait de la parenthèse finale le ne s'affiche pas. Mais c'est pas grave.

Additionnons, multiplions…

On obtient bien un nombre complexe (de la forme a+ib

=> y'a une parenthèse qui se balade dans la phrase ou il en manque une.

Schéma de l'opposé d'un nombre

=> il n'y est pas encore ou il ne s'affiche pas chez moi ?

Peut-on alors diviser deux nombres complexes ? Essayons a+ibc+id

=> il n'y a pas de ponctuation à la fin de la phrase.

(cela vous rappelle de vieux souvenirs, n'est-ce pas?)

=> le "?" ne devrait pas être collé au "pas".

Schéma du conjugué d'un nombre

=> il n'y est pas encore ou il ne s'affiche pas chez moi ?

Le sacre des complexes

Réjouissez-vous, au prochain chapitre, on va même apprendre à … se passer des cosinus et sinus.

=> y'a un espace avant les "…"

Amusons-nous par exemple à triturer cette formule. Calculons $ e^{iθ} $ et $ e^{−iθ} $

$ e^{iθ}=cos θ+i sin θ$

$ e^{−iθ} =cos −θ + i sin −θ = cos θ − i sin θ $

=> les sin et cos gagneraient a avoir des parenthèse je pense.

Général

Dans les listes, des fois tu termines par un "." des fois pas.

Encore une fois, j'ai beaucoup aimé lire ce tuto ! Très agréable à lire. Merci

Hello,

J'ai lu le tuto, voici mes deux-trois remarques :

• Quand tu parles de Cardan et de Tartaglia, il y a un moment où tu confonds les deux (au début tu parles de Cardan puis ensuite de Tartaglia). Il me semble aussi qu'il y a un moment où tu parles de Del Ferro, sans aucune introduction. D'ailleurs, j'ai l'impression que tu confonds les rôles, parce que Cardan avait obtenu la formule de Tartaglia sous promesse du secret, et l'avait finalement publié en disant que Del Ferro (qui était l'auteur des défis) avait déjà tout trouvé avant Tartaglia.
• L'introduction du plan complexe est un peu laborieuse et peu intuitive, je trouve. Est-ce que ce ne serait pas plus simple de prendre une approche cartésienne ? Genre montrer d'abord que les nombres complexes sont toujours de la forme a+ib, avec partie réelle et imaginaire, et dire comme tu le fais que les réels ne sont que des complexes sans partie imaginaire. Ensuite, dire que tu vas représenter sur un axe la partie réelle, sur un autre la partie imaginaire (c'est pour ça que je fais allusion à Descartes). Du coup, BOUM, plan complexe.
• La partie sur la multiplication complexe, honnêtement, je pense que si tu ne mets pas un .gif ou du moins un schéma plus simple à appréhender, les gens ne vont pas comprendre ce qui se passe. Surtout que bon, tu introduis la notion d'argument de façon très rapide. La manière de placer des points sur le plan complexe, aussi, mérite d'être étoffée. On ne peut pas apprendre et comprendre uniquement avec un seul exemple, amha.
• En ce qui concerne la forme exponentielle : "En effet, la formule ci-dessus [$a^b.a^c = a^{b + c}$] nous montre qu'un nombre complexe peut s'écrire sous la forme : $z = |z|(cos \theta + i \sin \theta) = |z|.e^{\alpha \theta}$" Euh… Ah ? Par ailleurs, ta démonstration de la formule d'Euler est franchement cheloue, tu fais pas mal d'hypothèses hardies sur les fonctions complexes par rapport à ce que tu as établi pour l'instant (dérivation de fonction complexe, égalité de l'image de l'exponentielle complexe et du cercle unité – ce qui, soit dit en passant, se prouve sûrement uniquement grâce à la formule d'Euler, d'où une circularité de ton raisonnement). Euler s'était servi de la formule de Moivre entre autres (art. 133 et 138), pourquoi ne pas faire pareil ?

Bon tuto sinon, et je plussoie l'idée d'une approche historique, surtout pour ce domaine qui s'y prête bien.

@Gwend@l : merci pour tes retours et tes encouragements.
J'ai corrigé selon tes remarques. Par contre pour "sans difficultés particulières", avec ou sans "s", j'ai pas la réponse…
Pour les images, elles ne sont pas encore là, je marque juste leur emplacement, normal si tu les vois pas

• Quand tu parles de Cardan et de Tartaglia, il y a un moment où tu confonds les deux

Effectivement, en relisant, j'ai vu que j'ai fait de gros mélanges. Je devais pas être très réveillé . Je corrigerai cette partie plus tard.

• L'introduction du plan complexe est un peu laborieuse et peu intuitive, je trouve. Est-ce que ce ne serait pas plus simple de prendre une approche cartésienne ? […] Ensuite, dire que tu vas représenter sur un axe la partie réelle, sur un autre la partie imaginaire

Je trouve que ça fait "sorti du chapeau". Alors que là, je montre que la représentation "perpendiculaire" découle directement de la définition $i^2 = -1$. Et le reste des opérations découle des mêmes manipulations géométriques que pour les réels (ex: translation vers la gauche pour la soustraction réelle, translation vers le haut pour l'addition complexe. Rotation de 180 pour la multiplication négative, rotation de 90 pour la multiplication par $i$…).

• La partie sur la multiplication complexe, honnêtement, je pense que si tu ne mets pas un .gif ou du moins un schéma plus simple à appréhender, les gens ne vont pas comprendre ce qui se passe.

Oui, je m'aperçois que c'est dur à expliquer avec des mots. Le schéma était temporaire en attendant de trouver mieux, mais j'ai mis une vidéo en fin de chapitre pour donner une explication plus visuelle.

• En ce qui concerne la forme exponentielle : "En effet, la formule ci-dessus [$a^b.a^c = a^{b + c}$] nous montre qu'un nombre complexe peut s'écrire sous la forme : $z = |z|(cos \theta + i \sin \theta) = |z|.e^{\alpha \theta}$" Euh… Ah ?

J'ai reformulé, dis-moi si ça passe mieux.

Par ailleurs, ta démonstration de la formule d'Euler est franchement cheloue, tu fais pas mal d'hypothèses hardies sur les fonctions complexes par rapport à ce que tu as établi pour l'instant (dérivation de fonction complexe, égalité de l'image de l'exponentielle complexe et du cercle unité – ce qui, soit dit en passant, se prouve sûrement uniquement grâce à la formule d'Euler, d'où une circularité de ton raisonnement). Euler s'était servi de la formule de Moivre entre autres (art. 133 et 138), pourquoi ne pas faire pareil ?

Utiliser de Moivre reviendrait à dire que $f^n(\theta) = f(n\theta)$ et que donc l'exponentielle est la solution de cette équation fonctionnelle. Ce qui revient au final à mon approche. Et est-ce que ça ne démontre pas justement l'égalité de l'image de l'exponentielle complexe et du cercle unité ? (le fait que le même nombre peut s'écrire sous forme (cos x + i.sin x) et sous la forme $e^{ix}$).

Euler a plutôt utilisé au départ le développement en série de $e^x$, puis en remplaçant $x$ par $ix$, il a montré que :
dvlpt ($e^{ix}$) = dvlpt (cos x) + i.dvlpt (sinx)
Cela dit, en remplaçant x par ix, il ne s'est pas soucié du rayon de convergence, il n'est donc pas rigoureux selon nos critères modernes. Il faudra attendre les développements de l'analyse complexe pour réellement justifier les travaux d'Euler.
Comme je ne peux pas rentrer dans tous les détails de l'analyse complexe, j'ai rajouté un petit texte sur les raccourcis que j'utilise, mais je pense que, modulo ces raccourcis, la démonstration se tient. Qu'en penses-tu ?

Bon tuto sinon, et je plussoie l'idée d'une approche historique, surtout pour ce domaine qui s'y prête bien.

Merci

• L'introduction du plan complexe est un peu laborieuse et peu intuitive, je trouve. Est-ce que ce ne serait pas plus simple de prendre une approche cartésienne ? […] Ensuite, dire que tu vas représenter sur un axe la partie réelle, sur un autre la partie imaginaire

Je trouve que ça fait "sorti du chapeau". Alors que là, je montre que la représentation "perpendiculaire" découle directement de la définition $i^2 = -1$.

Ok, j'imagine que les deux approches se valent (mais je persiste à préférer la mienne ). Mais dans ce cas, est-ce qu'il ne faudrait pas plus détailler, genre effectivement mettre une image sur laquelle tu places i, puis ensuite sur laquelle tu traces les deux axes du plan ? Là pour l'instant on passe direct de la droite réelle à une addition complexe, avec le cercle unité en prime.

Et le reste des opérations découle des mêmes manipulations géométriques que pour les réels (ex: translation vers la gauche pour la soustraction réelle, translation vers le haut pour l'addition complexe. Rotation de 180 pour la multiplication négative, rotation de 90 pour la multiplication par $i$…).

C'est vrai, mais je pense aussi que le public auquel tu t'adresses n'a jamais considéré l'addition comme étant une translation sur l'axe des réels, l'opposé comme étant une symétrie etc. En fait, je pense que l'approche "cartésienne" permet de mieux comprendre l'addition complexe, et l'approche "géométrique" est plus pratique pour les multiplications.

Oui, je m'aperçois que c'est dur à expliquer avec des mots. Le schéma était temporaire en attendant de trouver mieux, mais j'ai mis une vidéo en fin de chapitre pour donner une explication plus visuelle.

Oui, j'ai vu ça, ces bonnes vieilles vidéos de Dimensions. Un contenu de très bonne qualité, d'ailleurs ça me fait me souvenir que quand j'avais commencé à les regarder il y a longtemps, je m'étais arrêté avant la fin. En plus je viens de voir que sur leur site, il y a des infos complémentaires. <3

• En ce qui concerne la forme exponentielle : "En effet, la formule ci-dessus [$a^b.a^c = a^{b + c}$] nous montre qu'un nombre complexe peut s'écrire sous la forme : $z = |z|(cos \theta + i \sin \theta) = |z|.e^{\alpha \theta}$" Euh… Ah ?

J'ai reformulé, dis-moi si ça passe mieux.

Yup, j'aime mieux, mais j'ai toujours un problème avec la phrase "Notre nombre complexe peut donc aussi s'écrire sous la forme : $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{\alpha \theta}$". ça ne me gêne pas que tu fasses l'hypothèse qu'on puisse l'écrire comme ça, mais en toute rigueur tu ne l'as pas prouvé.

Cela dit, en remplaçant x par ix, il ne s'est pas soucié du rayon de convergence, il n'est donc pas rigoureux selon nos critères modernes. Il faudra attendre les développements de l'analyse complexe pour réellement justifier les travaux d'Euler.
Comme je ne peux pas rentrer dans tous les détails de l'analyse complexe, j'ai rajouté un petit texte sur les raccourcis que j'utilise, mais je pense que, modulo ces raccourcis, la démonstration se tient. Qu'en penses-tu ?

Bien d'accord avec toi, ça risque d'être assez tendu de parler de série entière pour justifier de l'existence de l'exponentielle complexe, et je suis d'accord avec ta démonstration, modulo le petit point que j'ai mentionné ci-dessus.

Une torture mentale

Retour sur le second degré

Bon, en fait nous n'allons rien inventer du tout. Nous avons quelques siècles de retard…

Les phrases ne se lient pas très bien. Peut-être :

Bon, en fait nous n'allons rien inventer du tout, puisque nous avons quelques siècles de retard…

Nous avons quelques siècles de retard…

A quelle période sommes-nous quand tu dis ça ?

C'est en 1545 que Jérôme Cardan

C'est en effet en

Et après c'est normal qu'on trouve que les mathématiciens sont bizarres.

La phrase l'est tout autant. Plutôt :

Il ne faut plus s'étonner qu'on considère les mathématiciens bizarres.

En fait ce problème peut avoir une utilité bien pratique.

Mettre ce paragraphe dans une citation ne rend pas très bien. Plutôt une balise information.

Comment allons-nous résoudre ça ? Nous n'avons jamais été confronté à des équations à deux inconnues !

Plutôt une balise question.

Ce genre de problèmes nécessiterait un tuto entier pour bien le traiter, je vais

La virgule ne me semble pas adaptée.

Comme à chaque fois que nous avons été confrontés à un problème nouveau, nous avons essayé de nous ramener à une forme de problème déjà connue. Ici, on aimerait

Nous/on

nous pouvons donc exprimer y en fonction de x, cela

et cela nous donne

Sans le "et", la virgule ne va pas trop.

Ce qui donne : x(10−x)=40

Il manque un point.

Pour aérer, je centrerais $y=10−x$ et $x(10−x)=40$.

x(10−x)=40
10x−x2=40

Là encore, une citation n'est pas excellente. Pourquoi ne pas tout simplement l'écrire normalement ? Tu devrais d'ailleurs ajouter un lien logique, ce qui donnerait ça :

Eurekâ ! Nous avons maintenant une équation à une inconnue. Le reste du calcul devrait couler de source maintenant. On a :

Ou encore :

Nos retrouvons la forme

Nous

Premier réflexe, on calcule le déterminant :

discriminant

Le terme qu'il a utilisé est "dismissis incruciationibus". "Torture mentale"

Plutôt un double-point : Le terme qu'il a utilisé est "dismissis incruciationibus" : "torture mentale"

Cette traduction est controversée, d’autres

controversée et d'autres

Ou :

controversée : d'autres

d’autres disent qu’il aurait voulu dire

Répétition

"les produits en croix étant enlevés"

Point.

À moins de pouvoir mesurer une longueur de (5+−15−−−−√)m

mètres

Si vous y arrivez, appelez-moi…

C'est quoi ton numéro ?

Inutile, vraiment ?

Ca fait un peu répétition avec la tournure de la phrase précédente.

C'est ce qui nous attend au prochain chapitre…

Cette phrase ne me semble pas nécessaire. Si tu la gardes, il faut parler d'extrait, et non de chapitre.

Troisième degré

Ce qui nous donne v=p/(3u)

On obtient

puis en fin à x

enfin

Nous parlerons dans ce tuto de la solution de l'équation.

Tu veux dire que "la solution de l'équation" = "formule de Cardan" ? Ce n'est pas très clair.

Certaines de ces solutions sont des "racines impossibles"

Je préciserais "comme celle qu'on a obtenue pour notre enclos".

comme étant non physiquement acceptables

comme étant non acceptables physiquement

Ce qui se trouve sous la racine pourrait donc être négatif.

C'est pas justement une des racines impossibles dont tu parles ? Le cas échéant, je croyais qu'on ne la considérait pas.

Pour une équation du second degré, l'histoire s'arrêterait là : il n'y a pas de solution.

Concordance des temps.

Des racines imaginaires

Il saura donc que sa méthode de résolution est la bonne si elle lui permet de retrouver cette solution.

Euh… On ne montre pas qu'un truc est bon à partir d'un exemple, si ?

Oui mais voilà, ici, Tartaglia sait que son équation possède une solution.

Tu t'emmêles dans les noms.

Il fait donc le pari que cette racine cubique

Il y a deux racines cubiques.

Or un nombre premier ne peut se décomposer en produit d'entiers, à part 1 et lui-même.

On comprend mais je ferais plutôt :

Or un nombre premier ne peut se décomposer en produit d'autres entiers que 1 et lui-même.

on obtient b=1 dans la premiere

première

Et là le miracle se produit : notre solution x est égale à 2−−1−−−√+2+−1−−−√, ce qui fait 4, qui est bien la solution recherchée !

Je ne comprends pas : pourquoi vouloir tomber sur 4 et pas une autre solution de l'équation ?

(développement, changement de variable, …)

(développement, changement de variable, etc.) ou (développement, changement de variable…)

Et que l'on sent que le processus mental à l'oeuvre dans cette création nous sera à jamais inaccessible…

Mouais… Je ne suis pas du tout un Cardan ou un Del Ferro, mais je ne m'imposerais pas des barrières comme ça.

Je n'ai pas relevé les guillemets anglais qui gagneraient à être français.

Je n'ai pas non plus relevé les blocs de citation, que je pense qu'il faudrait enlever.

La partie "Des racines imaginaires" n'est pas claire du tout je trouve. Ce que j'ai du mal à comprendre, c'est le fait de ne travailler qu'avec une racine alors qu'il y en a 3. D'ailleurs, tu dis, je crois, qu'on en connait une (x = 4) puis qu'on cherche à faire coïncider la formule de Cardan avec cette solution. Mais pourquoi n'en serait-ce pas une différente ?

Sinon, il s'agit bien sûr d'un travail de qualité.

Bonjour à tous !

La beta du tutoriel a été mise à jour.

• Prise en compte des remarques (sauf celles sur les erreurs historiques, je ne m'y suis pas encore penché)
• Rajout de précisions dans "Les réels, des complexes comme les autres".
• Quelques modifications dans la démonstration de la formule d'Euler.
• Grosse nouveauté : ajout du chapitre "Le dernier des nombres" sur le théorème fondamental.
• Ajout de la conclusion.

La partie "Des racines imaginaires" n'est pas claire du tout je trouve. Ce que j'ai du mal à comprendre, c'est le fait de ne travailler qu'avec une racine alors qu'il y en a 3. D'ailleurs, tu dis, je crois, qu'on en connait une (x = 4) puis qu'on cherche à faire coïncider la formule de Cardan avec cette solution. Mais pourquoi n'en serait-ce pas une différente ?

Effectivement, Cardan a eu du pot que sa formule coïncide avec le résultat voulu.

Je n'ai pas lu le cours, je suis juste tombé par hasard sur le passage où tu parles des hypercomplexes et où tu mentionnes les « sélénions ». Ce sont des sédénions, du latin sedeni « 16 par 16, 16 chacun », aucun rapport avec selene, la lune.

Bonjour à tous !

La beta du tutoriel a été mise à jour.
- Rajout des deux derniers chapitres sur les quaternions. Le tuto a donc normalement atteint sa structure définitive.

Les nombres sont ensuite revenus sur le devant de la scène, avec le développement de l'algèbre, pour des raisons bassement matérielles (commerce, développement du taux d'intérêt, amenant à résoudre des équations). Et les équations ont fait apparaître les nombres complexes… : l'ensemble ℂ. Rapidement acceptés en tant que nombres parce qu'ils étaient utiles, ils servaient à résoudre des équations. Et en plus, on leur a trouvé une représentation géométrique en 2D. Ils pouvaient du coup servir à représenter des rotations dans le plan.

Je ne sais pas si parler de représentation (au sens littéraire) est bien juste. $\mathbf{C}$ peut-être construit comme étant $\mathbf{R}^2$. Est-ce que ça a vraiment un sens de mettre une différence entre ces deux objets ?

$\mathbf{C}$ est-il vraiment égal à $\mathbf{R}^2$ ? Je dirais que par rapport à $\mathbf{R}^2$, il faut lui rajouter la règle de multiplication :
$(a, b) \times (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$
Ce qui fait de $\mathbf{C}$ un corps (ou même une algèbre d'ailleurs il me semble), alors que $\mathbf{R}^2$ serait juste un $\mathbf{R}$-espace vectoriel. Du coup lorsqu'on parle de $\mathbf{C}$ comme espace vectoriel, on ne prend pas en compte la multiplication, non ?

Non non, on a bien $\mathbf{C}=\mathbf{R}^2$. C'est une construction tout à fait légitime. Le trick consiste à dire $\mathbf{R}^n\subset \mathbf{R}^m$ pour $n\geq m$ ce qui n'a rien de choquant en prenant l'injection canonique.

Quant tu ajoutes la multiplications aux complexes c'est comme si tu le faisais à $\mathbf{R}^2$. En fait ta question réside dans ce qu'on écrit plus quand on écrit $\mathbf{C}$. Concrètement on devrait toujours écrire $(\mathbf{C},+,\times)$ pour parler de l'algèbre. Quand on dit que $\mathbf{C}$ est un espace vectoriel il ne s'agit pas du même objet.

Bonjour à tous !

La beta du tutoriel a été mise à jour.
- Finalement, rajout d'un petit extrait sur les ensembles $\mathbb H$ et $\mathbb O$.

Bonjour les agrumes !

Hop, mise à jour du tuto après une longue période de sommeil. Il a je pense atteint sa structure définitive.
Ce devait être au départ la deuxième partie d'une série de tutos sur les nombres, mais comme la première partie n'avance pas, je vais envoyer celle-ci en validation en enlevant les références au premier tuto.

Comme modif principale :
La partie historique sur l'équation du 3eme degré a été mise en annexe, plutôt qu'au début. Comme elle est assez calculatoire, elle risque de faire peur au lecteur.

sinon le tuto parle donc toujours des nombres complexes et hypercomplexes. Le but est d'en faire une présentation pour le curieux, pas trop technique.

Je pense l'envoyer en validation très prochainement.

Merci à tous d'avoir participé à ce tutoriel, et merci à DavidBrcz pour la validation.

A plus ou moins long terme, ce tuto fera partie d'une trilogie, avec :

• "Comptons jusqu'à l'infini", dont la bêta se trouve ici
• "A la recherche du réel", qui parlera de $\mathbb R$, des nombres algébriques, transcendants, de l'existence de plusieurs infinis…

Et j'espère ne pas m'arrêter là… J'ai également un tuto sur les structures algébriques (un peu une suite logique à celui-ci) qui est en train de mûrir dans ma tête…